沪科版九上数学23.2解直角三角形及其应用课时作业（1）
一、选择题
1．（2017·滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= = =2+ ．
故选：A．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
2．（2016·绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．
3．（2019·哈尔滨模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD= ，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =5，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2，
∴AB===3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B==．
故选C．
【分析】先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
5．如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝ BD，连结AC，若tanB＝ ，则tan∠CAD的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝ = ，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴ ，DE＝ AB＝k，
∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ .
【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝ = ，可设AD＝5k，AB＝3k，根据平行线分线段成比例可得，即得DE＝ AB＝k，由tan∠CAD＝ 即可求出结论.
6．（2019·景县模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选D．
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故选D．
【分析】想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．
8．如图，在 ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
设DF=x，则AD=2x，
∵∠ADB=60°，
∴AF= x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，于是BF= x，
∴3x DE=（ +1）x x，
DE= x，sin∠A= ，
cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E,设DF=x，则AD=2x，利用解直角三角形可得
二、填空题
9．（2017·广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB= ．
【答案】17
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15，
∴ = ，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB= = =17．
故答案为：17．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
10．（2019·河北模拟）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
【答案】2
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD
在直角三角形AOB，tan∠BAC==
∴OB=1
∴BD=2BO=2
【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，根据∠BAC的正切，求出BO的长度，即可得到BD的长。
11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c= .
【答案】2+
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴tanA= ,
又a－b=2，
∴a= +3,
∴c= =2+ .
答案：2+
【分析】利用正切函数的定义可得tanA=tan60°= ，结合a－b=2，可求出a= +3，由sinA=即可求出c值.
12．（2017·鹤岗）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
13．（2016·嘉兴）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．
【答案】4
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为 ，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°= ∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣ ，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣ +1=4
故答案为：4
【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．
14．（2017·绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM= AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是 ，则 的值是 ．
【答案】8﹣
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM= AF，
∴ = ，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴ = ，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴ = = ，
∵△AMH的面积为： ，
∴ = AH m
∴m= ，
∴n= ，
设△AHC的面积为S，
∴ = =3，
∴S=3S△AHM= ，
∴ AC HG= ，
∴HG= ，
∴由勾股定理可知：AG= ，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴ = =8﹣
故答案为：8﹣
【分析】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM， = ，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是 ，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以 = ．
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
【答案】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= ,
∴ = .
∴AB=10.
∴AC= =8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论.
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
【答案】解：∵AD⊥BC， ∴tan∠BAD＝ ， ∵tan∠BAD＝ ，AD＝12， ∴BD＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴在Rt△ADC中，AC＝ ， ∴sinC＝ ＝ .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABD中，由tan∠BAD＝ =，可求出BD=9，从而可得CD=BC-BD＝5，在Rt△ADC中，利用勾股定理可得AC=13，由sinC＝ 即可求出结论.
17．如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长．
【答案】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= BC=6，BH= =6 ，
在Rt△ACH中，tanA= = ，
∴AH=8，
∴AC= =10，
∴AB=AH+BH=8+6 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论.
18．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
【答案】解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA= AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC tan60°=2 米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴ ，
∴PA= = =10 米，
∴AB=PA﹣PB=（10 ﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10 ﹣4）米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 如图，延长OC，AB交于点P ， 根据邻补角定义可得∠PBC=60°， 根据含30°角的直角三角形的性质可得OA= AD=10米，在Rt△CPB中，利用解直角三角形求出PC=BC tan60°=2 米，PB=2BC=4米， 根据两角分别相等可证△PCB∽△PAO，可得，从而求出PA=10米， 利用AB=PA﹣PB即可求出结论.
19．（2014·泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG= BD= ×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH= BD=3，
∴BE= =2 ，
∴DE=BE=2 ，
∴四边形ADEF的面积为：DE DG=6 ．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
20．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
（1）sin2A1＋sin2B1＝ ；sin2A2＋sin2B2＝ ；sin2A3＋sin2B3＝ ；
（2）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝ ；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（4）已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
【答案】（1）1；1；1
（2）1
（3）解：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA= ，sinB= ，
∴sin2A+sin2B= ，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1
（4）解：∵ ∠A＋∠B＝90° ，∴∠C=90°
∵sin2A+sin2B=1，
∴sinB==.
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】（1）解：由图可知：sin2A1+sin2B1=（ ）2+（ ）2=1；
sin2A2+sin2B2=（ ）2+（ ）2=1；
sin2A3+sin2B3=（ ）2+（ ）2=1．（2）观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别求出直角三角形两锐角的正弦值，然后代入计算即可；
（2）根据（1）中的结论，可猜想sin2A+sin2B=1；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，sinB= ，代入sin2A+sin2B中，可得，利用勾股定理即可求出结论；
（4）根据∠A＋∠B＝90°可得sin2A+sin2B=1，据此即可求出结论.
