（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程A（word 含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（多选）已知P是椭圆上一点，是其两个焦点，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是椭圆上一点，延长与椭圆交于点，若，的面积为，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.
10．已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
11．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________.
12．已知P是椭圆上的动点，是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是_________．
四、解答题
13．求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.
14．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积.
15．已知椭E：的右顶点为A，右焦点为F，上 下顶点分别为B，C，，直线CF交线段AB于点D，且.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
16．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
2．B【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可得
解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.
3．D【解析】计算出的取值范围，结合椭圆的定义可求得的取值范围.
【详解】对于椭圆，，，，
根据椭圆的定义可得，
设，则，且，即，
则，
所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
4．A【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
5．A【分析】设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
6．C【分析】由题意，点P是以为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体的棱的交点，进而即可求解．
【详解】解：正方体的棱长为1，
，
，
点在以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆上，
在正方体的棱上，
是椭圆与正方体的棱的交点，
所以满足条件的点在棱BC，AB，，，，上各有一点，共有6个点．
故选：C．
7．BCD【分析】设，由题意的定义得到，然后在中，由余弦定理得，然后结合基本不等式求解.
【详解】设，则，且，
在中，由余弦定理可得，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
故的最大值为，
所以的大小可能为．
故选：BCD
【点睛】本题主要考查椭圆的焦点三角形以及椭圆定义的应用和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．BD【分析】连接，分析得出，记，，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于、，解出的值，即为所求.
【详解】连接，因为，则，，
因为，，
记，，则，由椭圆的定义可得，
所以，，解得或，所以或
故选：BD.
9．【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为.
故答案为：
10．【分析】利用勾股定理结合椭圆的定义可求得的值.
【详解】在椭圆中，，，则，，
由椭圆的定义可得，
因为，则，
所以，.
故答案为：.
11．【解析】先设椭圆的下焦点为，由椭圆的定义知：，利用，即可得到的最大值．
【详解】解：如图所示：
设椭圆的下焦点为，
，
，，
又，
即，
，
又，
当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，
，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.
12．【分析】设是第二象限的点,作出图形,设与直线交于点,易得,再结合椭圆中,,可得,再由椭圆中,可得.
【详解】由题意,设是第二象限的点,作出图形(见下图),设与直线交于点,
因为,所以,
又M是的角平分线上一点，则,,
故是的中位线,则.
是椭圆上的动点，则,
在椭圆中,,,,
则,
则,,
又因为椭圆中,所以,
故,即.
故答案为:.
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了转化思想在解题中的运用,利用三角形的中位线、椭圆中,是解决本题的关键,属于中档题.
13．【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为，代点即得解.
【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到共焦点的椭圆系方程，设所求椭圆的标准方程为，解答简洁高效.
14．(1)
(2)
【分析】（1）设，，，，代入椭圆的方程相减可求得直线斜率与中点坐标之间的关系，由此得，从而可得椭圆的方程；
（2）联立方程得到两个交点的纵坐标，即可得到三角形的面积.
(1)
设，，，，可得，，
两式相减得，
将，代入上式，
即，
又，
∴，
∴直线的方程为，即，
∴，，
∴椭圆的标准方程；
(2)
由，整理得，
∴，∴，
∴.
∴的面积为.
15．(1)
(2)
【分析】（1）分别求出直线，的方程，再求得的坐标．然后将转化为，得到，再结合，求得和的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）假设存在满足题意的直线，根据是的垂心，得到，进而确定直线的斜率，由此设出直线的方程并与椭圆方程联立；再根据是的垂心，得到，将其转化为或，并结合韦达定理，即可求得的值，求得直线的方程．
(1)
解：设椭圆的右焦点，
则直线的方程：，直线的方程：，
联立解得，则，
由，则，
则，，，则，
由，，解得：，，，
椭圆的标准方程为．
(2)
解：假设存在满足条件的直线，
由垂心的性质可得，又从而得到直线的斜率，
设的方程为，，，，，
联立，整理得：，
由，解得：，
，．
由，则，即，
整理得，
将，，
代入化简得，
，
，
提取公因式，可得，
即，
由，则，
解得，满足，
的值为，
直线的方程．
16．（1）；（2）.【分析】(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a，b，半焦距c的方程组求解即得；
(2)设出直线l的方程，联立直线l，椭圆C的方程组，消去x，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A与B的纵坐标的关系即可作答.
【详解】（1）设点，因垂直于轴，则，，
显然有，由已知得，又，即，
而，从而得，解得，因，于是得，
所以椭圆的方程为；
（2）令点，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，
由消去x得，
，，由题意，有，，
由，而，得，
由，又，得，
又，解得，
于是得，解得，
而，即，，得，
故直线的方程为.
答案第1页，共2页
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