2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知直线l:,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m:,则
C.点到直线l的距离是1
D.过与直线l平行的直线方程是
2.若三条直线和交于一点,则的值为( )
A. B. C.3 D.
3.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线l的方程为,则“将军饮马”的最短总路程是( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线之间的距离不大于,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.或
5.已知点,若直线与线段有交点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6.已知点与关于直线对称,则的值分别为( )
A.1,3 B., C.-2,0 D.,
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为( )
A. B. C. D.
8.设集合,,若,则实数a的值为( )
A.4 B. C.4或 D.或2
二、多选题
9.到直线的距离为2的直线方程可以是( )
A. B. C. D.
10.已知直线和,若直线到直线的距离与到直线的距离之比为,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
11.下列说法错误的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.点关于直线的对称点为
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
12.下列结论正确的是( )
A.若直线和的斜率相等,则
B.已知直线,(、、、、、为常数),若直线,则
C.点到直线的距离为
D.直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
三、填空题
13.点到直线的距离为______.
14.将一张坐标纸折叠一次,使点与点重合,则折痕所在直线的一般式方程为___________.
15.点P为直线上任意一个动点,则P到点的距离的最小值为___________.
16.与直线关于对称的直线的方程为__________.
四、解答题
17.直线与直线的距离为,求实数的值.
18.已知点,求线段的长.
19.求过与的交点且与直线平行的直线方程.
20.求经过直线与的交点,且过点的直线方程.
21.的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与,过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l,求l与CD所在直线的距离.
22.数学家欧拉在年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线.在中,已知,,若其欧拉线的方程为.求:
(1)外心的坐标;
(2)重心的坐标;
(3)垂心的坐标.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.D【解析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可.
【详解】∵:,即,
∴直线的斜率,
∴,则A错;
又,则B错;
点到直线的距离是,则C错;
过与直线平行的直线方程是,即,则D对;
故选:D.
【点睛】本题主要考查直线的方程,属于基础题.
2.C【分析】先求出直线和的交点,再把交点坐标代入即得解.
【详解】解:联立得.
把代入得.
故选:C
3.D【分析】先求点关于直线对称的点,再根据两点之间线段最短,即可得解.
【详解】如图,设关于直线对称的点为,
则有 ,可得,可得,
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为,
此时,
故选:D.
4.B【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为,
则两直线之间的距离,即,
解得.
所以实数的取值范围为.
故选:B.
5.C【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上,得出不等式(2k﹣2﹣1)×(﹣k﹣3﹣1)≤0,求出解集即可.
【详解】根据题意,若直线l:kx﹣y﹣1=0与线段AB相交,
则A、B在直线的异侧或在直线上,
则有(2k﹣2﹣1)×(﹣k﹣3﹣1)≤0,
即(2k﹣3)(k+4)≥0,解得k≤﹣4或k≥,
即k的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[,+∞).
故选C.
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题,考查了转化思想,是基础题.
6.B【解析】点关于直线对称,则利用垂直关系,以及线段的中点在直线上,列式求解.
【详解】,若点与关于直线对称,
则直线与直线垂直,直线的斜率是,
所以,得.
线段的中点在直线上,则,得
故选:B
7.C【解析】作出图形,求出点关于直线的对称点的坐标,在直线上取点,利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】如下图所示,设点关于直线的对称点为,
由题意可得,解得,即点,
在直线上取点,由对称性可得,
所以,,
当且仅当、、三点共线时,等号成立,
因此,“将军饮马“的最短总路程为.
故选:C.
【点睛】思路点睛:本题考查“将军饮马”最短路径问题,求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后,利用三角形两边之和大于第三边的特点,利用三点共线时求得最值来求解.
8.C【分析】本题先化简集合A、集合B,再结合,确定直线与平行或直线过点,最后求实数a的值.
【详解】解:集合A表示直线,即上的点,但除去点,
集合B表示直线上的点,
当时,
直线与平行或直线过点,
所以或,
解得或.
