（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式C（word含解析）
文档属性
| 名称 | （分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式C（word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 798.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 12:59:10 | ||
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文档简介
2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
4．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
5．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
二、多选题
9．（多选）已知点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）．
A．3 B．1 C． D．-1
10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为90°
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
11．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
12．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减，上单调递增
B．函数的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
三、填空题
13．两平行直线与间的距离为______.
14．在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
15．若直线被直线与截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为________.
16．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
四、解答题
17．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
（1），；
（2），．
18．直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
19．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
20．已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求（1）AC所在的直线的方程；
（2）点B的坐标．
21．已知直线，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
22．给定任一锐角及高，在上任取一点D，联结并延长交于点E，联结且延长交于点F，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
2．B【分析】设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
3．A【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
4．A【分析】利用点到直线的距离求解.
【详解】解：因为点到直线和直线的距离相等，
所以，
化简得：或，
故选：A
5．C【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
6．A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【详解】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
7．A【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
8．A【分析】设N（，），则M、N两点的“垂直距离”为：||+||．由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值．
【详解】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设，
则两点的“垂直距离”为：
所以两点的“垂直距离”的最小值为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题．
9．BC【分析】根据点到直线的距离公式列方程，化简求得的值.
【详解】根据题意，得，即，解得或．
故选：BC
10．BD【分析】A令即可判断正误；B由过定点，再由定点与的关系判断正误；C令即可判断正误；D利用直线垂直的判定判断值的存在性即可.
【详解】A：当时，，符合倾斜角为90°，错误；
B：过定点，而也在上，对任意的，与都有公共点，正确；
C：当时，，显然与重合，错误；
D：要使与都垂直则，显然不存在这样的值，正确.
故选：BD
11．BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：
已知直线和直线.
（1）且；
（2）.
12．ABD【分析】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，让点P在x轴上移动，可观察出的变化情况，从而判断出各选项的正确性.
【详解】
设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，
由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，
当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；
当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；
，而，
显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；
方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x轴上的点到A、B两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.
13．【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解.
【详解】由题意两平行直线间的距离
故答案为：
【点睛】本题考查两条平行直线间距离公式，属于基础题.
14．4【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.
【详解】在一象限，所以，
点到直线的距离为3，则
，解得：或.
因为，所以.
故答案为：4.
15．或【解析】易知直线与平行，且它们之间的距离为：，然后根据直线被直线与截得的线段长为，求得直线与与的夹角即可
【详解】因为直线与平行，
则与之间的距离为：
设直线与与的夹角为，
因为直线被直线与截得的线段长为，
则，解得，
因为两直线的斜率为1，故倾斜角为，
所以直线的倾斜角的值为或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查两平行间的距离两直线的夹角，直线的倾斜角的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且 =1×1×cos∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d=，
可得2=1，解得t=，
即有两平行线的距离为=，
即+的最大值为+，
故答案为+．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
17．（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；
（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.
【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：
（2）联立，解得，交点为，如下图所示：
18．或【分析】解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解；
【详解】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
20．（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；
（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.
【详解】因为AC⊥BH，
所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组，
化简得解得，
故B(－1，－3)．
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
21．（1）；（2）或.【分析】（1）先根据设出直线的方程，再将点代入即可求得直线的方程，与直线联立即可求解；
（2）讨论直线过原点和不过原点两种情况，过原点结合过与的交点即可写出方程，不过原点时，设出其截距式方程，即可求解.
【详解】（1）设的方程为，.
因为在轴上的截距为，所以，解得，
即：，
联立，得
所以直线与的交点坐标为 ．
（2）当过原点时，的方程为，
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
的方程为，
综上，的方程为或.
【点睛】易错点睛：题目中给的条件在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，容易忽略横纵截距都为0的情况也符合题意.
22．证明见解析【分析】要证，即证，建立直角坐标系，如图所示，求出直线，的方程，进而求得交点E的坐标，同理可求出点F的坐标，结合两点之间的斜率公式即可得解.
【详解】以点H为原点，以与所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，如图所示，
设A、B、C、D的坐标分别为，，，，
则，所在的直线的方程分别为，.
