(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示A（Word含解析）
文档属性
| 名称 | (分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示A（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 491.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:16:54 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
2．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．l与斜交
4．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
6．已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
二、多选题
7．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
三、填空题
9．若向量，且，则___________.
10．设空间向量，，若，则 ___．
11．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________.
12．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.
四、解答题
13．已知，，．求：
(1)；
(2)．
14．已知（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2）．
（1）求的值；
（2）已知，，||＝||，求．
15．已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【解析】根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.
【详解】
解得，
代入得，又向量夹角范围：
故的夹角为，则与的夹角，
当时为；时为.
故选：B.
【点睛】本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.
2．C【分析】求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】由已知可得，故．
故选：C.
3．B【解析】根据坐标关系可知，再由是平面的法向量，是直线l的方向向量，即得.
【详解】由题得，，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.
故选：B
【点睛】本题考查直线和平面的位置关系，是基础题.
4．B【解析】由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.
【详解】由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，
故①不正确；
当时，，故②不正确；
当时，，即，反之也成立，故③正确.
所以正确命题的个数为：1.
故选：B.
5．A【分析】以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解.
【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
6．A【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，，故A错；
以及，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；
用可判断D对.
【详解】因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.
故选：A
7．AC【分析】根据空间向量加减法的坐标运算、空间向量的数量积的坐标表示、空间向量的模长公式计算可得结果.
【详解】因为，，
所以，故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：AC
8．BD【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
9．【分析】空间向量垂直，则空间向量的数量积为0，进而列出方程，求得结果
【详解】因为，所以，即，解得：
故答案为：
10．【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.
【详解】因为空间向量，，且，
所以，
即，
可得，解得：，，
所以，，
则，
所以．
故答案为：．
11．【解析】利用向量垂直关系，与垂直，则，可求得，得到向量 ，进而求模长即可．
【详解】解：，，，，1，，
，，，
与垂直，
，
，
解得，，
，，
．
故答案为：.
12．【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.
【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系.则点，
所以.
因为，所以,
因为,所以，所以，
因为B(2，2，0)，所以，
所以
因为，所以当时，.
因为BC⊥BP,所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
13．(1)
(2)
【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．
(1)
解：，
；
(2)
解：．
14．（1）-13；（2）(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．【分析】（1）根据空间向量运算律进行计算即可；
（2）设（x，y，z），根据⊥，⊥，||＝||列方程组可解决此问题．
【详解】（1）∵（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2），
∴（﹣2，﹣3，0），
∴()＝2×（﹣2）+3×（﹣3）+（﹣1）×0＝﹣13；
（2）设（x，y，z），
∵⊥，⊥，||＝||，
∴，
解得：或，
∴(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
15．（1）-6
（2）-4【解析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；
（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；
【详解】解：（1），
∴，
∴.
（2），
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
16．（1）；（2）；（3），．【分析】（1）利用向量的数量积运算求解；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）取轴上的单位向量，由与轴垂直，且，利用数量积运算求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
2．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．l与斜交
4．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
6．已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
二、多选题
7．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
三、填空题
9．若向量，且，则___________.
10．设空间向量，，若，则 ___．
11．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________.
12．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.
四、解答题
13．已知，，．求：
(1)；
(2)．
14．已知（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2）．
（1）求的值；
（2）已知，，||＝||，求．
15．已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【解析】根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.
【详解】
解得，
代入得，又向量夹角范围：
故的夹角为，则与的夹角，
当时为；时为.
故选：B.
【点睛】本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.
2．C【分析】求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】由已知可得，故．
故选：C.
3．B【解析】根据坐标关系可知，再由是平面的法向量，是直线l的方向向量，即得.
【详解】由题得，，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.
故选：B
【点睛】本题考查直线和平面的位置关系，是基础题.
4．B【解析】由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.
【详解】由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，
故①不正确；
当时，，故②不正确；
当时，，即，反之也成立，故③正确.
所以正确命题的个数为：1.
故选：B.
5．A【分析】以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解.
【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
6．A【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，，故A错；
以及，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；
用可判断D对.
【详解】因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.
故选：A
7．AC【分析】根据空间向量加减法的坐标运算、空间向量的数量积的坐标表示、空间向量的模长公式计算可得结果.
【详解】因为，，
所以，故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：AC
8．BD【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
9．【分析】空间向量垂直，则空间向量的数量积为0，进而列出方程，求得结果
【详解】因为，所以，即，解得：
故答案为：
10．【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.
【详解】因为空间向量，，且，
所以，
即，
可得，解得：，，
所以，，
则，
所以．
故答案为：．
11．【解析】利用向量垂直关系，与垂直，则，可求得，得到向量 ，进而求模长即可．
【详解】解：，，，，1，，
，，，
与垂直，
，
，
解得，，
，，
．
故答案为：.
12．【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.
【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系.则点，
所以.
因为，所以,
因为,所以，所以，
因为B(2，2，0)，所以，
所以
因为，所以当时，.
因为BC⊥BP,所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
13．(1)
(2)
【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．
(1)
解：，
；
(2)
解：．
14．（1）-13；（2）(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．【分析】（1）根据空间向量运算律进行计算即可；
（2）设（x，y，z），根据⊥，⊥，||＝||列方程组可解决此问题．
【详解】（1）∵（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2），
∴（﹣2，﹣3，0），
∴()＝2×（﹣2）+3×（﹣3）+（﹣1）×0＝﹣13；
（2）设（x，y，z），
∵⊥，⊥，||＝||，
∴，
解得：或，
∴(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
15．（1）-6
（2）-4【解析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；
（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；
【详解】解：（1），
∴，
∴.
（2），
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
16．（1）；（2）；（3），．【分析】（1）利用向量的数量积运算求解；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）取轴上的单位向量，由与轴垂直，且，利用数量积运算求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
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