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专题01：一元二次方程
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．将个数，，，记成：定义，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
3．下列一元二次方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．和 B． C． D．
6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
8．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若是方程的一个根，则代数式的值是_________．
12．已知关于x的方程的解是，则方程的解是______．
13．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于y的方程是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为______．
14．若m是方程x2+x-1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为_______．
15．已知方程的一个根是1，则k的值是_________．
16．若a是方程的一个根，则代数式的值为________．
17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．
18．关于x的一元二次方程的其中一个根是x＝1，则m的值为______．
19．若关于的方程是一元二次方程，则________．
20．关于x的方程是一元二次方程，则________．
三、解答题
21．如果是关于的一元二次方程的一个根，求及另一个根．
22．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
23．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
24．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
25．求证：无论m取任何实数，关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根．
26．已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
27．如图，铁路上、两点相距24km，、为两村庄，CA⊥AB于，DB⊥AB于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站p，使得、两村到P站的距离相等，则站应建在距站多少千米处？
28．已知关于x的方程 的一个解是 ，求代数式的值．
29．若是方程的一个根，求代数式的值．
30．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
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专题01：一元二次方程
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】把x=1代入方程，即可得到关于m的方程，然后再求解即可．
【详解】解：把x=1代入方程得：1-m+2=0，解得：m =3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的定义是解答本题的关键．
2．将个数，，，记成：定义，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可．
【详解】解：∵
∴2x2 4x=-3，
即，
∵b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8﹤0，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化．
3．下列一元二次方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可．
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，含有2个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，故不是一元二次议程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程．
所以一元二次方程的个数为3个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
4．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义与一般形式判断选项即可．
【详解】解：A、当a≠0时才是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、此选项符合题意；
C、化简后为：，最高次幂为3次，故此选项不符合题意；
D、有两个未知数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为： ．
5．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．和 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的形式去判断即可．
【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
7．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
【答案】C
【分析】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2= 2，x+2=1，然后解两个一次方程即可．
【详解】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1= 2，x2=1，
所以x+2= 2，x+2=1，
所以x1= 4，x2=-1．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
②，当a=0时不是一元二次方程；
③，是一元二次方程；
④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
9．若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义列方程和不等式，即可求得．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
，解得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
10．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可．
【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
二、填空题
11．若是方程的一个根，则代数式的值是_________．
【答案】-9
【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解．
【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，
∴2a2-a-5=0，
∴2a2-a=5，
∴4a2-2a=10，
∴2a-4a2+1=-10+1=-9，
故答案为：-9．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键．
12．已知关于x的方程的解是，则方程的解是______．
【答案】，．
【分析】把方程看作关于（x+1）的一元二次方程，然后根据题意得到x+1=1或x+1=-6，再解两个一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵关于x的方程的解是，，
∴方程化为或，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把（x+1）看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．
13．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于y的方程是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为______．
【答案】8
【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有三个整数解确定出m的取值，再由关于y的方程是一元二次方程，求出满足题意整数m的值，进而求出和．
【详解】，
由①得，
由②得，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴，
即x可取，
∴，
∴，
∵关于y的方程是一元二次方程，
∴，解得，
∴且，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及一元二次方程的定义是解题的关键．
14．若m是方程x2+x-1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为_______．
【答案】2023
【分析】先将m代入方程得m2+m＝1，再将m2+m＝1代入m3+2m2+2022变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：∵m是方程x2+x-1＝0的一个根，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2022= m3+m2+ m2+2022
=m(m2+m) + m2+2022
=m+ m2+2022
=1+2022
=2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．
15．已知方程的一个根是1，则k的值是_________．
【答案】1
【分析】把x=1代入方程计算求解即可．
【详解】∵方程的一个根是1，
∴，
解得k=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的定义是解题的关键．
16．若a是方程的一个根，则代数式的值为________．
【答案】2019
【分析】根据a是方程一个根，可以得到，然后即可得到，再整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：2019．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．
17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．
【答案】﹣2
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．关于x的一元二次方程的其中一个根是x＝1，则m的值为______．
【答案】
【分析】把x=1代入方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】把x=1代入方程得：
整理得
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．若关于的方程是一元二次方程，则________．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
20．关于x的方程是一元二次方程，则________．
【答案】
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．
【详解】解： 关于x的方程是一元二次方程，
由①得：
由②得：
所以
故答案为：
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．
三、解答题
21．如果是关于的一元二次方程的一个根，求及另一个根．
【答案】，，另一根为x=1
【分析】将x=-2代入解析式即可求出c的值，从而解出另一根．
【详解】解：∵x=﹣2，是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
即，
解得：，，
当c=0时，，
即，解得，，
当c=8时，，
即，解得，，
故，，另一根为x=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解使得方程左右两边相等，能够理解一元二次方程的解是解决本题的关键．
22．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】，
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x2+x＝3代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当x2+x﹣3＝0时，
∴x2+x＝3，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
23．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
【答案】(1)±3
(2)见解析
【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；
（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．
（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，故答案为：±3．
（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x取值无关，∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．
【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【答案】1
【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．
【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．
25．求证：无论m取任何实数，关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根．
【答案】见解析
【分析】分两种情况，当m＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，由于b2-4ac＝（m﹣1）2≥0，则可判断方程有两个实数根．
【详解】证明：当m＝0时，方程化为x﹣2＝0，解得x＝2；
当m≠0时，∵b2-4ac＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0有两个实数根，
综上所述，无论m取任何实数，关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式，分类讨论是解答本题的关键．
26．已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
【答案】
【分析】首先把原式化简，再根据方差解得定义得到代数式a（a+4）=21，代入原式求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，
即a（a+4）=21，
原式=．
【点睛】本题考查整式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
27．如图，铁路上、两点相距24km，、为两村庄，CA⊥AB于，DB⊥AB于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站p，使得、两村到P站的距离相等，则站应建在距站多少千米处？
【答案】9
【分析】根据，两村到站的距离相等，可得，再根据，，可得，再根据勾股定理可得，设，则，求解方程即可．
【详解】解： 使得，两村到站的距离相等．
，
于，于，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
∴站应建在距站9千米处．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用和解一元二次方程，熟悉相关性质是解决问题的关键．
28．已知关于x的方程 的一个解是 ，求代数式的值．
【答案】-1
【分析】根据x＝a是方程 x2 – 3x＋1＝0的一个解，则 a2 – 3a＋1＝0，然后利用整体代入的思想求解即可．
【详解】解：∵x＝a是方程 x2 – 3x＋1＝0的一个解，
∴ a2 – 3a＋1＝0，
∴a2 – 3a＝-1，
∴3a2＋2（1 4a）–a＝ 3a2 –9a＋2
＝3（a2 – 3a）＋2
＝－1．
【点睛】本题主要考查了方程的解和代数式求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解．
29．若是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】2022
【分析】根据是方程的一个根，可得，然后将变形代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，则，
即，
则
．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键．
30．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】解：化简，得
．
方程是关于的一元二次方程，得
，解得，
当时，方程是关于的一元二次方程；
由一次项系数为零，得．
则原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
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