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专题02：解一元二次方程
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．对于实数m，n，定义一种运算☆为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．0或
5．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根
6．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在用配方法解方程时，可以将方程转化为其中所依据的一个数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
10．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个．
①若中不含项，则；
②不论取何值，总有；
③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为；
④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程．的两个根，则n的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
12．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．若关于x的方程没有实数根，则m的最大整数值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
14．关于的一元二次方程，下列选项正确的是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与的取值有关
15．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．一元二次方程的根为＝_____，＝_____．
17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．
18．若关于x的一元二次程（a﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个相等的实数根，则a的值是 _____．
19．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．
20．若，则__________．
21．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另外一个根是______．
22．已知实数，满足，则的值为________．
23．若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为________．
24．若m，n是方程的两个实数根，则的值为______．
25．方程（x﹣1）2＝6的解是_____．
26．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，例如：，若，当y＝4则x＝______．
27．若，则__________．
28．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_____．
29．一元二次方程的解为________．
30．对于任意实数，我们规定：，若，则的值为__________．
三、解答题
31．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
32．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
33．已知关于x的方程，若方程有实数根，求k的取值范围．
34．解方程：
(1)
(2)．
35．解下列方程
(1)；
(2)．
36．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2 x 3+﹣+5＝﹣4
∵≥0
∴当x＝﹣3时，+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+5x﹣1＝+b，则ab的值是_______．
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式2+kx+7的最小值为2，求k的值．
37．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c分别为△ABC三边的长）有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
38．已知关于x的一元二次方程．
(1)若，求此方程的解；
(2)当时，试判断方程的根的情况．
39．先填空，再找规律：
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－2x＝0 0 2
x2＋3x－4＝0 －4 1
x2－5x＋6＝0 2 3
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为常数，p2－4q≥0）的两根x1，x2与系数p、q之间有什么关系：
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢，你能证明你的猜想吗？
40．已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB
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专题02：解一元二次方程
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】直接运用一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵
∴△＝（-1）2-4×（-2）×1＝1+8=9＞0
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与一元二次方程根的关系是解答本题的关键．
2．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而得出答案．
【详解】当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，△=1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为
（mx2-m）+（x+1）=0
m（x2-1）+（x+1）=0
m（x+1）（x-1）+（x+1）=0
（x+1）（mx-m+1）=0，
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
3．定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
4．对于实数m，n，定义一种运算☆为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．0或
【答案】B
【分析】由于定义一种运算☆为：，关于x的方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【详解】解：由，
得，
依题意有，
∴，
解得，或a=-1（舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式，新定义，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
5．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【详解】解：一元二次方程中，
∵△=，
∴原方程有两个不相等的实数根,
∵,
∴原方程有两个不相等的异号实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键，（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
6．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】找出根的判别式等于的方程即为所求．
【详解】解：A、方程整理得：，
，
方程有两个相等的实数根，符合题意；
B、方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、方程，
，
方程没有实数根，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
7．在用配方法解方程时，可以将方程转化为其中所依据的一个数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
【详解】用配方法解方程时，可以将方程转化为，
其中所依据的一个数学公式是．
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
8．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，
．也考查了一元二次方程的解．
10．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个．
①若中不含项，则；
②不论取何值，总有；
③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为；
④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】，中不含项，则，可判断①正确；举反例可判断②错误；由，得，可判断③正确；由得，即或，分别求出△的值，可判断④正确．
【详解】解：，
若中不含项，则，
，故①正确；
当时，，，此时，故②错误；
若关于的方程的两个解分别为，，则，
，
当时，的最小值是，故③正确；
由得，
或，
由得，
△，
有两个不相同的实数根，
由得，△，
有两个不同的实数根，
始终有4个不相同的实数解，故④正确，
正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减及一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
