22.1.2二次函数y=ax^2的图象和性质 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
新知导入
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是 ．
特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 ．
一条经过(0，b)的直线
2．描点法画出一次函数的步骤：分别为 、 、_______三个步骤．
过原点的直线
3.我们把形如 的函数叫做二次函数．
列表
描点
连线
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
新知导入
4.二次函数的图象是什么形状呢？
结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法。我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质。
新知讲解
一、二次函数y=ax2的图象的画法
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
新知讲解
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
新知讲解
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
新知讲解
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
二、二次函数y = ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
函数y = x2的图象开口______.
在抛物线y = x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y = x2上，所以抛
物线y = x2关于y轴对称。
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
向上
事实上，二次函数的图像都是抛物线。
新知讲解
新知讲解
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
x
y=2x2
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
解:(1) 列表
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2 和y=2x2的图象.
新知讲解
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(3) 连线
(2) 描点
函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
开口都向上；
对称轴都是y轴；
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
a值越大，抛物线的开口越小．
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
新知讲解
新知讲解
画出函数y=-x 2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
··· -2 0 -2 ···
y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
新知讲解
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
| a |值越大，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
新知讲解
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
针对训练
填一填：
（1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ，顶点是 ;
（2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ，顶点是 ， 顶点是抛物线的最 点.
（3）函数y=x2的图象的开口 ，对称轴是 ,
顶点是 ，顶点是抛物线的最 点 。
（4）函数y= －0.2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，
顶点是 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
课堂练习
1. 若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
（4） 若A（x1, y1),B(x2, y2)在这条抛物线上，且x1< x2<0,
则y1 y2.
2
y轴
向上
上
>
（0,0 ）
小
课堂练习
2.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1
C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
C
课堂练习
3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1____y2.
＜
4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是_____．
0
课堂练习
5. 已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
课堂练习
6. 如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，C点在y轴上，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ×4·CO＝8，S△BOC＝ ·CO×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
课堂总结
二次函数y=ax2的图象及性质
画 法
轴对称图形
以对称轴为中心对称取点
性 质
描点法
描点法
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
图 象
增减性
谢谢
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