联立，求得交点E的坐标为，即，
同理，，故.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线的方程，两点连线的斜率公式，解题的关键是将所要证得，转化为证，建立直角坐标系，求出点的坐标进而得证，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
4．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
5．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
二、多选题
9．（多选）已知点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）．
A．3 B．1 C． D．-1
10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为90°
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
11．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
12．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减，上单调递增
B．函数的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
三、填空题
13．两平行直线与间的距离为______.
14．在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
15．若直线被直线与截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为________.
16．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
四、解答题
17．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
（1），；
（2），．
18．直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
19．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
20．已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求（1）AC所在的直线的方程；
（2）点B的坐标．
21．已知直线，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
22．给定任一锐角及高，在上任取一点D，联结并延长交于点E，联结且延长交于点F，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
2．B【分析】设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
3．A【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
4．A【分析】利用点到直线的距离求解.
【详解】解：因为点到直线和直线的距离相等，
所以，
化简得：或，
故选：A
5．C【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
6．A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【详解】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
7．A【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
8．A【分析】设N（，），则M、N两点的“垂直距离”为：||+||．由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值．
【详解】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设，
则两点的“垂直距离”为：
所以两点的“垂直距离”的最小值为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题．
9．BC【分析】根据点到直线的距离公式列方程，化简求得的值.
【详解】根据题意，得，即，解得或．
故选：BC
10．BD【分析】A令即可判断正误；B由过定点，再由定点与的关系判断正误；C令即可判断正误；D利用直线垂直的判定判断值的存在性即可.
【详解】A：当时，，符合倾斜角为90°，错误；
B：过定点，而也在上，对任意的，与都有公共点，正确；
C：当时，，显然与重合，错误；
D：要使与都垂直则，显然不存在这样的值，正确.
故选：BD
11．BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：
已知直线和直线.
（1）且；
（2）.
12．ABD【分析】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，让点P在x轴上移动，可观察出的变化情况，从而判断出各选项的正确性.
【详解】
设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，
由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，
当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；
当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；
，而，
显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；
方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x轴上的点到A、B两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.
13．【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解.
【详解】由题意两平行直线间的距离
故答案为：
【点睛】本题考查两条平行直线间距离公式，属于基础题.
14．4【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.
【详解】在一象限，所以，
点到直线的距离为3，则
，解得：或.
因为，所以.
故答案为：4.
15．或【解析】易知直线与平行，且它们之间的距离为：，然后根据直线被直线与截得的线段长为，求得直线与与的夹角即可
【详解】因为直线与平行，
则与之间的距离为：
设直线与与的夹角为，
因为直线被直线与截得的线段长为，
则，解得，
因为两直线的斜率为1，故倾斜角为，
所以直线的倾斜角的值为或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查两平行间的距离两直线的夹角，直线的倾斜角的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且 =1×1×cos∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d=，
可得2=1，解得t=，
即有两平行线的距离为=，
即+的最大值为+，
故答案为+．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
17．（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；
（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.
【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：
（2）联立，解得，交点为，如下图所示：
18．或【分析】解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解；
【详解】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
(1)
中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
(2)
设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
(3)
由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
20．（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；
（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.
【详解】因为AC⊥BH，
所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组，
化简得解得，
故B(－1，－3)．
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
21．（1）；（2）或.【分析】（1）先根据设出直线的方程，再将点代入即可求得直线的方程，与直线联立即可求解；
（2）讨论直线过原点和不过原点两种情况，过原点结合过与的交点即可写出方程，不过原点时，设出其截距式方程，即可求解.
【详解】（1）设的方程为，.
因为在轴上的截距为，所以，解得，
即：，
联立，得
所以直线与的交点坐标为 ．
（2）当过原点时，的方程为，
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
的方程为，
综上，的方程为或.
【点睛】易错点睛：题目中给的条件在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，容易忽略横纵截距都为0的情况也符合题意.
22．证明见解析【分析】要证，即证，建立直角坐标系，如图所示，求出直线，的方程，进而求得交点E的坐标，同理可求出点F的坐标，结合两点之间的斜率公式即可得解.
【详解】以点H为原点，以与所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，如图所示，
设A、B、C、D的坐标分别为，，，，
则，所在的直线的方程分别为，.
联立，求得交点E的坐标为，即，
同理，，故.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线的方程，两点连线的斜率公式，解题的关键是将所要证得，转化为证，建立直角坐标系，求出点的坐标进而得证，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
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