(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系A（Word含解析）示

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．两不重合平面的法向量分别为， ，则这两个平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不对
2．若平面α，β的法向量分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．α，β相交但不垂直
C． D．或α，β重合
3．、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．以上选项都不对
6．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
8．已知，，是上的点，将沿翻折到，设点在平面上的射影为，当点在上运动时，点（ ）
A．位置保持不变 B．在一条直线上
C．在一个圆上 D．在一个椭圆上
二、多选题
9．（多选题）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线 的一个方向向量为(0，0，1) B．直线的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面的一个法向量为(0，1，0) D．平面的一个法向量为(1，1，1)
10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，是直线b上不同的两点的，则以下命题正确（ ）
A． B．
C．，使得 D．设与的夹角为，则.
11．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
三、填空题
13．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.
14．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
15．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
16．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．
四、解答题
17．设分别是空间中两个不重合的平面的法向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系.
（1）；
（2）.
18．如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.
19．如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
20．如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．
求证：（1）；（2）平面．
21．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.
22．如图所示，在平行六面体中，，.试运用向量方法证明：E，F，B三点共线.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A【分析】根据平面的法向量与平面垂直的性质，只要判断法向量的位置关系，可得平面的位置关系．
【详解】解：由已知，两不重合平面的法向量分别为（1，0，﹣1），（﹣2，0，2），
所以，
所以两不重合平面的法向量平行，
所以这两个平面的位置关系是平行；
故选：A．
【点睛】本题考查了法向量的运用；如果不重合的平面的法向量平行，则这两个平面也平行．
2．D【分析】根据题意，结合面面位置关系的向量证明，即可求解.
【详解】根据题意，易知，故平面α，β的法向量共线，因此或α，β重合．
故选：D.
3．D【分析】根据选项直接判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断BC选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误；
对于B选项，若，，则或，B选项错误；
对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误；
对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，
由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为，
因为，则，因此，，D选项正确.
故选：D.
4．A【解析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．
【详解】解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．
5．D【分析】计算得到，得到，即直线与平面的位置关系是或，得到答案.
【详解】，，则，故，
故直线与平面的位置关系是或.
故选：D.
6．B【分析】设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.
【详解】设平面的法向量为，
则有取，则.
所以．因为，
所以平面的一个单位法向量可以是.
故选：B
【点睛】本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题.
7．D【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，取线段的中点，求出平面的法向量，利用空间向量法可判断AB选项的正误；分析可知，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、、，
，，所以，，
，线段的中点为，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则.
对于A选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，则，解得，A对；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，即，解得，B对；
对于CD选项，，则，故，
因为.
因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，
当时，取最大值，则的面积最大，C对.
故选：D.
8．C【解析】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取中点，利用，即可得到轨迹方程.
【详解】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，令，且令，
以中点为空间原点，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，设，
则，，，，
所以y，)，，，
因为，所以，
同理，所以，
两式相减得，代入得，
故选：C．
【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
9．ABC【分析】由直线的方向向量和平面的法向量的定义可得选项.
【详解】设正方体的棱长为1，
则，
因为，故A正确；
因为， 故B正确；
直线AD⊥平面ABB1A1，，故C正确；
不垂直，所以与平面B1CD不垂直，故D错.
故选：ABC.
【点睛】本题考查直线的方向向量和平面的法向量的定义和辨别，属于基础题.
10．BCD【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；
【详解】解：对于A，当且平面时，满足，故A错误；
对于B：若则，若则，即可得到，故B正确；
对于C：若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；
对于D：设与的夹角为，则，所以，故D正确；
故选：BCD
11．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A，根据判断B，根据判断C，利用空间向量法求点到直线的距离判断D；
【详解】解：对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；
对于B：因为，，所以，因为平面的法向量，所以，所以直线与平面不平行，故B错误；
对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；
对于D：因为，，所以，所以点到直线的距离，故D正确；
故选：ACD
12．ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；
因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；
设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；
设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；
故选：ABC
13．【解析】由题可得，则得，即.
【详解】，，
，，
.
故答案为：.
14．3【分析】根据题意，结合面面平行的向量证法与向量的共线定理，即可求解.
【详解】∵，∴，∴存在，使得，解得．
故答案为：3.
15．【解析】根据空间向量坐标运算，先求得，再根据法向量与垂直可确定法向量中的参数m.表示出，即可由法向量法求得点P到平面ABC的距离.
【详解】在空间直角坐标系中，
所以，
而平面的一个法向量为，
所以，即，
解得，
所以，
点，则，
则由点到平面距离公式可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了空间向量中法向量的简单应用，点到平面距离公式的向量求法，属于基础题.
16．【分析】根据直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而可求出t的值.
【详解】因为直线l垂直于平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，
即，解得.
故答案为：.
17．（1）；（2）.【分析】（1）先利用向量的线性关系判定的位置关系，进而判定平面的位置关系；
（2）先利用向量的线性关系判定的位置关系，进而判定平面的位置关系；
【详解】（1）因为，所以，则；
（2）因为，所以，则；
18．证明见解析.【分析】连接，由中位线定理即可证明.
【详解】连接,如图，
由正方体知四边形是正方形，且M是的中点，
所以，
即是的中点，
又N是AC的中点，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量法可得两平面的法向量，再根据法向量互相平行证明面面平行；
（2）利用向量法证明平面的法向量与平行，即可得证.
（1）
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
所以，即，
故平面平面；
（2）
由，是线段，中点，
则，，
所以，
则，
所以平面.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】方法一：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，得到、，计算得到，即证明．
（2）先写出坐标，再求出平面的法向量，验证可知，即证明平面．
方法二：（1）由底面证明．再结合可证明平面．从而得到．
（2）由底面证明，再结合证明平面，从而得到；
再证明．结合可证平面，得到；最后根据线面垂直的判定即可以证明平面．
【详解】方法一 （1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，所以，所以．
（2）由（1），得，，．
设向量是平面的法向量，则，即，取，则，所以，所以，所以平面．
方法二 （1）∵底面，∴．又，，∴平面．∵平面，∴．
（2）∵底面，∴．又，，∴平面，∴．由题可得，由是的中点，∴．
又，，∴平面，∴．∵，，，∴平面．
21．证明见解析.【分析】首先取的中点，的中点，连接，得到，根据平面平面，得到平面，根据，得到，再以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，，根据，即可证明平面平面.
【详解】取的中点，的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又，所以，
以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设，，则，，，
，，
所以，，，
设是平面的法向量，是平面的法向量，
则由，，得
令，则，即，
同理，，令，可得，即.
因为，所以平面平面.
【点睛】本题主要考查利用向量法证明面面垂直，同时考查学生的计算能力，属于简单题.
22．证明见解析【分析】连接EF，FB，，由向量的线性运算求得，，由此可得证.
【详解】证明：在平行六面体中，连接EF，FB，.因为，，
所以
；
，
所以，，所以.
又，所以E，F，B三点共线.
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