(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.2空间向量基本定理C（Word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、多选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
3．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在四面体中，以下说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为△的重心，则
C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则
D．若，，则
二、填空题
5．已知是空间的一个基底，若，则________.
6．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
7．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.
8．在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．
三、解答题
9．已知直三棱柱中，，求.
10．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
12．已知四面体OABC，，．求证：．
13．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
14．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：
（1）AF与CE所成角的余弦值；
（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．AC【分析】根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.
故选：AC
2．AB【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.
【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
3．BC【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断.
方法二：根据共面定理的推论可得.
【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得，
则，
整理可得，
对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误；
对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确；
对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确；
对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误.
故选：BC.
方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面，
则对于空间中任意一点，有，且满足，
则由选项可得只有BC满足.
故选：BC.
4．ABD【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.
【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；
B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确；
C：由题设知：，即，且，故，错误；
D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确.
故选：ABD
5．0【分析】根据空间向量基本定理确定各系数均为0．
【详解】∵是空间的一个基底，∴，，为不共面向量.
又∵，∴，∴.
故答案为：0．
【点睛】本题考查空间向量基本定理，即设是空间的一个基底，则对空间任一向量存在唯一的实数对，使得．
6．11【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.
【详解】解析：因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，使 ，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以，解得.
故答案为：11．
7．【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】依题意是空间单位向量，
且，
，，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以.
故答案为：
8．【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为.
9．0.【分析】由题可得，然后利用数量积的运算律及定义即得.
【详解】∵直三棱柱中，，
∴，
∴
.
10．0【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.
【详解】取基底，,
,
所以
.
设与的夹角为，则，
所以与所成角的余弦值为0.
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过计算得到 ，由此证得向量共面，从而证得平面.
（2）通过计算得到，由此证得，从而证得平面.
【详解】（1）依题意E、F分别为、的中点，所以
，
所以向量共面，
又平面平面，
所以平面.
（2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面.
设，则，即，
所以，
所以，
所以，由平面，可得平面.
【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.
12．证明见解析.【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明
【详解】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.
13．(1)；(2).【分析】(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.
【详解】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
14．（1）；（2）.【分析】（1）设，两两成角，利用空间向量的夹角公式结合向量基本定理进行计算即可；
（2）利用几何法，如图先确定线面角为，利用正四面体的性质进行计算即可得解.
【详解】（1）不妨设正四面体的边长为，
设，两两成角，
则，
，
设所成角为，
所以，
（2）
连接，由为中点，则，
所以平面，所以平面平面，
作于，则平面，
由对称性为的中心，
由棱长为，所以，，
，
作于，由为中点，，
连接，，
CE与底面BCD所成角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页