上海市上海实验学校2022-2023学年高一上学期9月开学考数学试题（Word版含答案）

上海实验学校2022-2023学年高一上学期9月开学考
数学试题
一 填空题
1.计算：__________.
2.若，则__________.
3.若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为__________.
4.已知抛物线的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线②当时，：③方程无实数根.其中正确的说法是__________.（只填写序号）.
5.如图.在中，为三角形内部一点，其，.则的面积为__________.
6.把三张大小相同的正方形卡片A B C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则__________，（填“>”“<”或“=”）
7.若二元一次方程的两个实数根分別是3 ，则__________.
8.有一个六位数，它乘以3后得六位数，则此六位数为__________.
9.若质数满足：，则的最大值为__________.
10.在平面直角坐标系中，对于任意两点的“破晓距离”，给出如下定义：若，则点与点的“破晓距离”为：若，则点与点的“破晓距离”为；.例如：点，点，因为，所以点与点的“破晓距离”为，也就是线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）.已知是直线上的一个动点，点D的坐标是，则当点C与点D的“破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为__________.
二、选择题
11.若是锐角，.那么锐角等于（ ）
A. B. C. D.
12.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：.2和26均为“和谐数”.那么 不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（ ）
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262
13.100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（ ）元.
A.216 B.218 C.238 D.236
14.函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.或
三 解答题
15.如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG.
（1）求证：：
（2）若，请求出的面积.
16.一块三角形材料如图所示，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D E F分别在.设AE的长为x，矩形CDEF的面积为S.
（1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当矩形CDEF的面积为时，求AE的长：
（3）当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？
17.已知是一元次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，成立？若存在，求出k的值：若不存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数的整数值.
18.阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，
所以，只有当时，等号成立.
结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若，只有当__________是，有最小值__________；
（2）思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件.
（3）探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状.
四、附加题
17.已知正实数，，满足：，且.
（1）求的值.
（2）证明：.
18.如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，其中点A的坐标为，与轴交于点，作直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连结.当面积最大时，求点的坐标；
（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点交轴于点将绕点旋转得到在旋转过程中，当点或点落在轴上（不与点重合）时，将沿射线平移得到，在平移过程中，平面内是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一 填空题
1.【解析】原式.
2.【解析】为，
所以①，②，③，
①+②+③得，
当时，；
当时，，代入①得，解得，
综上所述，或.
3.【解析】可化为，
当时，，且的取值无关，故不管取何值时都通过定点.
4.【解析】①对称轴是直线，正确；
②当时，函数图象对应的点在轴下方，因而，正确：
③函数的最小值是-4，因而函数值必须大于-4，
因而方程无实数根，正确.
故正确的说法是①②③.
5.【解析】过作于于，
则四边形是矩形，设，
所以，所以，
所以，所以，所以
所以.
6.【解析】设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A B C的边长为b，
由图1得，由图2得，所以.
7.【解析】把代入元一次方程，解得，
由根与系数的关系得，解得，阿以.
8.【解析】设1后面的五位数为.则，解得，
所以这个六位数为.
9.【解析】由为，所以，因为，所以，
解得，因为，所以，则，
因为，所以，解得，
因为最大，所以当取最大质数23时，不合题意含去，
则时，，此时符命题意，故的最大值为.
10.【解析】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交丁点M，连接CD.
当点C在点D的后上方且使为等腰直角三角形时，
点C与点D的“破晓距离”最小.理由如下：
记此时C所在位置的坐标为.
当点C的横坐标大于时，线段CM的长度变大，
由于点C与点D的“破晓距离”是线段CM与线段MD长度的较大值，
所以点C与点D的“破晓距离”变大：
当点C的横坐标小于时，线段MD的长度变大，
点C与点D的“破晓距离”变大.
所以当点C的横坐标等于时，点C与点D的“破晓距离”最小.
因为，所以，
解得，所以点C的坐标是
二、选择题
11.【解杉】因为，所以，所以，故选.
12.【解析】
（其中为非负整数，
由得，
阠以，即得所有不超过2016的“和谐数”，
它们的和为
.故选.
13.【解析】仟意10个人的钱数的和不超过380元①
所以任意90个人的钱数的和不少于1620元，
由抽屉原理得存在9人的钱数的和不少于162元②，
①-②，一个人最多能有218元.故选B.
14.【解析】的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称：
分两种情况讨论，①当a>0时，过第一 二象限，y=x+a斜率为1，
当a>0时，过第一 二 三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a>1：
②当a<0时，过第三 四象限；而y=x+a过第二 三 四象限；
若使共图象恰有两个公共点，必有a<-l：
故选D.
三 解答题
15.【解析】（1）因为四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形，
所以，
所以，
因为四边形是平行四边形，所以
所以，所以，
在和中，
所以，在平行四边形中，，所以；
（2）过点作丁点，
从为，
所以，
所以
所以
所以，所以，即的面积为.
16.【解析】（1）因为AB=12，AE=x，点E与点A 点B均不重合，
所以，
因为四边形CDEF是矩形，所以，
因为，所以，
在Rt中，，所以，
由勾股定理得，所以，
所以
（2）由题意得.解得，
所以E的长为4或8：
（3）因为
所以当时，矩形CDEF的面积最大，
即当点为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是.
17.【解析】（1）因为是一元二次方程的两个实数根，
所以，所以，
由根与系数的关系得，
所以，
解得，而，故不存在实数使得成立.
（2）由根与系数的关系得，
因为的值为整数，而k为整数，所以只能取
又，所以整数的值为或或.
18.【解析】（1）由题意得，最小值为2；
（2）因为是的直径.所以.
又，所以，
所以RtRt，所以，所以，
若点与O不重合，连接，
在Rt中，从为，所以，
若点与重合时，.所以.
综上所述，，即，当等于半径时取等号；
（3）设，则，
化简得，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以.
由最小值24.
此时，
所以四边形足菱形.
四、附加题
17.（1）解：由等式，
去分母得，
，
，
∴，∵，∴，
∴，∴，∴原式.
（2）由（1）得计算过程知∴，又，，为正实数，
∴
.
所以.
注：
18.（1）因为抛物线对称轴为.
且点A的坐标为.点的坐标为
所以抛物线的解析式为
（2）过作轴交于.设，
设的解析式为，则，解得.
故的解析式为.则
则
.
故当时，取最大值.此时
（3）存在，所有符合条件的坐标为，.
提示：.
①当落在轴上时，如图，点，，
设平移距离是，则，.
由得，解得.
此时，，所以.
②当落在轴上时，如图，点，，
设平移距离是，则，.
由得，解得.
此时，，所以.
综上所述，所有符合条件的点坐标为或