22.1.4 第1课时 二次函数y=ax^2+ bx+c的图象和性质 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
新知导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
极值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
新知导入
新知讲解
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 图象和性质
想想配方法的步骤是什么？
配方
(1)提：提出二次项系数；
(3)化：化成顶点式.
(2)配：括号内配成完全平方式；
配方后的表达式通常称为顶点式
新知讲解
二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的。
平移方法 1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
新知讲解
新知讲解
由配方法我们知道 的对称轴及顶点坐标：
对称轴是直线x=6,
顶点坐标是（6，3）.
问题 如何画二次函数 的图象？
新知讲解
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表：
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
7.5
7.5
5
3.5
3
3.5
5
新知讲解
5
10
x
y
5
10
x=6
从图象可以看出：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
也就是说，
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
新知讲解
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
如何将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
配方法
新知讲解
y=ax +bx+c
配方法
新知讲解
所以函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
得到：
归纳总结
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
二次函数y=ax +bx+c的图象的性质：
2.二次函数y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，
顶点坐标是：
对称轴是：
直线
归纳总结
3.当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
归纳总结
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
二次函数的性质
针对训练





新知讲解
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，
故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
①a决定开口方向：a＞0 开口向上；a＜0 开口向下；
②a，b同号对称轴在y轴的左侧；
a，b异号对称轴在y轴的右侧；
③c＝0 经过原点；
c>0 与y轴的交点位于x轴的上方；
c<0 与y轴的交点位于x轴的下方；
新知讲解
④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，
当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
当对称轴x＝－1时， ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小.
新知讲解
例2 若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数 y=x2+2x-6 的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
B
A. y1C. y3解：因为A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点，
y2=9-6-6=-3，即 y2=-3，
y3=9+6-6=9，即 y3=9，
因为-3＜2＜9，所以y2＜y1＜y3．
所以 y1=16-8-6=2，即 y1=2，
二次函数y=ax2+bx+c的函数值大小比较
新知讲解
比较二次函数值大小的方法：
(1)代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
(2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线的开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
课堂练习
1. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
课堂练习
2.抛物线y=-(x-2)2-1开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为________.
3.y=-2x2 -8x-6的顶点是 .可以看成由抛物线 向 平移 个单位得到的,再向 平移 个单位得到的.
下
x=2
(2,-1)
y=-2x2
左
2
上
2
(-2,2)
课堂练习
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1) B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
C.当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小 D. y 的最小值为 -3
4.关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
D
解：因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3，
所以当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确.
课堂练习
5.二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵y=x +2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
方法点拨：
把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.
A
课堂练习
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；
④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，
则y1>y2.其中正确的是 （ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
课堂练习
O
y
x
–1
–2
3
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
课堂总结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
课堂总结
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
二次函数的性质
谢谢
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