高中数学人教A版(2019)必修第一册5.7三角函数的应用B（word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ）
（参考数据：）
A．50 B．38 C．27 D．15
3．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（ ）
A．函数不具有奇偶性；
B．函数在区间上单调递增；
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．
6．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A．290 B．291 C．292 D．293
二、多选题
7．一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
8．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0
3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5
6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）A． B．
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
三、填空题
9．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式，其中的单位为，t的单位是，则12点时潮水的高度是________.
10．如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为___________.
11．函数，若存在，使得对任意都有成立，则的最小值是_____________．
12．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min，其中心O离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？
四、解答题
13．某一天6~14时某地的温度变化曲线近似满足函数（），其中，x表示时间，y表示温度.求这一天中6~14时的最大温差，并指出何时达到最高气温.
14．埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度（米）时间（，单位：时）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：
（时） 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 12.0 15.0 18.1 14.9 12.0 15.0 18.0 15.0
经长期观察，的曲线可近似地看出函数（其中，，的图象.
（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（2）一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的（船舶停靠时，近似认为海底是平面），停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度（船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）.
15．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．
(1)求秒钟后，点到直线的距离用的解析式；
(2)当时，求的值
16．用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复运动多少次？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解.
【详解】解：将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把函数的图象向左平移个单位长度，得到.
故选：B
2．C【分析】作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.
【详解】设走了3分钟到达（如图所示），
走过的圆心角为，
，
因为 ，
所以，
所以
所以，
所以建筑物的高度：
故选：C
3．A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．C【分析】由图像平移过程写出平移后的解析式，利用正弦函数的对称性求参数，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.
【详解】将向右平移个长度单位后，得到，
∵关于对称，
∴，
∴，即，
又，则，即，
由知：，则，
∴在上的最小值为.
故选：C.
5．A【分析】对A，结合奇偶性的定义判断即可；对B，利用正弦型函数的单调性作出判断；对C，分别判断的振幅大小可得；对D，求出周期，可得频率，即可得出结论.
【详解】对A，的定义域为R，
又，
即为奇函数，故A错误；
对B，时，，，，
故，，，在上均为增函数，
故在区间上单调递增，故B正确；
对C，的振幅为，，则，
所以的振幅大于的振幅，故声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；
对D，易知的周期为，则其频率为，而的周期为，则其频率为，由，得声音甲比纯音更低沉，故D正确．
故错误的选项为A.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查新定义问题，解题的关键是正确利用正弦函数的性质结合求解.
6．B【分析】设闰年个数为，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式，求解即可.
【详解】解：，
所以一个回归年对应的天数为天
假设1200年中，设定闰年的个数为，则平年有个，
所以
解得：.
故选：B.
7．BC【分析】利用周期和角度的关系求解.
【详解】如图所示：
作OM垂直于水面，
则OM=1.8，,,
A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误；
B.，则点在水面的上方的时间是，故正确；
C.，则点P转动了，点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确；
D. 当水轮转动秒时，转动了，点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米，
故选：BC
8．BCD【分析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D.
【详解】依据表格中数据知，可设函数为，
由已知数据求得，，周期，所以﹐
所以有，选项A错误；选项B正确；
由于船进港水深至少要6.25，所以，得，
又，则有或，
从而有或，选项C，D都正确.
故选：BCD
【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角；
长为一个周期的区间内相位所在范围.
9．2【分析】由实际问题的函数式，将直接代入求值即可.
【详解】由题意，将代入函数式，有.
故答案为：2.
10．【分析】首先分析动点在半径为2的上半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，再分析动点在半径为1的下半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，最后写出函数表达式即可.
【详解】由三角函数的定义可得：当动点在半径为2的上半圆上运动时，，终边对应的角度为，所以点坐标为，
当动点在半径为1的下半圆上运动时，，终边对应的角度为，
所以点坐标为，
综上：动点的纵坐标关于时间的函数表达式为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，从而帮助解题.
11．2【分析】先确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期，由此可得结果.
【详解】解：因为函数，若存在，使得对任意都有成立，
所以是最小值，是最大值，
所以的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，也就是半个周期，
所以的最小值为，
故答案为：2
【点睛】此题考查三角函数的性质，确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期是解题的关键，属于中档题.
12．32.【分析】根据题意得到，化简得到或，得到答案.
【详解】设时间为，，根据题意：，故.
故或，故或，.
故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
13．最大温差为20，这一天14时达到最高气温【分析】由求出的范围，再结正弦函数的性质求出函数的最值，从而可求出最大温差
【详解】由，得，
所以当，即时，取得最小值10，
当，即时，取得最大值30，
所以这一天中6~14时的最大温差为20，且14时达到最高气温
14．（1）；（2）18小时.【分析】（1）根据表格数据，找到最低点，最高点，中间位置的近似值取整，得到振幅A,平衡位置B,及周期T,由周期求得角速度ω，取一个最值点求得φ的值，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，利用三角函数的图象和性质，解三角不等式，并结合题意得到所求.
【详解】（1）根据表格可得出：， ，.由可知；当时函数取最大值，即，，可得，又因为，得到，函数的近似表达式为.
（2）由题意得航行时，即.
因为，所以.
通过正弦函数图象可知，当，
即时，.
由于停泊时的要求恒成立，
“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港，
它至多能在港内停留小时.
【点睛】本题考查考查三角函数的综合应用，观察表中数据，总结规律，得到近似的函数解析式是基础，正确理解停泊与航行的条件是正确求解答案的关键.
15．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意求出旋转角即可得出点的横坐标，即可求出解析式；
（2）可得当时，，即可求出.
(1)
由题意可得周期为，则秒钟后，旋转角为，
此时点的横坐标为，
所以点到直线的距离为；
(2)
当时，，
可得旋转了或，
解得或.
16．(1)小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处
(2)都是2厘米
(3)秒
(4)
【分析】（1）作出函数图象，代入函数式计算可得；
（2）由图象可得最高点和最低点对应的值；
（3）由图象可得一个周期的时间；
（4）用1除以周期可得．
(1)
函数在上的图象如图．
当时，（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处．
(2)
小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．
(3)
小球往复运动一次就是一个周期，易知秒，即经过秒往复运动一次．
(4)
每秒钟往复运动的次数．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页