临沂市重点中学2022 级高一新生入学检测试题
数 学 2022.9
(时间：90分钟；满分：120分)
注意事项：
1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考生号、座号填写在相应位置。
2. 选择题答案必须使用 2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用 0.5mm
黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷 (选择题 共 36分)
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 3 分，共 36分)在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．－5的相反数是
A 1．－ B.1
5 5
C．－5 D．5
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A B C D
3．下列计算正确的是
A．2a＋a＝3a2 B．a3·a2＝a6
C．a5－a3＝a2 D．a3÷a2＝a
4．不等式 x＋1≥2x－1的解集在数轴上表示为
A B
C D
5．下列物体中，三视图都是圆的是
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A B C D
6．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3∶1，则这个正多边形是
A．正方形 B.正六边形
C．正八边形 D．正十边形
7．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的
5－1
距离之比约为 ，下列估算正确的是
2
A 0 5－1 2 B.1 5－1． ＜ ＜ ＜ ＜1
2 5 2 2
C.2 5－1 1 D 5－1＜ ＜ ． ＞1
5 2 2 2
8．一元二次方程 2x2－5x＋6＝0的根的情况为
A．无实数根 B.有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
9．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是
A.1 B.2
3 3
C.1 D．1
2
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则 DE的长
为
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A．6 B.8
C．10 D．12
11．一辆汽车开往距出发地 420 km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行 10 km，则提
前 1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是 x km/h，根据题意所列方程是
A.420 420 1 B.420 1 420＝ ＋ ＋ ＝
x x＋10 x x＋10
C.420 420 1 D 420 1 420＝ ＋ ． ＋ ＝
x x－10 x x－10
12．如图为二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象．
在下列说法中：①ac＜0；②方程 ax2＋bx＋c＝0的根是 x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④
当 x＞1时，y随 x的增大而增大．
正确的说法有
A．1个 B.2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷 (非选择题 共 84分)
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分)
13. 11－1________2.(填“＞”“＜”或“＝”)
3 3
14．因式分解：ax2－4a＝________．
15．如图，四边形 ABCD为平行四边形，则点 B的坐标为________．
16．正方形 ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A的坐标为(2，0)，点 B的坐标
为(0 k，4)．若反比例函数 y＝ (k≠0)的图象经过点 C，则 k的值为________．
x
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三、解答题(本大题共 7小题，共 72分)
a 2 4－ － a－4
17．(12分)(1)化简： a－2 ÷ ；
a2－4
(2) 5x－2 3x＋1解不等式：2－ ＞ .
3 4
18.(8分)某班的班主任为了了解该班学生消防安全知识水平，组织了一次消防安全知识测试，
然后从该班 60名学生中，随机抽取了男生、女生各 15人的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】15名男生测试成绩如下：(满分 100分)
66，74，89，85，79，85，74，89，80，85，76，85，69，83，81
15名女生测试成绩如下：(满分 100分)
83，90，83，76，69，76，67，83，79，83，80，89，83，76，83
【整理数据】按如下分数段整理这两组样本数据
组别 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5
男生(人数) 2 2 3 6 2
女生(人数) 2 0 5 6 2
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
男生 80 85 81 45.2
女生 80 83 83 38.3
(1)若规定得分在 80分以上(不含 80分)为合格，请估计全班学生中消防安全知识测试合格的
学生有________人；
(2)由统计可知，样本中男生、女生各有两人的得分超过 85分，该班班主任想从这四名同学
中随机抽取两名同学作为代表到消防中队参加消防安全知识培训，请用画树状图或列表的方法求
被抽取的同学为一男一女的概率；
(3)分析相关数据，从两个方面说明该班对消防安全知识掌握较好的是男生还是女生．
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19．(8分)2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的
横截面示意图，雪道分为 AB，BC两部分，小明同学在 C点测得雪道 BC的坡度 i＝1∶2.4，在 A
点测得 B点的俯角∠DAB＝30°.若雪道 AB长为 270 m，雪道 BC长为 260 m.
