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整式乘法与因式分解(1)
整式乘法
1
整式乘法
同底数幂的乘法:
aman=am+n
幂的乘方:
(am)n=amn
积的乘方:
(ab)n=anbn
1.单项式乘以单项式:
把它们的系数、同底数的幂分别相乘,对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式乘以多项式:
单项式乘以单项式
m(a+b+c)=ma+mb+mc
3.多项式乘以多项式:
单项式乘以多项式
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
预备知识
am+n=aman
amn=(am)n
anbn=(ab)n
相反变形
难点
转化
转化
(x±y)2=x2±2xy+y2
4.乘法公式:
完全平方公式:
(x+y) (x-y)=x2-y2
平方差公式:
要点梳理
2
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式
(1)先系数相乘,注意符号运算;
(2)相同字母或相同因式的幂相乘(即同底数幂相乘);
(3)其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
注意点
知识要点
单项式乘以多项式
(1)依据是乘法分配律
(2)积的项数与多项式的项数相同.
单项式与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
注意点
a(b+c+d)=ab+ac+ad
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式乘以多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
知识要点
知识要点
乘法公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2
速记口诀:
首平方,尾平方,
乘积2倍放中央,
符号确定看前方.
完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和,加上(或减去)
这两数乘积的2倍.
(1)结果为三项式;
(2)结果中有两项是两数的平方和;
(3)结果中的另一项是两数积的2倍,且与左边中间的符号相同;
(4)公式中的字母a,b可以表示数,单项式和多项式等代数式.
公式特征
典例精析
运用完全平方公式计算:
(4m+n)2
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2
解: (4m+n)2 =
= 16m2+8mn +n2
(4m)2+2 (4m) n+n2
乘法公式:
(a+b) (a-b) =a2-b2
平方差公式
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式特征
(1)左边:两个二项式相乘,其中一项完全相同,另一项互为相反数;
(2)右边:乘式中两项的平方差;
(3)公式中的字母a,b可以表示数,单项式或多项式.
判断下列各式能否用平方差公式,若能请直接说出结果.
(1)(a+b) (-a-b) (4)(a-b) (a+b)
(2)(a+b) (-a+b) (5)(a-b) (-a-b)
(3)(a-b) (2a+b) (6)(a-b) (-a+b)
运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2) (2) (-x+3y)(x+3y)
典例精析
解:(1) (3x+2)(3x-2)
(a+ b) (a- b) = a2 - b2
=(3x)2-22
= 9x2-4
(2) (-x+3y)(x+3y)
=(3y-x)(3y+x)
= (3y)2-x2
= 9y2-x2
典型例题
3
题型一 直接利用法则、公式计算
【例题1】(1)计算(﹣2x3y2)3 4xy2= .
(2)化简:(-x+1)2-(x+2)(x-2)的结果是___________.
﹣32x10y8
-2x+5
易错之处:
忽略符号
造成误解
题型一 直接利用法则、公式计算
【变式】(1)计算(﹣2x3y2)2 3xy2= .
(2)化简:(-2x+3)2-4(x+2)(x-2)的结果是___________.
12x7y6
-12x+25
D
【例题2】(1)下列计算正确的是 ( )
A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
(2)若49+kx+x2是一个完全平方式,则k= .
题型二 平方差与完全平方公式应用
±14
整体思想
题型二 平方差与完全平方公式应用
D
【变式】(1)下列整式乘法中,能运用平方差公式进行运算的是( )
A.(2a+b)(2b-a) B.(-2x-b)(2x+b)
C.(2x-y)(x-2y) D.(2m+n)(n-2m)
(2)已知a+b=8,ab=12,则a2+b2的值是 .
题型二 平方差与完全平方公式应用
40
乘法公式的恒等变形
【例题3】(1)已知 ,则 .
11
(2)已知 , , 则 .
1
题型三 公式变形运用
(3)已知 , ,求
先观察要求的代数式与已知的代数式之间的关系,再根据相应的公式变形进行求解!
题型三 公式变形运用
=13
题型四 利用对应项系数相等求参数
【例题4】若(3x+2)(x+p)=mx2+nx﹣2,则下列结论正确的是( )
A.m=6 B.n=1 C.p=﹣2 D.mnp=3
【变式1】已知(x+p)(x+q)=x2+mx+12,其中p,q为正整数,则m= .
7、8或13
D
【变式2】(1)试证明代数式(2x+3)(3x+2)﹣6x(x+3)+5x+16的值与x的值无关.
题型四 利用对应项系数相等求参数
解:(1)式子化简=22,
∴代数式(2x+3)(3x+2)﹣6x(x+3)+5x+16的值与x无关.
【变式2】(2)若(x2+nx+3)(x2﹣3x+m)的展开式中不含x2和x3的项,求m,n的值.
题型四 利用对应项系数相等求参数
解:(2)原式的展开式中,
含x2的项是:mx2+3x2﹣3nx2=(m+3﹣3n)x2,
含x3的项是:﹣3x3+nx3=(n﹣3)x3,
由题意得:n-3=0,m+3-3n=0.解得m=6,n=3.
题型五 公式与简便运算
【例题5】利用乘法公式简便运算
(1)97×103 (2)20182-2017×2019
(3)计算:
利用完全
平方公式
题型五 公式与简便运算
(4)计算:
利用平方差 公式
题型五 公式与简便运算
【例题6】如图1是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中阴影部分的面积是 (用含a、b 的代数式来表示)
(2)观察图2,请写出 之间的关系: .
题型六 公式与图形
(4)通过计算面积可以探究相应的等式,观察图3,你有什么发现?
(3)根据(2)中的结论,若 ,则 .
±4
题型六 公式与图形
课堂小结
4
2、整体思想。公式中的字母不仅可以是单项式,还可以是多项式,只需要将该多项式看作一个整式,运用整体思想即可!
3、通过计算图形面积,可以直观感受乘法公式的几何意义,利用这样的方法也可以探求其他相应的等式。
1、牢牢把握乘法公式的特征。运用完全平方公式、平方差公式时,应注意两个公式的结构特征,不能将两个公式相混淆!
课堂小结
再见