(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.2空间向量基本定理B（Word含解析）
文档属性
| 名称 | (分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.2空间向量基本定理B（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:13:55 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A． B．
C． D．与不能比较大小
6．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
10．关于空间向量，以下说法正确的是
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
D．若，则，是钝角
11．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
12．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
三、填空题
13．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
15．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
16．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
四、解答题
17．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
（1）－
（2）＋＋
18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.
19．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
20．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
21．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
(1)用向量法证明，，，四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
22．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)证明：.
(2)求.
(3)求FH的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】如图，
，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
2．C【分析】逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
3．B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】，
，
故选：B
4．C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
5．C【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系.
【详解】∵E是BC的中点，，
∴，即．
不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．
故选：C
6．C【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.
7．B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
8．C【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案.
【详解】在四面体中,是的中点,是的中点
故选:C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
9．ABC【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断
【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
10．ABC【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.
【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；
对于D中，若，又由，所以，所以不正确，
故选∶ ABC.
11．ACD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．BD【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作平面于点，连接，则，
，，中，由余弦定理得，
于是得，A不正确；
因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，即，
而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D正确.
故选：BD
13．【分析】利用，即可求解．
【详解】，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．x=，y=，z=．【分析】利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
15．1【分析】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
16．【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解】，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
17．， ，图象见解析【分析】（1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.
（2）直接利用平行四边形法则计算出＋＝，再利用三角形法则，即可计算出结果.
【详解】（1）－＝－＝＋＝.
（2）＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.
【点睛】本题考查空间向量的运算，属于基础题.熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解本题的基础.
18．（1）证明见解析；（2）.【分析】如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解
【详解】解法一：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.
则E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
解法二：，，
所以，
所以；
（2），所以，
又，，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
19．0【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.
【详解】取基底，,
,
所以
.
设与的夹角为，则，
所以与所成角的余弦值为0.
20．(1)
(2)①②③
【分析】（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
(2)
选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
（1）
如图，连接，
因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则，，
则，
由共面向量定理的推论知，，，四点共面；
（2）
因为.
所以，又平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH；
（3）
连接，，，，，，，
由（2）知，同理，
所以，，，
所以 交于一点，且被平分，
所以.
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，借助空间位置关系的向量证明推理作答.
（2）利用（1）中坐标系，结合空间向量夹角余弦的坐标表示计算作答.
（3）利用（1）中坐标系，结合向量模的坐标表示计算作答.
（1）
在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
依题意，，，
，则，
所以.
（2）
由知，，，而，
所以.
（3）
因H为的中点，则，而，则，
所以FH的长为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A． B．
C． D．与不能比较大小
6．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
10．关于空间向量，以下说法正确的是
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
D．若，则，是钝角
11．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
12．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
三、填空题
13．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
15．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
16．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
四、解答题
17．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
（1）－
（2）＋＋
18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.
19．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
20．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
21．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
(1)用向量法证明，，，四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
22．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)证明：.
(2)求.
(3)求FH的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】如图，
，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
2．C【分析】逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
3．B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】，
，
故选：B
4．C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
5．C【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系.
【详解】∵E是BC的中点，，
∴，即．
不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．
故选：C
6．C【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.
7．B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
8．C【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案.
【详解】在四面体中,是的中点,是的中点
故选:C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
9．ABC【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断
【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
10．ABC【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.
【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；
对于D中，若，又由，所以，所以不正确，
故选∶ ABC.
11．ACD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．BD【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作平面于点，连接，则，
，，中，由余弦定理得，
于是得，A不正确；
因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，即，
而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D正确.
故选：BD
13．【分析】利用，即可求解．
【详解】，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．x=，y=，z=．【分析】利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
15．1【分析】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
16．【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解】，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
17．， ，图象见解析【分析】（1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.
（2）直接利用平行四边形法则计算出＋＝，再利用三角形法则，即可计算出结果.
【详解】（1）－＝－＝＋＝.
（2）＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.
【点睛】本题考查空间向量的运算，属于基础题.熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解本题的基础.
18．（1）证明见解析；（2）.【分析】如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解
【详解】解法一：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.
则E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
解法二：，，
所以，
所以；
（2），所以，
又，，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
19．0【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.
【详解】取基底，,
,
所以
.
设与的夹角为，则，
所以与所成角的余弦值为0.
20．(1)
(2)①②③
【分析】（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
(2)
选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
（1）
如图，连接，
因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则，，
则，
由共面向量定理的推论知，，，四点共面；
（2）
因为.
所以，又平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH；
（3）
连接，，，，，，，
由（2）知，同理，
所以，，，
所以 交于一点，且被平分，
所以.
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，借助空间位置关系的向量证明推理作答.
（2）利用（1）中坐标系，结合空间向量夹角余弦的坐标表示计算作答.
（3）利用（1）中坐标系，结合向量模的坐标表示计算作答.
（1）
在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
依题意，，，
，则，
所以.
（2）
由知，，，而，
所以.
（3）
因H为的中点，则，而，则，
所以FH的长为．
答案第1页，共2页
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