(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.1空间直角坐标系B（Word含解析）
文档属性
| 名称 | (分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.1空间直角坐标系B（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 790.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:15:21 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（ ）
A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4）
C．（8，16，4） D．（16，0，4）
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系 中，若 轴上点 到两点 ， 的距离相等，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则的值为（ ）.
A． B．2 C． D．
5．已知空间向量
向量且,则不可能是
A． B．1 C． D．4
6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AD与BC的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
11．已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在z轴上求一点A，使它到点的距离为，则点A的坐标是___________.
14．棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.
15．已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是________________．
16．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
四、解答题
17．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
18．已知向量，，满足，，且，求．
19．在平面直角坐标系中，已知点
（1）证明：存在点使得，并求的坐标；
（2）过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，求该直线的方程.
20．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上.
（1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度；
（2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值.
21．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
22．已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标:
（1）(-)；
（2）(-).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【分析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
2．D【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D
3．B【分析】设为，利用空间上两点的距离公式列方程求参数y，即可确定的坐标.
【详解】由在轴上，不妨设为 ，
由得：，解得 ，
∴．
故选：B
4．B【分析】由，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出．
【详解】，4，，
，3，，
，
存在实数使得，
，解得，．
．
故选：．
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．A【分析】由题求得的坐标，求得，结合可得答案.
【详解】
，
利用柯西不等式可得
.
故选A.
【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.
6．B【解析】根据题意，求得向量和的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.
【详解】由题意，点，，，，
可得，，
又由，
所以，所以直线AD与BC垂直.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．B【分析】取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】取的中点，连结，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
又，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
，0，，，0，，，0，，
，，，
，0，，，，，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
8．C【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
9．ABD【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
10．CD【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项求解判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
则，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：CD
11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD
12．BCD【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
13．或【分析】设出点A坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即可.
【详解】设点A的坐标为，
依题意得，，解得或，
所以点A的坐标为或.
故答案为：或
14．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，
，设（且只在正方体的条棱上运动），
则，
，
由于，所以.
当时，取最小值；当时，取最大值.
故答案为：
15．【详解】由点在直线上可得存在实数使得，则有，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，
此时点的坐标为.
考点：空间向量数量积的坐标运算.
16．【解析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.
【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定过球心，利用对称性设，，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义求最大值和最小值.
17．.【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，分别求得的长，即可得出结果.
【详解】过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得
∴
∴点D的坐标为.
18．【分析】将代入，再利用空间向量数量积的坐标运算计算即可.
【详解】由已知
19．（1）证明见解析，；（2）.【解析】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心，算出，
根据，得出为的中点，进而求解
(2)利用两点间距离公式可得，，，，再根据过
点的直线将四边形分成周长相等的两部分列方程求解即可
【详解】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心，
，，，四边形外接圆的圆心且为的中点，点的坐标为
(2)由两点间距离公式可得，，，，
过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，故在线段上取一点，
令，即可得三角形的周长等于四边形的周长
设的坐标为，则，
，，点的坐标为，
则该直线的方程为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题
20．（1）；（2）最小值【分析】（1）由已知得，进而得，利用两点之间的距离即可得解；
（2）由已知得，设点，，利用两点之间距离知，利用二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意知，，，
由，得，
又点P关于y轴的对称点为M，所以，
利用两点之间的距离可知.
（2）点P是面对角线AB的中点时，，
点Q在面对角线DC上运动，设点，，
则
所以当时，取得最小值，此时点.
【点睛】方法点睛：利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标)；（3）利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
21．A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．【详解】试题分析: 根据对称关系直接写出各点坐标
试题解析:由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
点睛：关于点对称点为，关于轴对称点为，关于面对称点为
22．（1）(3,,-2)；（2）(5,,0)．【分析】先根据空间向量定义用坐标表示出，再根据运算法则依次求解即可
【详解】由题可知，O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)
所以，
（1）得，即点坐标为
（2），设点坐标为，则有，根据对应关系有，解得，即点坐标为
【点睛】本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（ ）
A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4）
C．（8，16，4） D．（16，0，4）
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系 中，若 轴上点 到两点 ， 的距离相等，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则的值为（ ）.