(1)求该滑雪场的高度 h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设
备每小时造雪量比乙设备少 35 m3，且甲设备造雪 150 m3所用的时间与乙设备造雪 500 m3所用的
时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
20．(10 2分)如图，一次函数 y＝kx＋b的图象与 x轴正半轴交于点 C，与反比例函数 y＝－ 的
x
图象在第二象限交于点 A(－1，m)，过点 A作 AD⊥x轴，垂足为 D，AD＝CD.
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点 E(a，0)满足 CE＝CA，求 a的值．
21．(10 分)如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点 D为边 AB的中点，点 O在边
BC上，以点 O为圆心的圆过顶点 C，与边 AB交于点 D.
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(1)求证：直线 AB是⊙O的切线；
(2)若 AC＝ 3，求图中阴影部分的面积．
22.(12分)如图，菱形 ABCD的边长为 10，∠ABC＝60°，对角线 AC，BD相交于点 O，点 E
在对角线 BD上，连接 AE，作∠AEF＝120°且边 EF与直线 DC相交于点 F.
(1)求菱形 ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF.
23.(12分) 4如图，已知直线 y＝ x＋4与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C，抛物线 y＝ax2＋bx＋
3
c经过 A，C两点，且与 x轴的另一个交点为 B，对称轴为直线 x＝－1.
(1)求抛物线的表达式；
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(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点 D的横坐标为 m，求四边形 ABCD面积 S的最大值
及此时 D点的坐标；
(3)若点 P在抛物线对称轴上，是否存在点 P，Q，使以点 A，C，P，Q为顶点的四边形是以
AC为对角线的菱形？若存在，请求出 P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
第 7 页 共 7 页1．D
2．解析：选 A.A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B.是轴对
称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，
故本选项不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选 A.
3．解析：选 D.A.2a＋a＝3a，故 A不符合题意；B.a3·a2＝a5，故 B不符合题意；C.a5与
a3不能合并，故 C不符合题意；D.a3÷a2＝a，故 D符合题意．故选 D.
4．B
5．解析：选 D.A.圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；B.
圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，不符合题意；D.正方体的三视图都
是正方形，不符合题意；C.球的三视图都是圆，符合题意．故选 D.
6．解析：选 C.∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3∶1，
∴设这个外角是 x，则内角是 3x，
根据题意得：x＋3x＝180°，
解得：x＝45°，360°÷45°＝8.故选 C.
7．解析：选 B.∵4＜5＜9，∴2＜ 5＜3 1 5－1，∴1＜ 5－1＜2，∴ ＜ ＜1.故选 B.
2 2
8．解析：选 A.∵Δ＝(－5)2－4×2×6＝－23＜0，∴方程无实数根．故选 A.
9．解析：选 B.把 S1、S2、S3分别记为 A、B、C，
画树状图如下：
共有 6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有 4种，即 AB、
AC、BA、CA，
4 2
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ＝ .故选 B.
6 3
10．解析：选 C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，
∴BD FE BDEF DE BF. DE BC ADE ABC DE∥ ，∴四边形 为平行四边形．∴ ＝ ∵ ∥ ，∴△ ∽△ ，∴
BC
AD AD 5 8 3
＝ ＝ ＝ ，∴BC＝ DE，∴CF＝BC－BF＝ DE＝6，∴DE＝10.故选 C.
AB AD＋BD 8 5 5
11．解析：选 A.设这辆汽车原计划的速度是 x km/h，则实际速度为(x＋10)km/h，根据题
420 420
意所列方程是 ＝ ＋1.故选 A.
x x＋10
12．解析：选 C.①利用图象中抛物线开口向上可知 a＞0，与 y轴负半轴相交可知 c＜0，
所以 ac＜0.②图象中抛物线与 x轴交点的横坐标为－1，3，可知方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是
x1＝－1，x2＝3.③从图中可知抛物线上横坐标为 1的点(1，a＋b＋c)在第四象限内，所以 a＋
b＋c＜0.④从与 x轴两交点的横坐标为－1，3可知抛物线的对称轴为 x＝1且开口向上，所以
当 x＞1时，y随 x的增大而增大．所以正确的说法是：①②④.故选 C.
