2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
2.圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3.圆和圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
4.已知圆,圆,则两圆的公切线的条数是( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.垂直平分两圆,的公共弦的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是
A.外切 B.相离
C.内切 D.相交
7.已知直线与相交于点P,线段是圆的一条动弦,且,则的最小值是( )
A. B.
C. D.
8.已知,,圆:(),若圆上存在点,使,则圆的半径的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.如图,点,,,,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线,则( )
A.曲线与轴围成的图形的面积等于 B.与的公切线的方程为
C.所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为 D.所在的圆截直线所得弦的长为
10.已知圆:,下列说法正确的是( )
A.的取值范围是
B.若,过的直线与圆相交所得弦长为,方程为
C.若,圆与圆相交
D.若,,,直线恒过圆的圆心,则恒成立
11.已知圆,则下列曲线一定与圆有公共点的是( )
A.过原点的任意直线
B.
C.
D.以为圆心且半径超过3的圆
12.设有一组圆:,( ),则下列命题正确的是( )
A.不论如何变化,圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.存在一条定直线始终与圆相切
D.若,则圆 上总存在两点到原点的距离为1
三、填空题
13.已知圆与圆外切,则______.
14.设圆,圆,则圆有公切线___________条.
15.已知圆与圆外切,则实数a的值为___________.
16.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,则4a2+b2=________.
四、解答题
17.已知两圆和相交于A,B两点,求直线AB的方程.
18.已知圆,圆.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系,并说明理由;
(2)若过点的直线l与圆C相切,求直线l的方程.
19.已知圆,圆,判断圆与圆的位置关系.
20.已知圆,直线的斜率为2,且过点.
(1)判断与的位置关系;
(2)若圆,求圆与圆的公共弦长.
21.已知圆和圆,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
22.如果,,,,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线,
(1)求所在圆与所在圆的公共弦方程;
(2)求与的公切线方程.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.D【分析】圆和圆的位置关系,可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断﹒
【详解】两圆圆心分别为,,半径分别为1和3,圆心距.
∵,∴两圆外离.
故答案为:D
2.D【分析】分别求出两圆的圆心和半径,再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.
【详解】圆化为标准方程为,所以其圆心坐标是,半径是6;圆化为标准方程为,所以其圆心坐标是,半径是1,所以圆心距为,所以两个圆相内切.
故选:D.
3.C【分析】先根据两圆的方程,求出相应的圆心与半径,再通过计算得出,故两圆外切.
【详解】因为圆的方程为,所以圆心,半径,
因为圆的方程为,所以圆心,半径,
所以.
因为,所以圆和圆外切.
故选:C.
4.B【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径,结合两圆的位置关系的判定方法,求得两圆的位置关系,即可求解.
【详解】由圆可化为,
可得圆心坐标为,半径为,
由圆可化为,
可得圆心坐标为,半径为,
则圆心距为,
又由,所以,
可得圆与圆相交,所以两圆公共切线的条数为2条.
故选:B.
5.B【分析】分别求解两个圆的圆心,圆心连线即为所求.
【详解】根据题意,圆,其圆心为,则,
圆,其圆心为,则,
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线,则直线的方程为,变形可得;
故选:B.
6.A【解析】根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出.
【详解】因为圆与的圆心距为:,而圆与的半径之和为,
所以圆与的位置关系是外切.
故选:A.
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断,属于基础题.
7.B【分析】由已知得到,过定点,过定点,从而得到点轨迹为圆,作线段,先求得,求得 的最小值,再由可得答案.
【详解】设圆的半径为,直线与 垂直,
又过定点,过定点,从而得到点轨迹为圆,
设圆心为,半径为,
作垂直线段,则,
,
的最小值为.
故选:B
8.A【分析】设,由得,即可知的轨迹为,要使圆上存在点,即圆与有交点,进而可得半径的范围.
【详解】设,则,,
∵,即,
∴,即在以原点为圆心,半径为1的圆上,
而圆的圆心为,半径为R,
∴圆上存在点,即圆与有交点,
∴.
故选:A
【点睛】关键点点睛:由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹,要使圆上存在点,只需保证圆与的轨迹有交点即可.
9.BCD【分析】由题已知曲线与轴围成的图形是一个半圆,一个矩形和两个圆,故此可写出各段圆弧所在的方程,然后根据圆的相关知识判断各选项.
【详解】解:由题意得:
A选项:、、所在的圆的方程分别为,,.曲线与轴围成的图形是一个半圆,一个矩形和两个圆,其面积为,故A错误;
B选项:设与的公切线方程为,则,所以
,,所以与的公切线方程为,即,故B正确;
C选项:由和两式相减得,即为公共弦所在的直线方程,故C正确;
D选项:所在的圆的方程为,圆心,圆心到直线的距离,则所求的弦长为,故D正确.
故选:BCD
10.ACD【分析】根据圆的一般方程可判断A;利用点到直线的距离为可判断B;时很容易判断C;直线恒过圆的圆心,可得,利用基本不等式可判断D.
【详解】对于A,方程表示圆可得,解得,故A正确;
对于B,若,可得圆方程:,
过的直线与圆相交所得弦长为,
则圆心到直线的距离为,当直线的斜率不存在时,,满足条件,故B不正确;
对于C,,,圆心,半径为,故C正确;
对于D,直线恒过圆的圆心,
可得,,
当且仅当时取等号,故D正确.
