（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2直线的方程B（word含解析）
文档属性
| 名称 | （分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2直线的方程B（word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 494.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 12:55:44 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号
B．
C．
D．
2．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．下列直线中与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．当时，l不经过第二象限
B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
三、填空题
9．设直线过定点，则点的坐标为________.
10．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
11．直线分别交轴 轴的正半轴于 两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
12．在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．
四、解答题
13．已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
14．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
15．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
16．已知直线，互相垂直，且相交于点．
(1)若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围；
(2)若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，
所以,，即，，
故选：B.
2．C【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
3．B【分析】根据两条直线斜率存在时它们的乘积等于-1逐一判断可得答案.
【详解】在直线斜率都存在的情况下，若两直线垂直则斜率乘积为-1，
直线的斜率为，
选项A：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误；
选项B：直线的斜率为5，因为，所以与直线垂直，正确；
选项C：直线的斜率为，因为，所以与直线不垂直，错误；
选项D：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误，
故选：B.
4．A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．A【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
6．A【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
7．ABC【分析】确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.
【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
如下图所示：
由图象可知，直线经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
8．ACD【分析】将直线l变形为斜截式，由l不经过第二象限，列出关于a的不等关系，求解即可判断选项A，将点代入方程即可判断选项B，由直线恒过定点，即可判断选项C，由斜率与倾斜角的关系，即可判断选项D.
【详解】对于A，将l的方程化为，欲使l不经过第二象限，
当且仅当或成立，所以，故A正确；
对于B，点代入直线方程不成立，B不正确；
对于C，因为直线恒过第四象限内的点，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；
对于D，直线的斜率始终存在，为，所以倾斜角不可能等于90°，D正确．
故选：ACD
9．【分析】化简直线方程为，联立方程组，即可求解.
【详解】由直线方程，可化简为，
又由，解得，
即直线恒经过定点.
故答案为：.
10．【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即.
故答案为：.
11．【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.
【详解】∵直线，
∴，
由，得，
∴直线恒过定点，
可设直线方程为，则，，
又，即，当且仅当时取等号，
∴，
当面积最小时，直线的方程为，即.
故答案为：.
12．①③【解析】给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.
【详解】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；
②令直线为：，则直线经过整点，②错误；
③令直线为：，过两个不同的整点，，
则，两式作差得：，
即直线经过整点，
直线经过无穷多个整点，③正确；
④令直线为：，则不过整点，④错误.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
13．(1)
(2)直线的方程为：，直线的方程为：
【分析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.
（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.
（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
15．当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.【分析】设出点A，B的坐标，由直线的截距式写出直线AB的方程，根据点P在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,
【详解】依题意，设点，直线AB的方程为，
而点在直线上，于是有，
显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，
于是得a=b=2时，，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，
所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
16．(1)；
(2)2.
【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式可得的方程为，然后利用的几何意义及斜率公式即得；
（2）设的斜率为，由题可得直线方程，进而可得，然后利用基本不等式即得.
（1）
由于的斜率为2，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
表示点与连线的斜率，由于，，
所以，的取值范围是．
（2）
由题可知，直线，的斜率均存在，且不为0，
设的斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
则，
当且仅当时取“=” ．
故的最小值为2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号
B．
C．
D．
2．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．下列直线中与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．当时，l不经过第二象限
B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
三、填空题
9．设直线过定点，则点的坐标为________.
10．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
11．直线分别交轴 轴的正半轴于 两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
12．在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．
四、解答题
13．已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
14．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
15．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
16．已知直线，互相垂直，且相交于点．
(1)若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围；
(2)若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，
所以,，即，，
故选：B.
2．C【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
3．B【分析】根据两条直线斜率存在时它们的乘积等于-1逐一判断可得答案.
【详解】在直线斜率都存在的情况下，若两直线垂直则斜率乘积为-1，
直线的斜率为，
选项A：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误；
选项B：直线的斜率为5，因为，所以与直线垂直，正确；
选项C：直线的斜率为，因为，所以与直线不垂直，错误；
选项D：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误，
故选：B.
4．A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．A【分析】根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
6．A【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
7．ABC【分析】确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.
【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
如下图所示：
由图象可知，直线经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
8．ACD【分析】将直线l变形为斜截式，由l不经过第二象限，列出关于a的不等关系，求解即可判断选项A，将点代入方程即可判断选项B，由直线恒过定点，即可判断选项C，由斜率与倾斜角的关系，即可判断选项D.
【详解】对于A，将l的方程化为，欲使l不经过第二象限，
当且仅当或成立，所以，故A正确；
对于B，点代入直线方程不成立，B不正确；
对于C，因为直线恒过第四象限内的点，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；
对于D，直线的斜率始终存在，为，所以倾斜角不可能等于90°，D正确．
故选：ACD
9．【分析】化简直线方程为，联立方程组，即可求解.
【详解】由直线方程，可化简为，
又由，解得，
即直线恒经过定点.
故答案为：.
10．【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即.
故答案为：.
11．【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.
【详解】∵直线，
∴，
由，得，
∴直线恒过定点，
可设直线方程为，则，，
又，即，当且仅当时取等号，
∴，
当面积最小时，直线的方程为，即.
故答案为：.
12．①③【解析】给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.
【详解】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；
②令直线为：，则直线经过整点，②错误；
③令直线为：，过两个不同的整点，，
则，两式作差得：，
即直线经过整点，
直线经过无穷多个整点，③正确；
④令直线为：，则不过整点，④错误.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
13．(1)
(2)直线的方程为：，直线的方程为：
【分析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.
（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.
（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
15．当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.【分析】设出点A，B的坐标，由直线的截距式写出直线AB的方程，根据点P在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,
【详解】依题意，设点，直线AB的方程为，
而点在直线上，于是有，
显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，
于是得a=b=2时，，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，
所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
16．(1)；
(2)2.
【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式可得的方程为，然后利用的几何意义及斜率公式即得；
（2）设的斜率为，由题可得直线方程，进而可得，然后利用基本不等式即得.
（1）
由于的斜率为2，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
表示点与连线的斜率，由于，，
所以，的取值范围是．
（2）
由题可知，直线，的斜率均存在，且不为0，
设的斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
则，
当且仅当时取“=” ．
故的最小值为2．
答案第1页，共2页
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