11．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程．的两个根，则n的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
【答案】D
【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a=2或b=2，②a=b；当①当a=2或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2-6x+n+2=0即可得到结果；当②当a=b时，方程x2-6x+n+2=0有两个相等的实数根，由Δ=（-6）2-4（n+2）=0可得结果．
【详解】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n+2=0的两根，
∴x=2， 把x=2代入x2-6x+n+2=0得，，
解得：n=6， 当n=6，则方程为，
∴ 解得：
∴方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=6不合题意，
②当a=b时，方程x2-6x+n+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-6）2-4（n+2）=0 解得：n=7，
∴方程为：
解得： 此时满足三角形三边关系，
综上所述，n=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
12．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令=t，把进行变形整理得到，再求出，得出，求出t的解集即可解答．
【详解】解：先令=t，
则可变形为：
，
整理得，
则
即
由知
的解集为
故取最小值，此最小值为；
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程由两个相等的实数根；，方程没有实数根；同时运用了解决函数图像交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．
13．若关于x的方程没有实数根，则m的最大整数值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出m的范围，确定出最大整数值即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，
∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1，
则m的最大整数值是﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
14．关于的一元二次方程，下列选项正确的是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与的取值有关
【答案】C
【分析】求出一元二次方程根的判别式，判断其值的正负，即可作出判断．
【详解】解：方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，
Δ=16-4（1-m）（m-3）
=16-4（m-3-m2+3m）
=4m2-16m+28
=4（m2-4m+4）+12
=4（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴4（m-2）2+12≥12＞0，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
15．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：．
二、填空题
16．一元二次方程的根为＝_____，＝_____．
【答案】 0 ﹣6
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
[（2x﹣3）+3（x+1）][（2x﹣3）﹣3（x+1）]＝0，
﹣5x（x+6）＝0，
﹣5x＝0或x+6＝0，
解得＝0，＝﹣6．
故答案为：0；﹣6．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，以及根的判别式即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念以及根的判别式是本题的关键．
18．若关于x的一元二次程（a﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个相等的实数根，则a的值是 _____．
【答案】##
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义即可解答．
【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝22﹣4（a﹣1）×（﹣2）＝0，
解得a＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ>0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0 方程没有实数根．
19．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．
【答案】 ， ，，
【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一元一次方程即可；
（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，
∴或，
∴，，
故答案为：，；
（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，
得：，
解得：，，
代入a(x+3k) +2022=0得，
即，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．
20．若，则__________．
【答案】4
【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可．
【详解】解：，
∴或者，
∴，或者，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解．
21．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另外一个根是______．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系：，可得出，再进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为k，
则根据根与系数的关系得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的公式是解决此题的关键．
22．已知实数，满足，则的值为________．
【答案】2
【分析】把看作是一个整体，假设,则原式可转化为，解方程可得x， 即)的值，注意为非负数．
【详解】解：设，
则：
解得，
因为，
所以的值为2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程解法的应用，解决本题的关键是用换元法解一元二次方程．
23．若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为________．
【答案】8或 4
【分析】由根与系数的关系可得，，那么，再由整数的性质即可求解．
【详解】解：设方程的两个实数根分别为，（假设），
则，．
∴，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴，或，，
解得，或，，
∴p＝ （ 2 6）＝8或p＝ （4＋0）＝ 4．
故整数p值为8或 4．
故答案为：8或 4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的整数根，一元二次方程中根与系数的关系，因式分解，抓住关系式是解题的关键．
24．若m，n是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2036
【分析】由m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可得到答案．
【详解】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m+n=2，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴2m2+4n2-4n+2022
=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+2022
=4m+2+8n+4-4n+2022
=4（m+n）+2028
=4×2+2028
=2036，
故答案为：2036．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
25．方程（x﹣1）2＝6的解是_____．
【答案】
【分析】把方程两边开方得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
26．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，例如：，若，当y＝4则x＝______．
【答案】-1或2##2或-1
【分析】首先根据题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝4时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【详解】∵max{（x﹣1）2，x2}＝4，
解得
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为4，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝4，
解得：x1＝-2（不合题意，舍去），x2＝2，
