(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.1空间直角坐标系A（Word含解析）
文档属性
| 名称 | (分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.1空间直角坐标系A（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 850.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:15:00 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若3，则Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2，﹣5） B．（3，4，1）
C．（﹣4，﹣1，0） D．（2，5，6）
3．已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则（ ）
A．0 B．4 C． D．-5
5．在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
7．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
8．已知，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
二、多选题
9．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
11．已知，若为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在空间中，已知点，在y轴上有一点B使得，则点B的坐标为___________.
14．已知点，，点满足，则点的坐标是________.
15．已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
16．的三个顶点分别是，，，则边上的高长为__________．
四、解答题
17．在空间直角坐标系中，分别求点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的坐标．
18．分别求满足下列条件的向量：
(1)；
(2).
19．
在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
20．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
21．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
22．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C
2．D【分析】利用空间向量的坐标运算确定正确选项.
【详解】设为坐标原点，
.
故选：D
3．B【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】，，∴．
故选：B．
4．C【分析】直接根据空间向量的数量积运算的坐标表示计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
5．B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，计算出各选项中线段的长度后可得正确的选项.
【详解】
由四棱台可得，故.
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
故，
故，
故选：B.
6．A【解析】依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立，则，解方程组可求出的值
【详解】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立；
即
由，得，
代入，得（m﹣9）z＝0；
由于x，y，z不全为0，
所以z≠0，
所以m＝9.
故选：A.
7．A【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．
【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而
，设平面的法向量为，根据
，解得，
.
故与平面所成角的大小为，故选A．
【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．
8．B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题 设
则由，可得
解得，即
.
故选B.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是基础题.
9．ABD【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
10．CD【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项求解判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
则，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：CD
11．BC【分析】由为钝角，可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围，进则可得答案.
【详解】因为，为钝角，
所以且与不共线，
由，得，得，
当与时，令，则，得，
所以当且时，为钝角，
故选：BC
12．BCD【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
13．或【分析】设出点B的坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即得.
【详解】设点B的坐标为，
依题意得，解得，
所以点B的坐标为或.
故答案为：或
14．【分析】设，用表示出，即可得．
【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.
故答案为：．
【点睛】本题考查空间向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标表示，是坐标原点，的坐标就是点的坐标．
15．【分析】根据题意可得、，进而得解.
【详解】点、在平面上的射影分别为、，
∴向量的坐标为．
故答案为：.
16．5【详解】分析：设，则的坐标，利用，求得，即可得到
，即可求解的长度.
详解：设，则，
所以，因为，
所以，解得，
所以，所以.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
17．关于x轴对称，关于平面对称，关于坐标原点对称【分析】根据空间直角坐标系中点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的特征即可得出答案.
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
关于平面对称的点的坐标为，
关于坐标原点对称的点的坐标为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求解.
（2）利用向量的坐标运算即可求解.
(1)
因为，所以，所以.
(2)
因为，所以，所以.
19．【分析】通过空间向量的线性运先计算得＝－－－及＝－－，进而通过坐标的线性运算可得解.
【详解】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．取中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.【分析】由题意可证得,又因为底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，所以,所以以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标.
【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，
则，所以
设，
由为线段的中点，
则，
由，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
21．(1)点的坐标为，．
(2)
【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示；
（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标.
（1）
因为，，，
所以点的坐标为，从而．
（2）
同理因为，，，易得点的坐标为，所以．
22．（1）或；（2）或【分析】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z），由于||=，且分别与、垂直，可得，解出即可．(2) 设,
，解之即得的值，即得＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．再求出点P的坐标.
【详解】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若3，则Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2，﹣5） B．（3，4，1）
C．（﹣4，﹣1，0） D．（2，5，6）
3．已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则（ ）
A．0 B．4 C． D．-5
5．在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
7．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
8．已知，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
二、多选题
9．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
11．已知，若为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在空间中，已知点，在y轴上有一点B使得，则点B的坐标为___________.
14．已知点，，点满足，则点的坐标是________.
15．已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
16．的三个顶点分别是，，，则边上的高长为__________．
四、解答题
17．在空间直角坐标系中，分别求点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的坐标．
18．分别求满足下列条件的向量：
(1)；
(2).
19．
在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
20．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
21．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
22．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C
2．D【分析】利用空间向量的坐标运算确定正确选项.
【详解】设为坐标原点，
.
故选：D
3．B【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】，，∴．
故选：B．
4．C【分析】直接根据空间向量的数量积运算的坐标表示计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
5．B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，计算出各选项中线段的长度后可得正确的选项.
【详解】
由四棱台可得，故.
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
故，
故，
故选：B.
6．A【解析】依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立，则，解方程组可求出的值
【详解】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立；
即
由，得，
代入，得（m﹣9）z＝0；
由于x，y，z不全为0，
所以z≠0，
所以m＝9.
故选：A.
7．A【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．
【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而
，设平面的法向量为，根据
，解得，
.
故与平面所成角的大小为，故选A．
【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．
8．B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题 设
则由，可得
解得，即
.
故选B.
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是基础题.
9．ABD【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
10．CD【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项求解判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
则，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：CD
11．BC【分析】由为钝角，可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围，进则可得答案.
【详解】因为，为钝角，
所以且与不共线，
由，得，得，
当与时，令，则，得，
所以当且时，为钝角，
故选：BC
12．BCD【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
13．或【分析】设出点B的坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即得.
【详解】设点B的坐标为，
依题意得，解得，
所以点B的坐标为或.
故答案为：或
14．【分析】设，用表示出，即可得．
【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.
故答案为：．
【点睛】本题考查空间向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标表示，是坐标原点，的坐标就是点的坐标．
15．【分析】根据题意可得、，进而得解.
【详解】点、在平面上的射影分别为、，
∴向量的坐标为．
故答案为：.
16．5【详解】分析：设，则的坐标，利用，求得，即可得到
，即可求解的长度.
详解：设，则，
所以，因为，
所以，解得，
所以，所以.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
17．关于x轴对称，关于平面对称，关于坐标原点对称【分析】根据空间直角坐标系中点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的特征即可得出答案.
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
关于平面对称的点的坐标为，
关于坐标原点对称的点的坐标为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求解.
（2）利用向量的坐标运算即可求解.
(1)
因为，所以，所以.
(2)
因为，所以，所以.
19．【分析】通过空间向量的线性运先计算得＝－－－及＝－－，进而通过坐标的线性运算可得解.
【详解】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．取中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.【分析】由题意可证得,又因为底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，所以,所以以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标.
【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，
则，所以
设，
由为线段的中点，
则，
由，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
21．(1)点的坐标为，．
(2)
【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示；
（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标.
（1）
因为，，，
所以点的坐标为，从而．
（2）
同理因为，，，易得点的坐标为，所以．
22．（1）或；（2）或【分析】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z），由于||=，且分别与、垂直，可得，解出即可．(2) 设,
，解之即得的值，即得＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．再求出点P的坐标.
【详解】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
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