(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算A（Word含解析）
文档属性
| 名称 | (分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算A（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 968.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:11:14 | ||
图片预览
文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
3．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
8．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（ ）
A．· B．·
C．· D．·
10．下面四个结论正确的是
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
11．在四面体P－ABC中，以下说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为△ABC的重心，则
C．若，，则
D．若四面体P－ABC的棱长都为2，M、N分别为PA，BC的中点，则MN=1
12．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积是定值
B．的取值范围是
C．若与平面所成的角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
三、填空题
13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．
14．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为________．
15．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为________.
16．已知，，则__________．
四、解答题
17．已知，函数．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若的最大值是，求的值．
18．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
（1）试用、、表示；
（2）求的长度.
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
20．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
21．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
22．已知函数．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)令函数，求在区间上的值域．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】，，
则
.
故选：C．
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
2．D【分析】利用数量积的运算律和定义可求的值.
【详解】,
故选：D.
3．C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
4．D【分析】取， 得到，对比选项得到答案.
【详解】，取，，
解得，，当时，D选项满足.
故选：D.
5．B【分析】根据已知条件求得，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于的式子，代值计算即可.
【详解】因为，故可得：.
原式.
故选：B.
6．A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，，
函数为偶函数，排除BD选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：A.
7．D【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
8．D【分析】先求得外接球的半径.
【详解】设外接球的半径为，则.
设是球心，则，
.
故选：D
9．ABC【分析】利用垂直关系的向量表示判断.
【详解】如图所示：
若AA1=AD，则AD1⊥B1C，A正确；
若AB=AD，则BD1⊥AC，B正确；
∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，
∴两者不可能垂直，D错.
故选：ABC.
10．AB【解析】由向量垂直的充要条件可判断A；由题意，即可判断B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.
【详解】由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
故选：A、B
【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.
11．ABC【分析】A：根据平面向量共线定理和线性运算性质进行求解判断即可；
B：利用重心的性质，结合空间向量加法的运算性质进行求解判断即可；
C：根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解判断即可；
D：根据空间向量加减法的运算法则，结合空间向量的数量积的运算性质进行求解判断即可.
【详解】
对于 ，，， ， ，即，故正确；
对于B，为△的重心，则，,
即，故B正确；
对于C，若，，则，
,
,
,
，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：ABC
12．BCD【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用线面角的定义可判断C选项的正误；利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误.
【详解】因为直四棱柱，所以点到面的距离为1，
所以，
由于不为定值，得不为定值，故A错误；
在中，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，故B正确；
由于面，所以与面所成的角为，
所以，因为，所以，故C正确；
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
线段的中点为，线段的中点为，
设球心为，点，则，
由可得，
化简可得，则，
易知，则，
，因此，，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
13．【解析】先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数.
【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周，
所以转过的角的弧度数是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14． 310##-0.3【分析】利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值.
【详解】因为，故，
所以即，
故.
故答案为：.
15．【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
故答案为：
16．【详解】因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
17．（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解.
试题解析：（Ⅰ）由题意
由，得．
所以单调的单调递增区间为，.
（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，
故．
18．（1）；（2）.【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与、、的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】（1）.
（2），，
∴.
19．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
21．（1）（2）【解析】(1）根据向量的运算性质求出即可；
(2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
22．(1)，和
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间；
（2）利用三角函数的变换和诱导公式的应用，利用函数的定义域求出函数的值域．
(1)
函数，
令，
整理得，
所以函数的单调递增区间为，
由于，，
当，1时，单调递增区间为，和．
(2)
由于；
由于，
所以，
故，
故，
故函数的值域为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
3．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
8．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（ ）
A．· B．·
C．· D．·
10．下面四个结论正确的是
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
11．在四面体P－ABC中，以下说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为△ABC的重心，则
C．若，，则
D．若四面体P－ABC的棱长都为2，M、N分别为PA，BC的中点，则MN=1
12．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积是定值
B．的取值范围是
C．若与平面所成的角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
三、填空题
13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．
14．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为________．
15．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为________.
16．已知，，则__________．
四、解答题
17．已知，函数．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若的最大值是，求的值．
18．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.
（1）试用、、表示；
（2）求的长度.
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
20．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
21．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
22．已知函数．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)令函数，求在区间上的值域．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】，，
则
.
故选：C．
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
2．D【分析】利用数量积的运算律和定义可求的值.
【详解】,
故选：D.
3．C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
4．D【分析】取， 得到，对比选项得到答案.
【详解】，取，，
解得，，当时，D选项满足.
故选：D.
5．B【分析】根据已知条件求得，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于的式子，代值计算即可.
【详解】因为，故可得：.
原式.
故选：B.
6．A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，，
函数为偶函数，排除BD选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：A.
7．D【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
8．D【分析】先求得外接球的半径.
【详解】设外接球的半径为，则.
设是球心，则，
.
故选：D
9．ABC【分析】利用垂直关系的向量表示判断.
【详解】如图所示：
若AA1=AD，则AD1⊥B1C，A正确；
若AB=AD，则BD1⊥AC，B正确；
∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，
∴两者不可能垂直，D错.
故选：ABC.
10．AB【解析】由向量垂直的充要条件可判断A；由题意，即可判断B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.
【详解】由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
故选：A、B
【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.
11．ABC【分析】A：根据平面向量共线定理和线性运算性质进行求解判断即可；
B：利用重心的性质，结合空间向量加法的运算性质进行求解判断即可；
C：根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解判断即可；
D：根据空间向量加减法的运算法则，结合空间向量的数量积的运算性质进行求解判断即可.
【详解】
对于 ，，， ， ，即，故正确；
对于B，为△的重心，则，,
即，故B正确；
对于C，若，，则，
,
,
,
，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：ABC
12．BCD【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用线面角的定义可判断C选项的正误；利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误.
【详解】因为直四棱柱，所以点到面的距离为1，
所以，
由于不为定值，得不为定值，故A错误；
在中，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，故B正确；
由于面，所以与面所成的角为，
所以，因为，所以，故C正确；
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
线段的中点为，线段的中点为，
设球心为，点，则，
由可得，
化简可得，则，
易知，则，
，因此，，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
13．【解析】先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数.
【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周，
所以转过的角的弧度数是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14． 310##-0.3【分析】利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值.
【详解】因为，故，
所以即，
故.
故答案为：.
15．【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
故答案为：
16．【详解】因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
17．（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解.
试题解析：（Ⅰ）由题意
由，得．
所以单调的单调递增区间为，.
（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，
故．
18．（1）；（2）.【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与、、的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】（1）.
（2），，
∴.
19．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
21．（1）（2）【解析】(1）根据向量的运算性质求出即可；
(2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
22．(1)，和
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间；
（2）利用三角函数的变换和诱导公式的应用，利用函数的定义域求出函数的值域．
(1)
函数，
令，
整理得，
所以函数的单调递增区间为，
由于，，
当，1时，单调递增区间为，和．
(2)
由于；
由于，
所以，
故，
故，
故函数的值域为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页