(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.2空间向量基本定理A（Word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
4．在三棱锥中，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
8．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若，则必有与重合，与重合，与为同一线段
B．若，则是钝角
C．若，则与一定共线
D．非零向量 满足与，与，与都是共面向量，则 必共面
10．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
12．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.
14．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
15．在四面体中，、分别是、的中点，若，则__．
16．在空间四边形ABCD中，，，则________.
四、解答题
17．如图，在平行六面体中，M是的对角线的交点，N是棱BC的中点．设，，，若以，，为一组基，求在这组基下的坐标．
18．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
19．如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
20．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
（1）求；
（2）求EG的长．
21．如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设.
（1）试用表示；
（2）已知为对角线的中点，求的长.
22．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】如图，
，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
2．D【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】若，，，四点共面，则，则
故选：D．
3．D【分析】根据空间向量共面定理判断．
【详解】当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
4．C【解析】利用向量的线性运算把用表示出来即可得．
【详解】由题意是中点，∴，
又，则，
∴，
若，则．
故选：C．
5．B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
6．A【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】连接
.
故选：A
7．B【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以
,
因为，
所以，
所以为，
故选：B
8．D【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
9．ABD【分析】对于ABD，可直接举反例说明，C选项根据共线向量性质可得.
【详解】A选项，考虑平行四边形中，满足，
不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，
B选项，当两个非零向量 的夹角为时，满足，
但它们的夹角不是钝角，故B错，
C选项，当时，，则与一定共线，故C对，
D选项，考虑三棱柱， ，
满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，故D错，
故选ABD.
10．BCD【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；
B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；
C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确；
D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.
故选：BCD
11．AB【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.
【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
12．AC【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.
【详解】A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
13．【解析】连接，根据向量的加减运算法则，求得，进而求得向量，得到答案.
【详解】由题意，，，，
连接，根据向量的线性运算法则，可得，
因为为中点，，
又由点在上，且，可得，
所以.
14．【分析】把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.
【详解】解：由题意三棱柱中， 分别是B 上的点，
且，，
则
，
，
.
故答案为：.
15．1【分析】由空间向量的线性运算将用表示，由空间向量基本定理可求得的值即可求解.
【详解】在四面体中，、分别是、的中点，
所以
，
所以，
所以．
故答案为：．
16．【分析】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解.
【详解】，
，即
又，三点共线，，解得
故答案为：
17．.【分析】根据向量的线性运算即可用，，表示出.
【详解】
，
∴在以为基的坐标为.
18．证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，
，，
由于，所以平面.
19．证明见解析.【分析】设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.
【详解】设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
【点睛】本题主要考查空间向量法证明线面垂直问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
20．（1）；（2）．【分析】设=，=，=，
（1）将和化为可求出结果；
（2）将化为++可求出结果.
【详解】设=，=，=，则，
，，
，
（1）=，
（2）=++
=+(-)+(-)
=++=++，
∴
，
所以，即EG的长为．
21．（1）；（2）.【分析】（1）由可表示出来；
（2）由可计算出.
【详解】（1）
；
（2）由题意知，
，
，
，
.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.
22．(1)；(2).【分析】(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.
【详解】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页