A． B．2 C． D．
5．已知空间向量
向量且,则不可能是
A． B．1 C． D．4
6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AD与BC的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定
7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
11．已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在z轴上求一点A，使它到点的距离为，则点A的坐标是___________.
14．棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.
15．已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是________________．
16．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
四、解答题
17．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
18．已知向量，，满足，，且，求．
19．在平面直角坐标系中，已知点
（1）证明：存在点使得，并求的坐标；
（2）过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，求该直线的方程.
20．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上.
（1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度；
（2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值.
21．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
22．已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标:
（1）(-)；
（2）(-).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【分析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
2．D【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D
3．B【分析】设为，利用空间上两点的距离公式列方程求参数y，即可确定的坐标.
【详解】由在轴上，不妨设为 ，
由得：，解得 ，
∴．
故选：B
4．B【分析】由，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出．
【详解】，4，，
，3，，
，
存在实数使得，
，解得，．
．
故选：．
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．A【分析】由题求得的坐标，求得，结合可得答案.
【详解】
，
利用柯西不等式可得
.
故选A.
【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.
6．B【解析】根据题意，求得向量和的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.
【详解】由题意，点，，，，
可得，，
又由，
所以，所以直线AD与BC垂直.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．B【分析】取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】取的中点，连结，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
又，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
，0，，，0，，，0，，
，，，
，0，，，，，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
8．C【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
9．ABD【分析】先由向量反向得到，，，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得：，
且，
其中，则，，，
则：，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
10．CD【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项求解判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
则，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：CD
11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD
12．BCD【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
13．或【分析】设出点A坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即可.
【详解】设点A的坐标为，
依题意得，，解得或，
所以点A的坐标为或.
故答案为：或
14．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，
，设（且只在正方体的条棱上运动），
则，
，
由于，所以.
当时，取最小值；当时，取最大值.
故答案为：
15．【详解】由点在直线上可得存在实数使得，则有，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，
此时点的坐标为.
考点：空间向量数量积的坐标运算.
16．【解析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.
【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定过球心，利用对称性设，，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义求最大值和最小值.
17．.【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，分别求得的长，即可得出结果.
【详解】过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得
∴
∴点D的坐标为.
18．【分析】将代入，再利用空间向量数量积的坐标运算计算即可.
【详解】由已知
19．（1）证明见解析，；（2）.【解析】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心，算出，
根据，得出为的中点，进而求解
(2)利用两点间距离公式可得，，，，再根据过
点的直线将四边形分成周长相等的两部分列方程求解即可
【详解】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心，
，，，四边形外接圆的圆心且为的中点，点的坐标为
(2)由两点间距离公式可得，，，，
过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，故在线段上取一点，
令，即可得三角形的周长等于四边形的周长
设的坐标为，则，
，，点的坐标为，
则该直线的方程为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题
20．（1）；（2）最小值【分析】（1）由已知得，进而得，利用两点之间的距离即可得解；
（2）由已知得，设点，，利用两点之间距离知，利用二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意知，，，
由，得，
又点P关于y轴的对称点为M，所以，
利用两点之间的距离可知.
（2）点P是面对角线AB的中点时，，
点Q在面对角线DC上运动，设点，，
则
所以当时，取得最小值，此时点.
【点睛】方法点睛：利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标)；（3）利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
21．A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．【详解】试题分析: 根据对称关系直接写出各点坐标
试题解析:由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
点睛：关于点对称点为，关于轴对称点为，关于面对称点为
22．（1）(3,,-2)；（2）(5,,0)．【分析】先根据空间向量定义用坐标表示出，再根据运算法则依次求解即可
【详解】由题可知，O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)
所以，
（1）得，即点坐标为
（2），设点坐标为，则有，根据对应关系有，解得，即点坐标为
【点睛】本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题
答案第1页，共2页
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