1 / 1沪科版九上数学23.2解直角三角形及其应用课时作业（1）
一、选择题
1．（2017·滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
2．（2016·绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·哈尔滨模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝ BD，连结AC，若tanB＝ ，则tan∠CAD的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2019·景县模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
8．如图，在 ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2017·广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB= ．
10．（2019·河北模拟）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c= .
12．（2017·鹤岗）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
13．（2016·嘉兴）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．
14．（2017·绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM= AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是 ，则 的值是 ．
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
17．如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长．
18．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
19．（2014·泰州）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
20．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
（1）sin2A1＋sin2B1＝ ；sin2A2＋sin2B2＝ ；sin2A3＋sin2B3＝ ；
（2）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝ ；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（4）已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= = =2+ ．
故选：A．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD= ，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= =5，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2，
∴AB===3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B==．
故选C．
【分析】先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝ = ，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴ ，DE＝ AB＝k，
∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ .
【分析】过点D作DE∥AB交AC于点E，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝ = ，可设AD＝5k，AB＝3k，根据平行线分线段成比例可得，即得DE＝ AB＝k，由tan∠CAD＝ 即可求出结论.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选D．
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故选D．
【分析】想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
设DF=x，则AD=2x，
∵∠ADB=60°，
∴AF= x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，于是BF= x，
∴3x DE=（ +1）x x，
DE= x，sin∠A= ，
cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E,设DF=x，则AD=2x，利用解直角三角形可得
9．【答案】17
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15，
∴ = ，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB= = =17．
故答案为：17．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
10．【答案】2
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD
在直角三角形AOB，tan∠BAC==
∴OB=1
∴BD=2BO=2
【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，根据∠BAC的正切，求出BO的长度，即可得到BD的长。
11．【答案】2+
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴tanA= ,
又a－b=2，
∴a= +3,
∴c= =2+ .
答案：2+
【分析】利用正切函数的定义可得tanA=tan60°= ，结合a－b=2，可求出a= +3，由sinA=即可求出c值.
12．【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
13．【答案】4
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为 ，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°= ∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣ ，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣ +1=4
故答案为：4
【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．
14．【答案】8﹣
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM= AF，
∴ = ，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴ = ，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴ = = ，
∵△AMH的面积为： ，
∴ = AH m
∴m= ，
∴n= ，
设△AHC的面积为S，
∴ = =3，
∴S=3S△AHM= ，
∴ AC HG= ，
∴HG= ，
∴由勾股定理可知：AG= ，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴ = =8﹣
故答案为：8﹣
【分析】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM， = ，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是 ，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以 = ．
15．【答案】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= ,
∴ = .
∴AB=10.
∴AC= =8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论.
16．【答案】解：∵AD⊥BC， ∴tan∠BAD＝ ， ∵tan∠BAD＝ ，AD＝12， ∴BD＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴在Rt△ADC中，AC＝ ， ∴sinC＝ ＝ .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABD中，由tan∠BAD＝ =，可求出BD=9，从而可得CD=BC-BD＝5，在Rt△ADC中，利用勾股定理可得AC=13，由sinC＝ 即可求出结论.
17．【答案】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= BC=6，BH= =6 ，
在Rt△ACH中，tanA= = ，
∴AH=8，
∴AC= =10，
∴AB=AH+BH=8+6 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论.
18．【答案】解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA= AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC tan60°=2 米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴ ，
∴PA= = =10 米，
∴AB=PA﹣PB=（10 ﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10 ﹣4）米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 如图，延长OC，AB交于点P ， 根据邻补角定义可得∠PBC=60°， 根据含30°角的直角三角形的性质可得OA= AD=10米，在Rt△CPB中，利用解直角三角形求出PC=BC tan60°=2 米，PB=2BC=4米， 根据两角分别相等可证△PCB∽△PAO，可得，从而求出PA=10米， 利用AB=PA﹣PB即可求出结论.
19．【答案】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG= BD= ×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH= BD=3，
∴BE= =2 ，
∴DE=BE=2 ，
∴四边形ADEF的面积为：DE DG=6 ．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
20．【答案】（1）1；1；1
（2）1
（3）解：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA= ，sinB= ，
∴sin2A+sin2B= ，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1
（4）解：∵ ∠A＋∠B＝90° ，∴∠C=90°
∵sin2A+sin2B=1，
∴sinB==.
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】（1）解：由图可知：sin2A1+sin2B1=（ ）2+（ ）2=1；
sin2A2+sin2B2=（ ）2+（ ）2=1；
sin2A3+sin2B3=（ ）2+（ ）2=1．（2）观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别求出直角三角形两锐角的正弦值，然后代入计算即可；
（2）根据（1）中的结论，可猜想sin2A+sin2B=1；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，sinB= ，代入sin2A+sin2B中，可得，利用勾股定理即可求出结论；
（4）根据∠A＋∠B＝90°可得sin2A+sin2B=1，据此即可求出结论.
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