13．解析：∵11＞9，∴ 11＞3，∴ 11－1＞2 11－1 2，∴ ＞ .
3 3
答案：＞
14．解析：ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x－2)．
答案：a(x＋2)(x－2)
15．解析：∵四边形为平行四边形，∴DA∥CB，即将 D点平移到 A的过程与将 C点平
移到 B的过程保持一致．
∵将 D点平移到 A的过程是：x：－1－3＝－4(向左平移 4个单位长度)；y：2－2＝0(上
下无平移)．∴将 C点平移到 B的过程按照上述一致过程进行得到 B(2－4，－1)，即 B(－2，
－1)．
答案：(－2，－1)
16.解析：如图所示，过点 C作 CE⊥y轴．
∵点 B(0，4)，A(2，0)，
∴OB＝4，OA＝2.
∵四边形 ABCD为正方形，
∴∠CBA＝90°，AB＝BC，
∴∠CBE＋∠ABO＝90°.
∵∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO.
∵∠CEB＝∠BOA＝90°，BC＝AB，∴△BCE≌△ABO，
∴BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，
∴OE＝OB＋BE＝6，
∴C(4，6)．
将点 C代入反比例函数解析式可得：
k＝24.
答案：24
2
17 (1) （a－2） －4 a
2
· －4．解： 原式＝
a－2 a－4
a2－4a·a
2－4
＝
a－2 a－4
a（a－4）·（a＋2）（a－2）＝
a－2 a－4
＝a(a＋2)
＝a2＋2a.
(2)2×12－4(5x－2)＞3(3x＋1)，
24－20x＋8＞9x＋3，
－20x－9x＞3－24－8，
－29x＞－29，
x＜1.
18．解：(1)32
(2)画树状图如图：
共有 12种等可能的结果，被抽取的同学为一男一女的结果有 8种，
8 2
所以被抽取的同学为一男一女的概率为 ＝ .
12 3
(3)该班对消防安全知识掌握较好的是女生，理由如下：
①女生测试成绩的中位数＞男生测试成绩的中位数；②男生测试成绩的方差＞女生测试
成绩的方差．
所以该班对消防安全知识掌握较好的是女生．
19．解：(1)过 B作 BF∥AD，过 A作 AF⊥AD，两直线交于 F，过 B作 BE垂直地面交
地面于 E，如图：
根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF 1＝ AB＝135(m)．
2
∵BC的坡度 i＝1∶2.4，
∴BE∶CE＝1∶2.4.
设 BE＝t m，则 CE＝2.4t m，
∵BE2＋CE2＝BC2，
∴t2＋(2.4t)2＝2602，
解得 t＝100(负值已舍去)，
∴h＝AF＋BE＝235(m)，
答：该滑雪场的高度 h为 235 m.
(2)设甲种设备每小时的造雪量是 x m3，则乙种设备每小时的造雪量是(x＋35)m3，
150 500
根据题意得： ＝ ，
x x＋35
解得 x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，也符合题意，
∴x＋35＝50.
答：甲种设备每小时的造雪量是 15 m3，乙种设备每小时的造雪量是 50 m3.
20．解：(1)∵点 A(－1，m) 2在反比例函数 y＝－ 的图象上，
x
∴－m＝－2，解得 m＝2，
∴A(－1，2)．
∵AD⊥x轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，∴OC＝CD－OD＝1，
∴C(1，0)．
把点 A(－1，2)，C(1，0)代入 y＝kx＋b中，
－k＋b＝2 k＝－1
得 ，解得 ，
k＋b＝0 b＝1
∴一次函数的表达式为 y＝－x＋1.
(2)在 Rt△ADC中，AC＝ AD2＋CD2＝2 2，
∴AC＝CE＝2 2，
当点 E在点 C的左侧时，a＝1－2 2，
当点 E在点 C的右侧时，a＝1＋2 2，
∴a的值为 1±2 2.