故选:ACD.
11.AC【分析】选项,根据点与圆的位置关系判断;选项,根据点到直线距离判断;C选项,根据圆心距与半径的关系判断.
【详解】选项:原点在圆内部,所以过原点的任意直线与圆相交,所以正确;
选项:圆心到直线距离,相离,所以B错误;
C选项:圆心距,所以两圆相交,所以C正确;
选项:时,圆心距,两圆为内含关系,无公共点,所以错误;
故选:AC.
12.ABCD【分析】直接求出圆心所在直线方程判断A;把代入圆的方程,求得无解判断B;举例说明C正确;把问题转化为圆与圆有两个交点,求出的范围判断D.
【详解】圆心坐标为,在直线上,A正确;
若,化简得,,无解,B正确;
圆心在上,半径为定值2,故定直线斜率一定为1,设为,,故存在定直线始终与圆相切,C正确;
圆上总存在两点到原点的距离为1,问题转化为圆与圆有两个交点,,则,D正确.
故选:ABCD.
【点睛】本题考查圆的方程,主要考查学生转化与化规思想,属于常考题.
13.4【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和,从而可求出
【详解】因为,,圆的半径为1,圆的半径为,
所以,
因为两圆外切
所以,得.
故答案为:4
14.2【分析】将圆转化成标准式,结合圆心距判断两圆位置关系,进而求解.
【详解】由题意得,圆:,圆:,
∴,∴与相交,有2条公切线.
故答案为:2
15.【分析】根据两圆外切,利用圆心距等于半径之和求解即可.
【详解】化圆为:,
则圆心坐标为,半径为2.
由题意圆:与圆:外切,
则,
解得,
故答案为:0
16.1【分析】由公切线条数得两圆内切,然后由圆心距等于半径之差可得结论.
【详解】圆C1:(x+2a)2+y2=4,圆C2:x2+(y-b)2=1,
|C1C2|=.
因为两圆只有一条公切线,所以两圆相内切,
所以|C1C2|=2-1=1,所以4a2+b2=1.
故答案为:1.
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,解题关键是把问题转化为两圆相交.圆与圆的位置关系:
两圆圆心距离为,半径分别为,则相离,外切,相交,内切,内含.
17.【分析】联立两圆的方程,消去即可得出结果.
【详解】因为两圆相交于点A、B,
则,消去,
得,
即直线AB的方程为.
18.(1)圆C与圆M相交,理由见解析
(2)或
【分析】(1)利用圆心距与半径的关系即可判断结果;
(2)讨论,当直线l的斜率不存在时则方程为,当直线l的斜率存在时,设其方程为,利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
(1)
把圆M的方程化成标准方程,得,
圆心为,半径.
圆C的圆心为,半径,
因为,
所以圆C与圆M相交,
(2)
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为到圆心C距离为2,满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设其方程为,
由题意得,解得,
故直线l的方程为.
综上,直线l的方程为或.
19.外切【分析】将圆的方程化为标准式,求出圆心坐标与半径,计算出圆心距,即可判断;
【详解】解:圆,圆心坐标为,半径;
圆,即圆,圆心坐标为,半径
所以,
所以两圆相外切;
20.(1)与相切;
(2)
【分析】(1)求出圆C的圆心坐标,半径和直线l的方程,根据圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系;
(2)圆与圆的方程相减,可求出公共弦所在的直线方程,然后根据圆M的圆心到公共弦所在直线的距离及圆M的半径即可求出公共弦长.
(1)
由圆,可得,
所以圆心为,半径,
直线的方程为,即.
因为圆心到的距离为,
所以与相切.
(2)
联立方程可得,作差可得,
即,即公共弦所在直线的方程为.
易知圆的半径,圆心到直线的距离为,
则公共弦长.
21.【分析】设两圆交点为A、B,则以AB为直径的圆就是所求的圆,联立两圆,求得公共弦方程,再求得两圆圆心连线的方程,即可求得圆心坐标,根据弦长公式,求得弦AB的长,可得圆的半径,即可得答案.
【详解】设两圆交点为A、B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.
联立,可得直线AB的方程为.
又圆M的圆心,圆N的圆心
所以两圆圆心连线的方程为.
解方程组,可得圆心坐标为.
圆心到直线AB的距离为,圆M的半径为,
弦AB的长为,则所求圆的半径为,
所以所求圆的方程为.
22.(1);(2).【分析】(1)求出两段弧所在的圆的方程,两个圆的方程相减即可得公共弦所在的直线的方程;
(2)设出公切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】(1)所在的圆是以为圆心,半径为的圆,
所以所在圆的方程为,
所在的圆是以为圆心,半径为的圆,
所以所在圆的方程为,
两圆的方程相减可得:即;
(2)因为所在的圆是以为圆心,半径为的圆,
所在的圆是以为圆心,半径为的圆,
所以与所在圆的的公切线平行于经过点、的直线,
所以所求切线的斜率为,
设公切线的方程为,
则点到的距离,
解得:或(舍)
所以公切线的方程为.
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