苏科版数学七年级下册 第9章 整式乘法与因式分解（2）课件 (共25张PPT)

(共25张PPT)
整式乘法与因式分解（2）
因式分解要点梳理
1
B.
C.
D.
选择题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. (a+3)(a-3)=a2 -9 B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C. a2-4a-5=a(a-4)-5 D. a2-4a-5=(a-2) 2-9
知识回顾（因式分解）
1、因式分解概念
把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
B
等式的特征：
左边是 ，右边是 .
多项式
几个整式的乘积
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
（1）提公因式法：
（逆用乘法分配律）
ab+ac+ad= a(b+c+d)
1.系数取各项系数最大公约数；
2.字母取各项相同的字母；
3.指数取各项最低的.
分解因式：12x2yz - 9x3y
解:原式= 3x2y(4z-3x)
公因式
括号内项数不变
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
（2）运用公式法：
把下列各式分解因式：
（1）m2-9n2
解:原式= m2-(3n) 2
a2－b2= (a＋b) (a－b)
a2 ＋2ab+b2= (a＋b)2
a2－2ab+b2= (a－b)2
平方差公式：
完全平方公式：
逆用整式乘法公式
(a＋b) (a－b) =a2－b2
(a＋b)2=a2＋2ab + b2
(a－b)2=a2－2ab +b2
=(m+3n)(m-3n)
（2） a2b2 -2ab +1
解:原式= (ab) 2-2ab +12
= (ab-1) 2
第一个数为相同数，第二个数为相反数
两项
三项
注意符号对应
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
分解因式：x2+6x+5
解:原式= (x+1) (x+5)
x2+(p+q) x+pq= (x+p) (x+q)
*（3）十字相乘法
1×5
1 + 5
1.二次项系数是1；
3.一次项系数是常数项分解得到的两个因数之和.
2.常数项是两个数之积；
二次三项式
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
*（4）分组分解法：
分解因式：x2-y2+ax+ay
解:原式= (x+y)(x-y)+a(x+y)
分组后可以直接提公因式或运用公式进行因式分解（三项以上）
整体
= (x+y)(x-y+a)
两两分组
3、因式分解的步骤
1、提取公因式（三步：系数、字母、指数.）
2、看项数（两项用平方差公式；三项用完全平方公式或十字相乘；四项用分组分解）
3、查（检查每个因式是否还能继续分解）
知识回顾（因式分解）
一提 二看 三查
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止
分解因式：3ax4-3ay4
解:原式= 3a(x4-y4)
一提
= 3a(x2+y2) (x+y) (x-y)
三查
二看
= 3a(x2+y2) (x2-y2)
整式乘法（计算）：
( 4ab2) (5b2)＝ 20ab3
a2(1- 3a) = a2-3a3
(x+2)(2x-3) =2x2+x-6
(2x+3)(2x-3) = 4x2-9
(2x+3y) 2= 4x2+12xy+ 9y2
知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）
因式分解：
12xyz - 9x2 y= 3xy(4z-3x)
m2-9n2=(m+3n)(m- 3n)
a2b2 -2ab +1=(ab-1 ) 2
3ax 4-3ay4 = 3a (x2+y2) (x+y) (x-y) x2-y2+ax+ay= (m+3n)(m- 3n)
积（因式）
和（多项式）
变形
积（因式）
和（多项式）
除单项式乘单项式等于单项式外
变形
整式乘法和因式分解是既有联系又有区别的两种变形：
整式乘法
ab＋ac+ad
a(b＋c+d)
整式乘法
a2－b2
(a＋b) (a－b)
整式乘法
a2 ± 2ab+b2
(a±b) 2
因式分解
因式分解
因式分解
积
和
知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）
典型例题
2
例1. 把下列各式分解因式
因式分解
(2) (x-1)(x-3)+1
(1) 4x(a-b)-8y(b-a)
解:原式=x2-3x-x+3+1
多乘多
=x2-4x+4
合并同类项
=(x-2)2
完全平方公式
解:原式=4x (a-b)+8y(a-b)
减法法则
=4(a-b) (x+2y)
提公因式
提公因式要提干净
因式分解
例1. 把下列各式分解因式
(3) x4-2x2+1
解:原式= ( x2-1) 2
完全平方公式
(4) m2+7m-18
= [( x+1) ( x-1)] 2
平方差公式
= ( x+1)2 ( x-1)2
积的乘方
(ab)n=anbn
解:原式= (m-2) (m+9)
分解因式的结果为积的形式
-2 + 9
-2 × 9
因式分解
例1. 把下列各式分解因式
(5) 3x+x2-y2-3y
解:原式= (3x-3y) +( x2-y2)
加法交换律结合律
(6) a2- b2- c2+2bc
=3(x-y) +( x+y) ( x-y)
提公因式平方差公式
= (x-y) (3+x+y)
提公因式
解:原式= a2- (b2+c2-2bc)
分组分解
= a2- (b-c) 2
= (a+b-c) (a-b+c)
加法交换律结合律
完全平方公式
平方差公式
两两分组
一三分组
整体思想
因式分解应用
例2. 已知 a+b=4，a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 .