21．解：(1)证明：连接 OD，CD.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC 1＝ AB，∠A＝90°－∠B＝60°.
2
∵D为 AB的中点，
∴BD＝AD 1＝ AB，
2
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°－60°＝30°.
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝60°＋30°＝90°，
即 OD⊥AB.
∵OD为半径，
∴直线 AB是⊙O的切线．
(2) 1由(1)可知：AC＝AD＝BD＝ AB，
2
又∵AC＝ 3，
∴BD＝AC＝ 3.
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2＋BD2，
即(2OD)2＝OD2＋( 3)2，
解得：OD＝1(负值已舍去)，
1 60π×12 3 π 3 3－π
所以阴影部分的面积 S＝S△BDO－S 扇形DOE＝ ×1× 3－ ＝ － ＝ .2 360 2 6 6
22．解：(1)∵四边形 ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且 AO＝CO，BO＝DO.
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°.
∵AB＝10，AC⊥BD，∴AO＝ABsin 30°＝5，BO＝ABcos 30°＝5 3，
∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10 3，
1 1
∴菱形 ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×10×10 3＝50 3.
2 2
(2)证明：如图，连接 EC，
设∠BAE的度数为 x.
∵四边形 ABCD为菱形，
∴BD是 AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，∠AED＝∠CED，∠EAC＝∠ECA＝60°－x.
∵∠ABD＝30°，
∴∠AED＝∠CED＝30°＋x，
∴∠DEF＝∠AEF－∠AED＝120°－(30°＋x)＝90°－x.
BDC 1∵∠ ＝ ∠ADC＝30°，
2
∴∠EFC＝180°－(∠DEF＋∠BDC)＝180°－(90°－x＋30°)＝x＋60°.
∵∠CED＝30°＋x，
∴∠ECD＝180°－(∠CED＋∠BDC)＝180°－(30°＋x＋30°)＝120°－x，
∴∠ECF＝180°－∠ECD＝180°－(120°－x)＝x＋60°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC.
∵AE＝CE，∴AE＝EF.
23．解：(1)当 x＝0时，y＝4，
∴C(0，4)．
y 0 4当 ＝ 时， x＋4＝0，
3
∴x＝－3，∴A(－3，0)．
∵对称轴为直线 x＝－1，∴B(1，0)，
∴设抛物线的表达式为 y＝a(x－1)(x＋3)，∴4＝－3a，
4 4 4 8
∴a＝－ ，∴抛物线的表达式为 y＝－ (x－1)(x＋3)＝－ x2－ x＋4.
3 3 3 3
(2)如图，过点 D作 DF⊥AB于点 F，交 AC于点 E，
m 4m2 8，－ － m＋4 m 4， m＋4
∴D 3 3 ，E 3 ，
4m＋4
∴DE 4 8 4＝－ m2－ m＋4－ 3 ＝－ m2－4m，
3 3 3
4
－ m2－4m
∴S△ADC＝S△ADE＋S
1 3
△CDE＝ DE·OA＝ · 3 ＝－2m2－6m.2 2
∵S 1△ABC＝ AB·OC
1
＝ ×4×4＝8，
2 2
m 3 2
∴S＝－2m2
＋
－6m 25＋8＝－2 2 ＋ ，
2
m 3 25∴当 ＝－ 时，S
2 最大
＝ ，
2
3 3
m 3 y 4
－ －1 － ＋3
当 ＝－ 时， ＝－ × 2 × 2 ＝5，
2 3
3
－ ，5
∴D 2 .
(3)设 P(－1，n)，∵以 A，C，P，Q为顶点的四边形是以 AC为对角线的菱形，∴PA＝
PC，
即 PA2＝PC2，∴(－1＋3)2＋n2＝1＋(n－4)2，
13
13 －1，
∴n＝ ，∴P 8 .
8
∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC，
∴xQ＝－3－(－1)
13 19
＝－2，yQ＝4－ ＝ ，
8 8
19
－2，
∴Q 8 .
