（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4圆的方程B（word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．一条直线和半个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
3．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B．6
C． D．
4．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
7．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是（ ）
A． B．-1C．-1≤b<1 D．非以上答案
二、多选题
9．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
10．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．0
11．已知点，直线，下列结论正确的是（ ）
A．恒过定点
B．（为坐标原点）
C．到直线的距离有最小值，最小值为3
D．到直线的距离有最大值，最大值为5
12．若直线将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知集合，则中元素的个数为_____.
14．如图，已知， 为圆上两点，又， 为轴上两个定点，则由线段， ，劣弧所围成的阴影部分的面积____.
15．已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程为________.
16．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题
17．已知，两点，求以为直径的圆的方程，并判断点，，与圆的位置关系．
18．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数，．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆．
19．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
20．一圆经过点，且与直线相切于点，试求该圆的方程．
21．已知关于x，y方程表示一个圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，过点的直线l与圆心的距离是2，求出直线l的方程．
22．已知圆．
(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】求出的范围，根据，的意义求解即可.
【详解】由，解得.
因为，所以或.
故表示一条线段.
因为，所以，，即表示以原点为圆心的半个圆
故选：C
2．D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
3．D【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
4．A【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
5．A【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
6．C【解析】根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
7．B【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
8．B【分析】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，求出直线过半圆直径两端点时的值，及直线与半圆相切时的值可得结论．
【详解】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，如图，
易知，
当直线过点时，，当直线过点时，，
当直线与半圆相切时，，，由图可知
∴的取值范围是或．
故选：B
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．
9．BC【分析】将方程化为，讨论的取值，逐一判断即可.
【详解】解：由，得，
当时，方程表示点，故A错误；
当时，方程表示圆心为的圆，故B正确；
当时，方程表示的圆的半径为，故C正确；
当时，方程表示的圆的半径为，与轴相交，
故D错误．
故选：BC．
10．AD【解析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果.
【详解】因为圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离为，所以或.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.
11．ABD【分析】直接代点可判断A；利用两点之间距离公式可判断B；由点的轨迹与直线过定点，画出图形后可判断C、D.即可得解.
【详解】直线，当时，，故A正确；
，故B正确；
点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：
由图可知，点到直线的距离最小值为0，
当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了直线过定点问题、两点之间距离公式的应用以及直线与圆的位置关系，考查了转化化归思想，属于中档题.
12．CD【分析】求出圆心坐标，由题意知直线过圆心，再讨论截距等于和不等于两种情况即可求解.
【详解】由可得，所以圆心，半径为，
若直线将圆平分，则直线过圆心，
若横纵截距都等于，则直线过原点，此时直线斜率为，
直线方程为即，
若截距不等于，设方程为，则，可得，
所以即，
综上所述直线的方程为或，
故选：CD.
13．9【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
14．【解析】先求出圆心坐标,可得,分别求出梯形和的面积,
根据两点,,求出所在直线的斜率即可求出倾斜角,从而得到故劣弧所对的圆心角为,求出对应的扇形面积,最后即可求出阴影面积.
【详解】解: 依题意可知圆,
,,,;
圆心,半径 ,
作垂直于轴交于点,连接
又,则,
,,, ,
所以;
,
又因为,,
所在直线的斜率为:,
所在直线的倾斜角为:,
故劣弧所对的圆心角为
故 ,
所以阴影面积为.
故答案为:
15．【解析】设圆的方程为，代入点，求得或，进而得到圆的方程.
【详解】由题意，圆过点，且与两坐标轴都相切，
设圆的方程为，
将点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或，
当时，圆的面积较小，所以圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】求解圆的方程的两种方法：
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；
2、待定系数法：
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或的值，代入标准方程或一般方程.
16．【分析】先求出圆的圆心坐标及其半径，利用该圆与轴有公共点列不等式即可求解.
【详解】圆C的标准方程为，
依题意有 ，解得，
故答案为：.
17．点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.
【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心．直径．
故所求圆的方程为．
，点M在圆上；
，点N在圆外；
，点Q在圆内．
综上：点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.
18．证明见解析.【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.
【详解】由可得，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆.
19．（1）；（2）.【分析】（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
20．.【分析】设圆的圆心为C，，，由，得到直线CB的方程， 再求导线段AB的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.
【详解】设圆的圆心为C，，，则，
所以直线CB的方程为：，即，
又AB的中点为，且，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程是，
故答案为：
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，结合二元二次方程表示的曲线与圆的关系，即可求解；
（2）根据题意，设直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.
(1)
方程可化为，
由，解得，所以方程表示圆时m的取值范围是．
(2)
当时，圆的方程为，则圆心为，半径为．
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为，化为，
则圆心C到直线l的距离，解得，
此时直线l的方程为；
②当直线l的斜率不存在时，直线方程为，与圆心的距离也是2．
综上，直线l的方程为或．
22．(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0
(2)
【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．
（1）
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）
由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页