原式=[(a+1)+(b-1)] [(a+1)-(b-1)]
=(a+b)(a-b+2)
=4×(1+2)
=12
12
原式=(a2+2a+1)-(b2-2b+1)
=a2+2a+1-b2+2b-1
=a2-b2+2a+2b
=(a+b)(a-b)+2(a+b)
=4×(1+2)
=12
解法(一)：先分解因式
解法(二)：先用乘法公式展开
整体代入
先用平方差公式分解因式
先用完全平方公式展开
整体代入
=(a+b)(a-b+2)
因式分解应用
因式分解应用
变式1. 已知 a+b=4，ab=2,则a3b+2a2b2+ab3的值为 .
变式2. 已知 a-b=3，b+c=5,则ac-bc+a2-ab的值为 .
（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解
的最后结果　 ；
例3.请仔细阅读以下内容，然后回答问题：
下面是某同学对多项式 (x2-4x+2) (x2-4x+6) +4进行因式分解的过程：
解：令x2-4x+2 =y，则：
原式＝y(y+4)+4 （第一步）
＝ y2+4y+4 （第二步）
＝ (y+2)2 （第三步）
＝ (x2-4x+4)2（第四步）
因式分解应用
C
(x-2)4
(x2-4x+4)2＝[(x-2)2]2=(x-2)4．
把括号中的相同部分
(x2-4x+2)看做一个整体
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　；
A．提取公因式 B．平差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
用 x2-4x+2整体替换y
转化为简单的二次三项式
转化后分解因式
整体代入
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x) (x2-2x+2) +1进行因式分解．
因式分解应用
＝(x2-2x+1)2
原式＝y(y+2) +1
解:设x2-2x＝y．
把x2-2x看做一个整体
＝( y+1)2
用 x2-2x整体替换y，并检查能否继续分解
＝[( x-1)2]2
＝ (x-1)4
转化为简单的二次三项式
转化后分解因式
＝y2+2y+1
整体代入
例4.已知：a、b、c是△ABC的三边长，且满足
a2b-a2c+b3-b2c=0．试判断△ABC的形状
因式分解应用
∴ b-c=0或 a2+b2=0
(a2b-a2c ) + ( b3-b2c) =0
解: a2b-a2c+b3-b2c=0
因式分解
(b-c) (a2+b2) =0
∵a2+b2不可能等于0
a2(b-c ) + b2 ( b-c) =0
∴ b-c=0
即b=c ，△ABC是等腰三角形
2、已知：x2+5y2+4xy-6y+9=0，求xy的值.
1、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值.
拓展训练
3、因式分解：x3-2x2-5x+6.
拓展训练
课堂小结
3
知识框架
单项式乘多项式
多项式乘多项式
单项式乘单项式
图形面积
形
数
转化
一般
特殊
逆向变形
互逆变形
整式乘法
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
因式分解
逆向变形
完全平方公式
方法
提公因式法
运用公式法
平方差公式
概念
分组分解法
十字相乘法
步骤
课堂小结
1、学习的知识点：灵活运用整式乘法和因式分解的知识
解决相关问题
2、学习的数学思想：整体思想，数形结合，归纳思想
再见