(分层突破）高中数学人教A版(2019)选择性必修必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题C（Word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知三棱锥中，，，则异面直线，所成角为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，棱长为1的正方体中，M为线段上的动点（含端点），有下列结论
①平面平面
②三棱锥体积最大值为
③当M为AB1中点时，直线与直线所成的角的余弦值为
④直线与所成的角不可能是
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
10．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为、，若，，则二面角的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中， 分别为棱 的中点，，，则正确的选项是（ ）
A．异面直线与所成角的大小为60°
B．异面直线与所成角的大小为90°
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
12．如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点M，使得//平面
B．直线到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题
13．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.
14．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.
15．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为，则与平面所成角的正弦值为__________．
16．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④△面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题
17．如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.
18．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：∥平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，在四棱锥中，、、两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）.
（1）若异面直线、所成角的余弦值为，求的长；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
22．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以，因为平面，平面，
所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，
，，，
设平面的法向量为，
所以有，
设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B
2．D【分析】先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3．B【分析】根据题意将图形补全成一个长、宽、高分别为1，1，的长方体，再利用向量法即可得出答案.
【详解】解：如图所示，在一个长、宽、高分别为1，1，的长方体中可以找到满足题意的三棱锥，以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
，，
，，
，
所以异面直线，所成角为.
故选：B.
4．A【分析】利用坐标法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
∴，
∴，
即异面直线EF与所成角的余弦值为.
故选：A.
5．C【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，进而由夹角公式可求得结果.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．由于，不妨取，则，，，，∴，，∴，又，∴，即直线与所成的角为.
故选：C．
6．C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
7．D【分析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.
【详解】设线段的中点为，连接，
，为的中点，则，
，则，，同理可得，，
，平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，所以，为等边三角形，故为的中点，
平面，平面，则，
，，平面，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
则、、、，
由于点在平面内，
可设，
其中，且，
从而，
因为，则，
所以，，
故当时，有最大值，即，
故，即有最大值，
所以，.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
8．C【分析】利用面面垂直的判定定理可判断①，利用，可知三棱锥体积最大时，最大，由此可判断②，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可判断③，假设，得到，假设所成角可以为，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得的值，可判断④.
【详解】对于①，，，，平面，
平面，又平面，
平面平面，故①正确；
对于②，，
为上动点，当与重合时，取得最大值为，
，故②正确；
对于③，以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，
当为中点时，，又，，，
，，
，
当为中点时，直线与直线所成的角的余弦值为，③正确；
对于④，设，，
又，，，
，则，，
，
，又，
，
若直线与所成的角为，则，
解得：，又，
当，即时，直线与所成的角为，故④错误.
所以其中正确的是①②③.
故选：C.
9．AD【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.
【详解】，故，A正确；
不是单位向量，且与不共线，B错误；
，C错误；
设，则，，
所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：AD
10．AD【分析】求出的值，即可得解.
【详解】由已知可得，因此，二面角的大小为或.
故选：AD.
11．BC【分析】建立空间直角坐标系，求出，后，由可判断A、B；求出平面的一个法向量后，由点到平面的距离为可判断C、D.
【详解】如图建立空间直角坐标系，连接，
则，，，，，
所以，，
所以，所以，
所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；
又，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
则点到平面的距离为，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：
（1）建立合理的空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；
（2）转化点到平面的距离为方向向量在平面法向量方向上投影的绝对值.
12．BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行
的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设棱上点，，则，若//平面，则有，
解得，与矛盾，即在棱上不存在点M，使得//平面，A不正确；
连AC，矩形是正方体的对角面，有，而P，Q分别为棱AB，BC的中点，
则，又平面，平面，于是有平面，
直线到平面的距离等于点到平面的距离h，因，
则，B正确；
取AD，CD的中点E，F，连接，则，即确定一个平面，如图，
依题意，，，即四边形是平行四边形，，
平面，平面，于是得平面，
显然，平面，平面，于是得平面，
而，平面，因此，平面平面，
即梯形是过与平面平行的正方体的截面，
而，则此等腰梯形的高，
所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；
过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，
由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，
则，而，而球半径，
则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
13．60°##【分析】利用向量数量积求出，从而求出，再根据斜线与平面夹角的概念即可求解．
【详解】∵，
∴，
又∵斜线和平面夹角的范围是，
∴这条斜线与平面所成角的大小为．
故答案为：60°．
14．【分析】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则,则,.设平面ABC1的一个法向量为,则有，不妨设z=1，解得,
则所求距离为
故答案为：.
15．【分析】取中点，连接，证明为二面角的平面角，所以，由余弦定理求得，得，由线面垂直判定定理和性质定理证明两两垂直，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】取中点，连接，如图，则由已知得，，
所以为二面角的平面角，所以，
又，，
中，，，所以，
由，平面，得平面，
又平面，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，
，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，平面的一个法向量是，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
16．①③【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.
【详解】对于①，如图直线与、的延长线分别交于，连接分别交于，连接，
则五边形即为所得的截面图形，故①正确；
对于②，由题可知，平面，平面，
∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得，
，，
∴，
，
∴由，可得，
所以直线到平面的距离是，故②错误；
对于③，如图建立空间直角坐标系，则，
设，
∴，又，
∴，，
假设存在点，使得，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
故存在点，使得，故③正确；
对于④，由上知，所以点在的射影为，
∴点到的距离为：
，
∴当时，，
∴故△面积的最小值是，故④错误.
故答案为：①③.
17．.【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
.设平面的法向量为，
令，则，
.
故与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了利用空间向量线面夹角公式的应用，考查了数学运算能力.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得，利用空间向量求线面夹角．
（1）
取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且
是线段与的中点，且
在图1中且，且．
所以在图2中，且且
四边形是平行四边形，则
由于平面平面平面
（2）
由图1，折起后在图2中仍有
即为二面角的平面角．
以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设
则，
设平面的一个法向量
由，得，取则
于是平面的一个法向量
∴直线与平面所成角的正弦值为
19．（1）；（2）.【分析】（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合异面直线、所成角的余弦值为可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；
（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.
【详解】（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，
得，，，，.
设，其中，
所以，
因为直线、所成角的余弦值为，
所以，
解得，所以，故的长为；
（2）由（1）知，，，.
设平面的一个法向量为.由，得.
取，则，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，由，得，
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，
由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.
【点睛】本题考查利用异面直线所成角的余弦值求线段长度，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.
20．（I）证明见解析；（II）；（III）.【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处
【分析】（1）由题可得EPSD，EFCD，即证；
（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设＝λ，利用条件列方程，即可解得.
（1）
因为E、F分别是SA、SB的中点，
所以EF AB，
在矩形ABCD中，AB CD，
所以EF CD，CD 平面SCD，EF平面SCD，
∴EF 平面SCD，
又因为E、P分别是SA、AD的中点，
所以EP SD，SD 平面SCD，EP平面SCD，
∴EP 平面SCD，
又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，
所以平面PEF 平面SCD．
（2）
假设在棱SA上存在点M满足题意，
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，
又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，
所以平面ABCD，所以SP是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以m＝2．
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设，所以．
设平面PMB的一个法向量为，则，
所以取．易知平面SAD的一个法向量为，
所以，
因为，所以，
所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；
（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可
（1）
因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH.
∵平面PBC，平面平面，∴.
（2）
∵圆锥的母线长为，，∴，，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
，为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为，
则，令，
则
所以当时，即时，最大，亦最大，此时，
所以.
答案第1页，共2页
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