（分层突破）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程B（word含解析）

2022年9月7日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，是角的外角平分线，则与的面积之和为( )
A．1 B． C．2 D．3
6．已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
7．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
三、填空题
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
10．中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．
11．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
12．若△ABC的三边长a b c满足， ，则顶点B的轨迹方程是___________.
四、解答题
13．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
14．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程.
15．设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
16．已知椭圆：经过点，且离心率为，直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）求椭圆的方程;
（2）若的角平分线与轴垂直，求长度的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【分析】先由椭圆方程求出，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
2．C【分析】由方程的要求，排除两个选项，再由矩形的周长确定正确选项．
【详解】由题意椭圆方程是方程为，排除BD，
矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．
在椭圆中，，, 不满足题意，
在椭圆中，, 满足题意．
故选：C．
3．A【分析】利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
4．C【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
5．C【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知，点M到直线PF1、PF2的距离都等于点M到x轴的距离，由此计算三角形面积得解.
【详解】解：因为平分角，是角的外角平分线，
所以到的距离等于到轴的距离1，到的距离等于到轴的距离1，
如图，椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上一点，作一圆与线段F1P，F1F2的延长线都相切，
并且与线段PF2也相切，切点分别为D，A，B，
，
，
所以(c为椭圆半焦距)，从而点A为椭圆长轴端点，
即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外)，
因点M(2,1)在的平分线上，且椭圆右端点A(2,0)，
所以点M是上述圆心轨迹上的点，
即点M到直线F1P，PF2，F1F2的距离都相等，且均为1，
与的面积之和为.
故选：C
6．C【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.
【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：
所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.
故选：C.
7．AB【解析】由椭圆的方程可得，由的周长为可判断A，当点位于短轴端点时，的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出，可判断C，设，则，由可得，解出方程可判断D.
【详解】由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确
当时，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面积为，故C错误
设，则
由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
故选：AB
8．BCD【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：若椭圆E的焦距为2，则，由离心率，则，
所以，则短轴长为，故A错误；
对B：根据椭圆的定义，的周长为4a，故B正确；
对：由，故可得，，所以椭圆的方程可写为，
易知，则，则，
所以，，，则椭圆E的方程为，故C正确；
对：因为，所以，过点B作，
则，，即，
设，，，则，
代入椭圆方程，整理得，
解得或（舍），
所以，故正确.
故选：BCD．
9．##【分析】⊥x轴可得P点横坐标，再根据点P在椭圆上，求出P的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意不妨设﹣，0)，，0)，
∵P⊥x轴，∴P(，±)，
∵△P的面积＝|P|||＝2＝，
故答案为：．
10．.【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为，
故答案为：.
11．或【分析】结合平面几何的知识可得，再结合椭圆定义可得或，最后由椭圆的定义及勾股定理列方程即可得解.
【详解】因为|OF1|=|OA|，所以,所以△OF1A的面积，
所以，
由椭圆的定义可得，所以或，
设，则，
当时，由勾股定理得,
即，解得；
当时，由勾股定理得，解得；
综上，或.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是灵活运用椭圆的定义及平面几何的知识转化所给条件.
12．【分析】根据椭圆定义即得轨迹方程，注意限定轨迹的取值范围.
【详解】设点B的坐标为，
∵，即，又 ，
∴，
根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
故顶点B的轨迹方程为，又B为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为.
故答案为：.
13．【详解】椭圆
∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9
且 椭圆焦点在y轴上
∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8
即 a＝3，b＝4，c＝5
∵ 焦点在y轴上
∴ 双曲线方程为：
14．【解析】根据椭圆方方程可确定点坐标，利用可构造方程求得，结合和椭圆的关系可构造方程求得，进而得到椭圆方程.
【详解】由椭圆方程可知：，，
设椭圆焦点，又，则，
，，，整理可得：，
又，，，，，
此椭圆的方程为：.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础题.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，，根据P在椭圆上，得到；再由MN即为椭圆在处的切线方程也为圆O：切点弦所在直线方程求解.
（2）过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，得到，，，再由，利用基本不等式求解.
(1)
解：设，.
∵P在椭圆上，∴①；
椭圆在处的切线方程为：②；
又QM、QN为过点Q所引的圆O：的两条切线，
所以切点弦MN所在直线方程为：③.
其中②③表示同一条直线方程，
则，得，代入①，
得，
故点Q的轨迹方程为.
(2)
过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，
则，，，
所以，
又，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
16．（1）；（2）.【解析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率即可求出，得出椭圆方程；
（2）可得，设出直线方程，联立直线与椭圆，可得点A坐标，同理得出点B坐标，即可求出中点M坐标，可判断在直线上，即可求出最小值.
【详解】解：（1）因为椭圆经过点且离心率为，
所以其中，
解得所以椭圆方程为．
（2）因为的角平分线与轴垂直，所以．
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
设，
由得．
则，
所以，代入得．
即，同理可得．
所以．
则在直线上，所以的最小值为到直线的距离．
即，此时在椭圆内，
所以的最小值为．
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
答案第1页，共2页
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