(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系B（Word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
2．若直线l的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A． B． C． D．或
3．已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是（ ）
A． B．6 C．14 D．
4．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则 α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正方体中，是的中点，则（ ）
A．直线与直线相交，直线平面
B．直线与直线平行，直线//平面
C．直线与直线垂直，直线//平面
D．直线与直线异面，直线平面
6．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
7．已知，，，若，且平面，则（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
二、多选题
9．（多选题）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（ ）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
10．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
11．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
12．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是（ ）
A．=0 B．=0 C．=0 D．=0
三、填空题
13．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
14．如图，在长方体中，，以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴 轴 轴的正方向，建立空间直角坐标系，点在平面上，若平面，则点的坐标是___________.
15．如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点.
①当CH=1时，HG//平面ADF；
②直线CD与AE所成角的正切值为；
③存在点H使GH⊥DF；
④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________.
16．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
四、解答题
17．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
18．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：
（1）E，F，G，H四点共面;
（2）BD//平面EFGH．
19．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
20．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．
（1）若中点为，证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
21．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
22．如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D【分析】判断与的位置关系，进而可得出直线与的位置关系.
【详解】，，或.
故选：D.
【点睛】本题考查利用空间向量法判断线面位置关系，属于基础题.
2．D【分析】根据可得结果.
【详解】因为，
所以，
所以或.
故选：D
3．A【分析】根据题意，结合向量平行的坐标运算，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴，，∴.
故选：A．
4．C【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断①；由法向量的概念判断②③④.
【详解】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
5．C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平行与垂直，即可判断；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，，所以，，，所以与不平行，故直线与直线不平行，即B错误；
，所以，所以，设面的法向量为，即，令，则，，所以，所以，因为平面，所以平面，故C正确；
因为，，故与不垂直，故D错误；
因为，，所以与不相交，故A错误；
故选：C
6．A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
7．D【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标.
【详解】，，，则，解得，
，
平面，、平面，所以，，，
则，解得，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用向量垂直、线面垂直求参数，考查计算能力，属于中等题.
8．B【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
9．ABC【分析】由题可知，要使直线与平面平行，即求直线和平面的法向量垂直即可，结合向量垂直的数量积公式即可求解
【详解】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：
A中，；
B中，；
C中，；
D中，；
综上所述，选项A，B，C符合题意
故选：ABC.
【点睛】本题考查利用空间向量判断直线与平面的平行关系，属于基础题
10．AC【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不确定，可判断B，通过举反例可判断D.
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图，且，
则但和的关系不确定，
故D错误.
故选：AC
11．CD【分析】在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出与不垂直；
在B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面相交；
在C中，三棱锥的体积为；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．
【详解】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
，与不垂直，故A错误；
在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
不共线，平面与平面相交，故B错误；
在C中，三棱锥的体积为：
，故C正确；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：CD．
12．ABD【分析】由已知可得PA⊥平面ABCD，由线面垂直的性质和判定与数量积的关系可得答案．
【详解】在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则有PA⊥平面ABCD，,故，,选项A,D正确；
，，
，故，选项B正确；
与不一定垂直，故选项C不一定成立，
故选：ABD
【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查线面垂直的性质定理和判定定理的应用，属基础题．
13．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
14．##（1,0.5,1）【分析】设出点，利用平面，得到，求出点的坐标
【详解】由题意得：，，，，因为点在平面上，所以设点，若平面，则 ，即，解得：，所以点的坐标是
故答案为：
15．①③④【分析】对①，取的中点，进而证明平面平面，然后得到答案；
对②，由AB∥CD，则∠EAB（或其补角）是所求角，进而解得答案；
对③，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的数量积得到答案；
对④，根据题意，所求距离为到平面的距离的一半，进而用等体积法求得答案.
【详解】对①，如图1，
取的中点，连接由题意，，即四边形BCHT是平行四边形，所以TH∥BC，而BC∥AD，所以TH∥AD，
又G,T分别为AB,FB的中点，所以GT∥AF，而，，
所以平面平面，故平面，故①正确；
对③，如图2，因为AB∥CD，所以直线与所成角即为直线与所成角，连
接，则∠EAB（或其补角）是所求角，因为EC⊥平面ABCD，所以EC⊥AB，
又AB⊥BC，且，所以AB⊥平面BCEF，则AB⊥BE，
所以，故②错误；
对于③，以C为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立如图3的空间直角坐标系，
则,设，所以，，若，
所以，解得，因为，符合题意，故③正确；
对④，如图4，
取的中点为，则到平面的距离即为到平面的距离的一半，
设所求距离为d，由勾股定理易得：,
则，
,所以.
即到平面的距离为，故④正确.
故答案为：①③④.
16．①③④【分析】建立空间直角坐标系：①判断是否为零即可；②判断是否为零即可；③分别求得平面面和平面EFN的一个法向量，判断两个法向量是否共线即可；④由判断即可.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体棱长为3，
①因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确；
②因为,，所以，所以与不垂直，故错误；
③由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；
④因为，则，所以，则，所以，，，四点共面，故正确，
故答案为：①③④
【点睛】方法点睛：1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合) ν1∥ν2 v1＝λν2.
(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使ν＝xν1＋yν2．
(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或l α ν⊥u u·ν＝0．
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2 u1＝λu2.
2．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2 ν1⊥ν2 ν1·ν2＝0．
(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α ν∥u v＝λu．
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
17．证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，
，，
由于，所以平面.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.
（2）用线面平行的判定定理证明.
【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，
则=+=+(+)=++=+，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
（2）因为=-=-=(-)=，
且E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD．
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.
【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，则，
平面，故平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，故平面.
20．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；
（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，的长度分别为1，2，2，且，
则，，，，，
又是的中点，所以，
所以，由已知可得平面的一个法向量为，
则，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，
则有，即，
令，则，，故，
又，
所以点到平面的距离．
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21．证明见解析【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
22．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）设点为棱的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可证平面ADE；
（2）延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，若平面，由线面平行的性质可知，设，推出，根据三点共线的结论求出，从而可推出.
（1）
如图，设点为棱的中点，连接，，
∴,，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）
如图，延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，
若平面，由线面平行的性质可知，
设，
∵点为棱的中点，，，
∴，
∵，，三点共线，
∴，即，
所以当时，，∴，
又平面，平面，∴平面，
∴存在满足条件的点使得平面，此时.
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