（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系C（word 含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
2．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
3．圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是
A．外切 B．相离
C．内切 D．相交
5．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知 ，，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）
A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为
C．所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为
10．已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ）
A．过原点的任意直线
B．
C．
D．以为圆心且半径超过3的圆
11．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
12．已知圆：，圆：（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．，
D．，为圆上的两动点，且，则的最大值为
三、填空题
13．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知为坐标原点，，若，的“长”分别为1，，且两圆相外切，则_________.
14．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为__________．
15．已知圆：，（）与圆：，（）只有一条公切线，则的最小值为______.
16．已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时， 恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．
四、解答题
17．已知圆与圆相交于A，B两点，求直线AB的方程．
18．圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．
(1)求圆的方程；
(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为A、B.
（1）求四边形面积的最小值及此时点P的坐标；
（2）直线AB是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由.
20．在平面直角坐标系中，已知圆过点，，．
（1）求圆的一般方程；
（2）若圆与圆相切于点，且圆的半径为，求圆的标准方程．
21．求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程．
22．已知圆：及其上一点.
(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
(2)设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
(3)设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.
【详解】圆化为标准方程为，所以其圆心坐标是，半径是6；圆化为标准方程为，所以其圆心坐标是，半径是1，所以圆心距为，所以两个圆相内切.
故选：D.
2．A【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，
所以两圆相交.
故选：A
3．D【分析】将两圆的方程作差即可得到答案.
【详解】将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为
故选：D.
4．A【解析】根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出．
【详解】因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，
所以圆与的位置关系是外切．
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题．
5．C【解析】先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
6．A【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A
7．A【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【详解】设动点，由，得，整理得，
又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，，得．
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
8．B【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.
【详解】
易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即.
故选：B.
9．BCD【分析】由题已知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，故此可写出各段圆弧所在的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项.
【详解】解：由题意得：
A选项：、、所在的圆的方程分别为，，.曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；
B选项：设与的公切线方程为，则，所以
，，所以与的公切线方程为，即，故B正确；
C选项：由和两式相减得，即为公共弦所在的直线方程，故C正确；
D选项：所在的圆的方程为，圆心，圆心到直线的距离，则所求的弦长为，故D正确.
故选：BCD
10．AC【分析】选项，根据点与圆的位置关系判断；选项，根据点到直线距离判断；C选项，根据圆心距与半径的关系判断.
【详解】选项：原点在圆内部，所以过原点的任意直线与圆相交，所以正确；
选项：圆心到直线距离，相离，所以B错误；
C选项：圆心距，所以两圆相交，所以C正确；
选项：时，圆心距，两圆为内含关系，无公共点，所以错误；
故选：AC.
11．BC【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
12．ABC【分析】两圆相减就得到公共弦所在的直线的方程, 点代入直线的方程, 即可判断选项,正确; 分析出的中点恰为的中点即可得到选项正确; 设的中点为H , 把求的最大值转化为求的最大值, 即可判断选项D.
【详解】由,
得 ,
两圆的方程相减得到直线的方程为,
因为点在直线上,
代入直线的方程, 得,
因此选项正确;
又因为也在直线上, 所以代入直线的方程,
得,
联立，得,
因此选项B正确;
因为两圆半径相等,
所以的中点恰为的中点,
所以成立,
因此选项正确;
设的中点为H , 则 ,
当且点与点分布在异侧最大,
最大为 ,
则最大值为，而不是，
因此选项D错误.
故选: ABC.
13．1【分析】根据圆的定义，求得，，根据两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，为坐标原点，，
根据圆的定义，可得，，
因为两圆相外切，可得，即，
解得.
故答案为：.
14．5【分析】根据可得点所在以为圆心，为直径的圆上，利用两圆有公共点可得的范围，即可求出最大值．
【详解】解：
解：如图，，
点在以为直径的圆上，
根据题意，圆和圆有公共点，
显然，
，
而，即
解得，所以
故答案为：5．
15．【分析】由圆的方程求出圆心坐标及半径，再根据两个圆只有一条公切线可得两圆内切，即圆心距等于两个半径之差，进而可得，设，根据三角函数的范围求出的最小值．
【详解】圆：的圆心坐标，半径，
圆的圆心，半径，
由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，
所以可得，
设，，
所以，
当且仅当时，
即时，的最小值为.
