（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式A（word含解析）
文档属性
| 名称 | （分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式A（word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 616.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 12:54:50 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
2．若三条直线和交于一点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3 B．， C．-2，0 D．，
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
二、多选题
9．到直线的距离为2的直线方程可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法错误的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
12．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
三、填空题
13．点到直线的距离为______.
14．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.
15．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.
16．与直线关于对称的直线的方程为__________.
四、解答题
17．直线与直线的距离为，求实数的值．
18．已知点，求线段的长．
19．求过与的交点且与直线平行的直线方程．
20．求经过直线与的交点，且过点的直线方程.
21．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离．
22．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【解析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线的方程，属于基础题．
2．C【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解.
【详解】解：联立得.
把代入得.
故选：C
3．D【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
4．B【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
5．C【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
6．B【解析】点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
7．C【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
8．C【分析】本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
9．AD【分析】设所求的直线方程为，由两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】解：设所求的直线方程为，
由题意，解得或，
故所求直线方程为或，
故选：AD.
10．BD【分析】首先设直线，直线到直线和的距离分别为，根据题意得到，再解方程即可得到答案。
【详解】设直线，且，
直线到直线和的距离分别为，
由题知：，，
因为，所以，
即，解得或，
即直线为或。
故选：BD
【点睛】本题主要考查平行线间的距离公式，熟记公式为解题关键，属于简单题。
11．AD【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.
【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；
B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；
C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；
D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.
故选：AD
12．BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：
已知直线和直线.
（1）且；
（2）.
13．【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
14．【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.
【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率，
又点与点的中点为，
折痕所在直线方程为：，即.
故答案为：.
15．3【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的
距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3.
16．【分析】求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果.
【详解】联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即.
故答案为：
17．或【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求得结果.
【详解】直线方程可化为：，
则两条直线间距离，即，解得：或.
故答案为：或.
18．【分析】利用对数的运算求出，再由两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得，
由两点间的距离得．
19．.【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】由，即交点坐标为，
设所求直线为，把代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为．
20．【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求.
【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即.
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得.
21．【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.
由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,
则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:
即;
所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:，
综上，直线l与CD所在直线的距离为.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
2．若三条直线和交于一点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3 B．， C．-2，0 D．，
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
二、多选题
9．到直线的距离为2的直线方程可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法错误的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
12．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
三、填空题
13．点到直线的距离为______.
14．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.
15．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.
16．与直线关于对称的直线的方程为__________.
四、解答题
17．直线与直线的距离为，求实数的值．
18．已知点，求线段的长．
19．求过与的交点且与直线平行的直线方程．
20．求经过直线与的交点，且过点的直线方程.
21．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离．
22．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【解析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线的方程，属于基础题．
2．C【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解.
【详解】解：联立得.
把代入得.
故选：C
3．D【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
4．B【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
5．C【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
6．B【解析】点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
7．C【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
8．C【分析】本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
9．AD【分析】设所求的直线方程为，由两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】解：设所求的直线方程为，
由题意，解得或，
故所求直线方程为或，
故选：AD.
10．BD【分析】首先设直线，直线到直线和的距离分别为，根据题意得到，再解方程即可得到答案。
【详解】设直线，且，
直线到直线和的距离分别为，
由题知：，，
因为，所以，
即，解得或，
即直线为或。
故选：BD
【点睛】本题主要考查平行线间的距离公式，熟记公式为解题关键，属于简单题。
11．AD【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.
【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；
B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；
C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；
D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.
故选：AD
12．BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：
已知直线和直线.
（1）且；
（2）.
13．【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.
14．【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.
【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率，
又点与点的中点为，
折痕所在直线方程为：，即.
故答案为：.
15．3【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的
距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3.
16．【分析】求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果.
【详解】联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即.
故答案为：
17．或【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求得结果.
【详解】直线方程可化为：，
则两条直线间距离，即，解得：或.
故答案为：或.
18．【分析】利用对数的运算求出，再由两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得，
由两点间的距离得．
19．.【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】由，即交点坐标为，
设所求直线为，把代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为．
20．【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求.
【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即.
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得.
21．【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.
由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,
则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:
即;
所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:，
综上，直线l与CD所在直线的距离为.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
答案第1页，共2页
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