（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4圆的方程C（word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆心，半径为的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
7．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆上的动点和定点，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
11．方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
12．已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，若，则下列关于动点P的结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所包围的图形的面积等于
B．当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C．当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．若点，则的最小值为
三、填空题
13．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.
14．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
15．已知圆E的圆心为，直线：，：与圆E分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为________．
16．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是________.
四、解答题
17．求下列各圆的圆心坐标和半径.
（1）；
（2）；
（3）．
18．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆，求:
（1）实数m的取值范围;
（2）圆心坐标和半径.
19．在①圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为．
②圆经过点和;
③圆与直线相切，且与圆相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程;若问题中的圆不存在，说明理由．
问题:是否存在圆，______，且圆心在直线上．
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点．
(1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程．
21．已知曲线C：表示圆，圆心为C.
（1）求圆C的面积的取值范围；
（2）若曲线C与直线交于M N两点，且，求实数m的值.
22．已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
2．B【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
3．A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
4．B【解析】化简圆为，得到，解得，结合，即可求解.
【详解】由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
5．D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
6．B【分析】由已知得到，过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，作线段，先求得，求得 的最小值，再由可得答案.
【详解】设圆的半径为，直线与 垂直，
又过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，
设圆心为，半径为，
作垂直线段，则，
，
的最小值为.
故选：B
7．A【解析】设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.
【详解】设过点的抛物线的切线方程为：，
即（*），
代入得，
由得，（1）
所以方程（1）有两个不相等的实数根，，
且，，
在（*）中令得，，
设的外接圆圆心为点，
则，
下求：线段中点横标，纵标，
线段的中垂线方程为，
令得，
由（1）知，故，
设的外接圆半径为，
则，
所以的外接圆方程为，
即.
故选：A
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．D【分析】取点，连接，由，可得，推
出，在中，，推出的最小值为的长.
【详解】
如图，取点，连接，
，，
，，
，
，
因为,当且仅当三点共线时等号成立,
的最小值为的长，
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.
9．AD【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
10．AD【分析】根据点到直线的距离公式求得圆心C1到直线x－y－1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C2的圆心，从而得出圆C2的方程.
【详解】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
11．ACD【分析】对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.
【详解】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.
故选：ACD.
12．ACD【分析】应用两点式求P的轨迹方程为，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据，结合角平分线的性质判断C，由已知有，利用三点共线求最小值判断D.
【详解】设，因为，整理得，即．
A：点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16，正确；
B：圆的半径为4且，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，所以△PAB面积的最大值是，错误；
C：当A，B，P不共线时，由，2，，即，故．由角平分线定理的逆定理知：射线PO是∠APB的平分线，正确；
D：因为，即2PB|，则，又P在圆上，如图所示，
所以当P，Q，B三点共线时，取最小值，此时，正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值.
13．（0，－1）【解析】先求出圆的半径的最大值，求出此时k的值，即得圆心的坐标.
【详解】圆C的方程可化为＋（y＋1）2＝－＋1.
所以圆的半径，
所以圆的半径最大值为1，此时k=0.
所以此时圆心的坐标为（0，-1）.
故答案为：（0，－1）
【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．或或或；【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
15．【分析】根据题意得到圆心E在直线上，求得圆心，再根据四边形ABCD是正方形，由圆的直径等于两直线间距离的倍求解.
【详解】设半径为r，这时圆E的标准方程为．
由题意知，圆心E在直线上，
所以．
又，两直线间的距离，
且四边形ABCD是正方形，
所以，
解得，
所以圆E的标准方程为．
故答案为：
16．【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断的最值，即可得其范围.
【详解】由，得.
由，所以或.
当时，；
当时，.
所以表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.
当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，为.
故的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)圆心为，半径为；(2)圆心为，半径为;(3)圆心为，半径为.【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.
【详解】(1)方程，
所以圆心为，半径为；
(2方程，
所以圆心为，半径为；
(3)方程，
所以圆心为，半径为；
18．（1）；（2）圆心坐标为，半径.【分析】（1）利用圆的一般方程可得，由此求得的取值范围．
（2）将圆的方程写成标准方程的形式，可得圆心坐标和半径．
【详解】解：（1）方程表示圆，
，
即，解得，
故的取值范围为；
（2）将方程写成标准方程为，
可得圆心坐标为，半径．
19．答案见解析.【解析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；
【详解】选择条件①：设圆心的坐标为，圆的半径为
因为圆心在直线上，所以
因为圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为
所以，，且
由垂径定理得解得，
所以，
所以圆的方程为
选择条件②：设圆心的坐标为，圆的半径为
因为圆心在直线上，所以
因为圆经过点和，的中点
所以的中垂线方程为
联立直线
解得
即，，
所以圆的方程为
选择条件③：设圆心的坐标为，圆的半径为
因为圆心在直线上，所以
所以，
所以，因为圆与圆相外切，
所以，即
可得：，因为该方程，所以方程无解
故不存在满足题意的圆．
【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A在曲线上求解；进而得到点A的坐标，然后设△ABC的外接圆方程为，将A，B，C的坐标代入求解；
（2）根据线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，求出圆的方程，再判断点A，C在圆内即可；
（3）根据平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上一点，由最小求解.
（1）
因为点A的坐标满足，则，解得或（舍），故，
设的外接圆的方程为，则，解得，
故的外接圆的方程为，又是锐角三角形，
所以的最小覆盖圆的方程为；
（2）
因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为，又，
故点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为；
（3）
因为平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上的一点，
则，
当，即时，取得最大值，
故平面图形W的最小覆盖圆的方程为．
21．（1）（2）【分析】（1）根据方程表示圆求出的范围，求出圆的半径的取值范围，由圆的面积公式可得结果；
（2）将转化为圆心到直线的距离可解得结果.
【详解】（1）因为曲线C：表示圆，
所以，解得，
所以圆的半径，
所以圆C的面积.
（2）因为圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，所以，解得，满足.
【点睛】关键点点睛：将转化为圆心到直线的距离是解题关键.
22．（1）；（2）是，定点坐标为或【解析】（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.
（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.
【详解】（1）根据题意：，因为，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，
把直线的方程代入椭圆方程化简得到，
所以，，
所以，，
因为直线的斜率，所以直线的方程，
所以点的坐标为，同理，点的坐标为，
故以为直径的圆的方程为，
又因为，，
所以圆的方程可化为，令，则有，
所以定点坐标为或.
【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页