故答案为：．
【点睛】本题考查由两个圆的公切线的条数判断两个圆的位置关系，及由三角函数的范围求代数式的最小值，属于中档题．
16．【分析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上， 把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.
【详解】圆的半径为为弦的中点，
，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
设中点为，
，且当在圆上运动时，恒为锐角，
则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，
则，即，解得或，
线段中点的横坐标取值范围为，
故答案为.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.
17．【分析】由两圆方程相减即可得出公共弦的方程．
【详解】由圆和圆相减可得，
公共弦的方程为，即
所以直线的方程为.
18．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；
（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.
(1)
解：因为圆与轴的交点分别为，，
所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，
又圆与直线，都相切，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
(2)
解：假设圆上存在点满足，
则，即①，
又，即②，
联立①②可得或，
所以存在点或满足.
19．（1）最小值，；（2）AB恒过定点.【分析】（1）先由题中条件，得到，求出最小值，以及此时的点坐标，即可得出结果；
（2）设，先求出以PC为直径的圆的方程，所得圆的方程与圆的方程作差，即可得出直线AB的方程，从而可得出直线AB过定点.
【详解】（1）由题意，易知，，
∴
又，
∴，
要使四边形ACBP面积最小，则PC最小，当时，PC的长最小.
过点且与垂直的直线为
将其与联立解得此时点P的坐标为，
∴，
∴；
（2）设，又，则，中点坐标为，
因此以PC为直径的圆的方程为，
整理得，
∵，
∴这个圆也是四边形ACBP的外接圆，它与圆C方程相减，得公共弦AB方程：
；
，
令，
∴AB恒过定点.
【点睛】思路点睛：
求解两圆的公共弦所在直线方程是否过定点的问题时，一般需要先由题中条件，得到两圆的方程，由两圆的方程作差整理，得出公共弦所在直线方程，再由直线过定点的判定方法，即可得出结果.
20．（1）；（2）或．【解析】（1）设出院的一般方程，代入已知点即可求解；
（2）利用数形结合以及圆与圆相切的性质可得，，三点共线，由此可设圆的标准方程，再代入点，即可求解．
【详解】（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点，，的坐标可得：，解得，，，
故圆的一般方程为：.
（2）圆的标准方程为：，
则圆心，所以直线的方程为：，
由圆的性质可知，圆心在直线上，设点，
则圆的标准方程为：，
代入点可得：，解得，
故圆的标准方程为：或．
【点睛】本题考查了圆的一般方程和标准方程问题，涉及到圆与圆的位置关系，要掌握圆与圆各种位置关系相应的数量关系的特征，还要会进行“圆与圆的位置关系”、“两圆圆心距与这两圆半径长之和或差的大小关系”这两者之间的相互转化，能运用这些知识解决有关问题.
21．【分析】设两圆交点系方程为，求得圆心坐标代入直线求得圆的方程.
【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 ．所以圆的方程为．
故所求圆方程为：
22．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用圆与直线相切，圆与圆外切的性质求出圆的圆心，进而得到圆的标准方程；
（2）由直线平行得出斜率相等，再利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解；
（3）先将，的坐标关系表示出来，再将坐标代入圆中进行坐标转化，得到两个圆有公共点，进而求出实数的取值范围.
（1）
解：将圆化为标准方程得：
圆心，半径为
由圆心在直线上，可设
圆与轴相切，与圆外切
于是圆的半径为，从而，解得
圆的标准方程为：
（2）
解：直线平行于
直线的斜率为
设直线的方程为即
则圆心到直线的距离
且
解得或
故直线的方程为：或
（3）
解：设，
，，
，①
在圆上
②
将①代入②得
于是点既在圆上，又在圆上
圆与圆有公共点
解得：
实数的取值范围为：.
【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交；圆与圆的位置关系有：外离，外切，内切，相交，内含；要求熟练掌握各种位置关系时，圆心和直线间的距离与半径的关系以及圆心与圆心的距离与半径和与差的关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页