河北省元氏县第四中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版含答案）

元氏县第四中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，2，3，4} B．{0，2，3，4} C．{0，2，3} D．{2，3}
2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝3﹣i，则复数z在复平面所对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a8＝a4+8，则S21＝（　　）
A．28 B．148 C．168 D．248
4．若实数a，b，c满足，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
5．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（　　）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜）的部分图象如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．已知平面向量＝（1，0），＝（1，2），则下列说法正确的是（　　）
A．|+|＝16 B．（+） ＝2
C．向量+与的夹角为30° D．向量+在上的投影向量为2
（多选）10．为了迎接期末考试，某高中学校进行5次期末模拟考试，其中小胡的考试次数x与每次考试的成绩y统计如表所示，
x（次数） 1 2 3 4 5
y（分数） 100 110 110 115 115
假如根据表中的数据可得考试的次数x与每次考试的成绩y可得回归直线方程为，则下面结论正确的为（　　）
A．回归直线方程一定过点（3，110）
B．回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关
C．上述的表中表示的点（x，y）都在回归直线上
D．若把yi当作样本的数据，样本的方差
（多选）11．已知（x﹣2）n展开式中偶数项的二项式系数之和为128，则（　　）
A．n＝8 B．展开式中各项系数之和为1
C．二项式系数之和为256 D．展开式的中间项为﹣1792x3
（多选）12．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4，F1，F2为C的两个焦点，P为C上任意一点，则（　　）
A．C的方程为 B．C的方程为
C．△PF1F2内切圆半径最大值为 D．满足的点P有且仅有四个
三．填空题（共4小题）
13．已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝　 　．
14．已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为，则C的离心率为 　 　．
15．已知函数则f（﹣1）+f（log312）＝　 　．
16．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是（3.1415926，3.1415927），为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”．若把“祖率”小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6随机排列，整数部分3不变，则得到的所有不同小数的个数为 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，精彩的冬奥开幕式使中国人的浪漫惊艳世界．某高校为了解同学们是否观看过奥运开幕式，按性别用分层抽样的方法，从该校3000名同学中抽取100名进行调查统计，已知该校男生与女生人数之比为11：9．
（1）求男生和女生分别抽取的人数；
（2）经过对这100人的调查统计，得到如下2×2列联表：
没观看 观看 总计
女生 15
男生 45
总计 100
请将上面的2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“观看奥运开幕式与性别有关”？
参考数据：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sinA的值；
①，；②a＝3，．
（2）若，a+c＝3，求△ABC的面积．
19．已知{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．
21．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x+2与C相交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ的面积．
22．已知函数f（x）＝x3+2ax+b在x＝﹣2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若函数y＝f（x）在[0，4]内有零点，求实数b的取值范围．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． C．
2． D．
3． C．
4． A．
5． B．
6． C．
7． A．
8． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9． BD．
（多选）10． ABD．
（多选）11． ABC．
（多选）12BCD．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝　﹣　．
14．已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为，则C的离心率为 　　．
15．已知函数则f（﹣1）+f（log312）＝　7　．
16．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是（3.1415926，3.1415927），为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”．若把“祖率”小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6随机排列，整数部分3不变，则得到的所有不同小数的个数为 　2520　．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）男女生比例可得男生人数为，
女生人数为，
男生和女生分别抽取的人数为55，45．
（2）2×2列联表：
没观看 观看 总计
女生 15 30 45
男生 10 45 55
总计 25 75 100
∵3.03＜3.841，
∴没有95%的把握认为“观看奥运开幕式与性别有关”．
18．解：（1）选择条件①b＝，c＝，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得5＝a2+2﹣2×a××，
即a2﹣2a﹣3＝0，所以a＝3或a＝﹣1，∵a＞0，∴a＝3，
由正弦定理 ，得sinA＝＝．
选择条件②a＝3，c＝，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB
＝9+2﹣2×3××＝5，∴b＝，
由正弦定理，得sinA＝＝．
（2）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得5＝a2+c2﹣ac，
所以5＝（a+c）2﹣（2+ ）ac＝9﹣（2+）ac，
得ac＝4﹣2 ，所以S△ABC＝acsinB＝﹣1．
19．解：（1）数列{an}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．
由题意得：，
所以：，
解得：a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）设数列{}的前n项和，
则Sn＝，
，
两式相减得：，
整理得：．
20．解（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE 平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中点，DE⊥PC，PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PCB
（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：，
设平面BDE的法向量为，则，
∴，令z＝1，得到y＝﹣1，x＝1，
∴，
又∵，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为，
设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α，则，
∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．
21．解：（1）由椭圆的定义可得2a＝4，可得a2＝8，
e＝＝，b2＝a2﹣c2＝2，
所以椭圆C的方程为：+＝1；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得：5x2+16x+8＝0，
Δ＝162﹣4×5×8＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以弦长|PQ|＝＝ ＝，
原点O到直线PQ的距离d＝＝，
所以S△OPQ＝|PQ| d＝ ＝．
22．解：（1）f’（x）＝3x2+2a，f（x）在x＝﹣2处取得极值，∴f（﹣2）＝12+2a＝0，∴a＝﹣6．
经验证a＝﹣6时，f（x）在x＝﹣2处取得极值．
故a＝﹣6．
（2）由（1）知f（x）＝x3﹣12x+b，f’（x）＝3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2），
∴y＝f（x）极值点为2，﹣2．
将x，f（x），f’（x）在[0，4]内的取值列表如下
x 0 （0，2） 2 （2，4） 4
f’（x） ＜0 ＜0 0 ＞0 ＞0
f（x） b 单调递减 极小值b﹣16 单调递增 b+16
由此可得，y＝f（x）在[0，4]内有零点，只需 ．
即实数b的取值范围是[﹣16，16]．