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x﹣1＝2，x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝-1，x2＝3（不合题意，舍去），
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为2或﹣1．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．
27．若，则__________．
【答案】4
【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．
【详解】解：设，原方程可化为，
化为一般式得：，
解得：t=4或t=-2，
∵，
∴t=4，
∴4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．
28．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_____．
【答案】6或16或21
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=7，x2=2，利用三角形三边的关系和等腰三角形的性质的等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，然后计算三角形的周长．
【详解】解：，
x2-9x+14=0，
（x-7）（x-2）=0，
x-7=0或x-2=0，
所以x1=7，x2=2，
∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，
∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，
∴这个三角形的周长为6或16或21．
故答案为：6或16或21．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
29．一元二次方程的解为________．
【答案】
【分析】先设，解出y的值，进而求出方程的解即可．
【详解】解：设
，
，
，
解得：，，
故，，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，能够选择合适的方法解方程是解决本题的关键．
30．对于任意实数，我们规定：，若，则的值为__________．
【答案】1或2
【分析】首先根据规定将原方程转化成一般的方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
化简，得，
解得：，．
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确读懂题意，化简是解题的关键．
三、解答题
31．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】且m≠0
【分析】根据根与判别式的关系得到关于m的不等式，解不等式即可得解．
【详解】解：由已知可得：
（2m-3）2-4m2>0，且m≠0
解之可得：且m≠0．
【点睛】本题考查一元二次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及一元一次不等式的解法是解题关键 ．
32．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
33．已知关于x的方程，若方程有实数根，求k的取值范围．
【答案】
【分析】分与两种情况讨论，时，若方程有实数根，则，解不等式即可．
【详解】解：①当时，，该方程为一元一次方程，
解得，满足方程有实数根；
②当时，，该方程为一元二次方程，
若方程有实数根，则，
即，
解得，
即且时，满足方程有实数根；
综上，k的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键，注意利用根的判别式时，二次项系数不能为零．
34．解方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用直接开平方法求解即可．
（1）
解：∵ a＝1，b＝－1，c＝－2，
∴＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
∴ ．
即．
（2）
解∶ ，
，
x－1＝±，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．
35．解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】（1）移项后，利用因式分解法解方程即可；
（2）移项变形后，利用配方法解方程即可．
（1）
解：移项得：
因式分解得：
∴或
解得：，；
（2）
移项得：
方程的各项都除以2得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
36．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的最小值．+6x+5＝+2 x 3+﹣+5＝﹣4
∵≥0
∴当x＝﹣3时，+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+5x﹣1＝+b，则ab的值是_______．
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式2+kx+7的最小值为2，求k的值．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出a与b的值，再相乘即可；
（2）先进行配方，然后根据偶次方的非负性求出代数式的取值范围即可；
（3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k的值即可．
（1）
解：
解得a=，b=-，
∴ab=-．
（2）
∵，
∴，
∴代数式的值都是正数；
（3）
∵，
∴代数式有最小值为．
∵代数式的最小值为2，
∴．
解得：k=．
【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．
37．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c分别为△ABC三边的长）有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析
【详解】解：△ABC是直角三角形；
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴
∴△ABC是直角三角形.
38．已知关于x的一元二次方程．
(1)若，求此方程的解；
(2)当时，试判断方程的根的情况．
【答案】(1)
(2)此时该方程总有两个实数根
【分析】（1）将代入，然后利用直接开方法求解即可；
（2）将方程化简为一般式，然后利用根的判别式求解即可．
（1）
解：当时，方程为
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）
由一元二次方程得，
∴
∵
∴，
∴此时该方程总有两个实数根．
【点睛】题目主要考查利用直接开方法求解一元二次方程及其根的判别式，熟练掌握运用一元二次方程的相关知识点是解题关键．
39．先填空，再找规律：
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－2x＝0 0 2
x2＋3x－4＝0 －4 1
x2－5x＋6＝0 2 3
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为常数，p2－4q≥0）的两根x1，x2与系数p、q之间有什么关系：
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢，你能证明你的猜想吗？
【答案】(1) ，
(2)，，证明见解析
【分析】（1）先求出各方程两根之和与两根之积，再与方程的系数比较即可确定p、q之间的关系；
（2）结合（1）得到x1，x2与系数a，b，c之间的关系，然后再运用公式法求得x1、x2，然后代入计算即可证明．
（1）
解：如下表：
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－2x＝0 0 2 2 0
x2＋3x－4＝0 －4 1 -3 -4
x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
通过观察可以发现：于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为常数，p2－4q≥0）的两根x1，x2与系数p、q之间的关系是： ，．
（2）
解：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系为：，，证明如下：
∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根x1，x2
∴b2－4ac≥0
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、用公式法解一元二次方程等知识点，牢记一元二次方程的相关公式是解答本题的关键
40．已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB【答案】(1)m=0或m=1
(2)m=0或m=1
【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可．
（1）
解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
∴m=0或m=1；
（2）
解：∵△=，
∴x=
∴，，
∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC=，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有，
解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；
当AC为斜边时，有，
解这个方程，得．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．
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