故选:C.
【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数,是基础题.
9.AD【分析】设所求的直线方程为,由两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】解:设所求的直线方程为,
由题意,解得或,
故所求直线方程为或,
故选:AD.
10.BD【分析】首先设直线,直线到直线和的距离分别为,根据题意得到,再解方程即可得到答案。
【详解】设直线,且,
直线到直线和的距离分别为,
由题知:,,
因为,所以,
即,解得或,
即直线为或。
故选:BD
【点睛】本题主要考查平行线间的距离公式,熟记公式为解题关键,属于简单题。
11.AD【分析】A注意垂直于x轴的直线;B由对称点所在直线的斜率与斜率关系,及其中点在对称直线上判断正误;C求直线与数轴交点即可求面积;D注意直线也符合要求即可判断.
【详解】A:垂直于x轴的直线不存在斜率,错误;
B:由、中点为且,两点所在直线的斜率为,故与垂直,正确;
C:令有,令有,所以围成的三角形的面积是,正确;
D:由也过且在x轴和y轴上截距都为0,错误.
故选:AD
12.BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误;利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误;利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误;利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项,若直线和的斜率相等,则与平行或重合,A选项错误;
对于B选项,已知直线,(、、、、、为常数).
当直线和的斜率都存在时,则,,
直线的斜率为,直线的斜率为,若,则,可得;
当直线和分别与两坐标轴垂直,设轴,则轴,则,,满足.
综上所述,若直线,则,B选项正确;
对于C选项,直线的一般方程为,
所以,点到直线的距离为,C选项错误;
对于D选项,由点到直线的距离的定义可知,直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离,D选项正确.
故选:BD.
【点睛】结论点睛:利用一般式方程判定直线的平行与垂直:
已知直线和直线.
(1)且;
(2).
13.【分析】根据点到直线距离公式,直接求解,即可得出结果.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为:.
【点睛】本题考查求点到直线的距离,熟记公式即可,属于基础题型.
14.【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率,利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.
【详解】点与点连线斜率,折痕所在直线斜率,
又点与点的中点为,
折痕所在直线方程为:,即.
故答案为:.
15.3【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小,再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小,此时距离等于点到直线的
距离,故P到点的距离的最小值为3.
故答案为:3.
16.【分析】求出直线与直线的交点,在直线上取点,求出它关于直线的对称点,再由两点式可求出结果.
【详解】联立,解得,所以直线与直线的交点为,
在直线上取点,设点关于直线的对称点为,
则,解得,所以点关于直线的对称点为,
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为:
,即.
故答案为:
17.或【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求得结果.
【详解】直线方程可化为:,
则两条直线间距离,即,解得:或.
故答案为:或.
18.【分析】利用对数的运算求出,再由两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得,
由两点间的距离得.
19..【分析】通过解方程组求出交点坐标,再根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】由,即交点坐标为,
设所求直线为,把代入所设方程中,得
,故而所求直线方程为.
20.【分析】联立方程可求交点,结合条件即求;或设直线交点系方程,利用条件即求.
【详解】解法一:联立直线方程,解方程组得,
由两点式得所求直线的方程为,
即.
解法二:易知直线不符合所求方程,设所求直线方程为,
将点的坐标代入,得,
解得,
故所求直线方程为,整理得.
21.【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程,然后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】由题意,设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.
由平行四边形性质,点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,
则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:
即;
所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:,
综上,直线l与CD所在直线的距离为.
22.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标;
(2)设,由此可得重心坐标,将其代入欧拉线可得关于方程;由可得关于的另一方程,由此联立可得的值,进而得到重心坐标;
(3)将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且,垂直平分线方程为:,
即,
由得:,即外心.
(2)
设,则重心,
将代入欧拉线得:,即…①;
由得:…②;
由①②得:或(与重合,不合题意),
,重心.
(3)
由(2)知:;由(1)知:,
边的高所在直线方程为:,即;
由得:,垂心.
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