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专题04：二次函数的图像和性质
一、单选题
1．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且，据此求解即可．
【详解】解：，
选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；
选项B：若，则， ，则 故此选项符合题意；
选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有 ，故此选项不符合题意；
同理选项D也不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴交点情况判断与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及a的范围推理的符号，根据当x＝1的函数值判断的符号．
【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴；
故本选项正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
∴；故本选项错误；
（3）由图示，知对称轴；又函数图象的开口方向向下，
∴，
∴，即，
故本选项正确；
（4）根据图示可知，当x＝1，即，
∴；故本选项正确；
综上所述，其中错误的是（2），共有1个；
故选：D．
【点睛】此题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．
3．点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．>> B．>= C．>> D．=>
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．
【详解】解：∵，a＝－1＜0，
∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下，
∴（3，），（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴>，
根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
5．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，
∴，
即
∴，
当m=1时，抛物线为．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为．
6．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；
②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质求出根据三角形的面积公式求出有与x的函数解析式，再根据二次函数的性质求最值，从而判断函数图像．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EP=OF，
∵AB=8，
∴
∵AP=x，
∴
∴
∵
∴当x=4时，y有最大值，最大值为
故函数图像是开口向下的抛物线，当x=4时，最大值为
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，以及二次函数的性质，解题的关键是菱形性质的应用．
8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
9．已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为，得2a=-b，
∴a、b异号，即b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，即b＞a+c，
故②错误；
∵对称轴，得2a=-b，
∴4a+2b+c=-2b+2b+c=c，
又∵c＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b 2 -4ac＞0，
故④正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝ 1，图像开口向上，A、B两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，故y1＜y2；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y3最小．
【详解】解：由二次函数y＝3（x＋1）2 8可知，对称轴为x＝ 1，开口向上，
A（1，y1），B（2，y2）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，
由1＜2得y1＜y2，
A、B、C三点中，C点离对称轴最近，
y3最小，即，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键．
11．已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再将两边同时平方，可得：=，从而可求y的最大值与最小值的差．
【详解】解：根据二次根式有意义，得： x 1≥0且5 x≥0，
解得：1≤x≤5，
∵ ，
∴
=
令，
∴当x=3时，w有最大值4；当x=1或5时，w有最小值0，
∴当x=3时，y有最大值，当x=1或5时，y有最小值2，
∴y的最大值与最小值的差为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质以及二次根式有意义的条件，是解题的关键．
12．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x －1 0 2 3 4
y 5 0 －4 －3 0
以下结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是 （ ）A．①② B．②③④ C．①③ D．①②④
【答案】A
【分析】根据表格画出函数图象，由二次函数的图象与性质作答．
【详解】解：根据表格画出二次函数的图象如图，
由图可知：抛物线的开口向上，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，故②正确；
当时，，故③错误；
若是抛物线对称轴右侧的两点，则；若是抛物线对称轴左侧的两点，；若是抛物线对称轴异侧的两点，则或，故④错误，
故选：Ａ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是画出函数图象，掌握二次函数的图象与性质．
13．若关于y的分式方程有非负整数解，且关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，则符合条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣16 B．﹣13 C．﹣21 D．﹣12
【答案】B
【详解】先确定二次函数的顶点，再根据顶点在第四象限再结合分式方程的解为非负数，求出a的取值范围；再求出分式方程的解，再令其为非负数结合顶点坐标在第四象限确定a的取值范围，最后结合分式方程的解为非负整数，确定a可能取值求和即可
【解答】解：关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1的顶点坐标为（3，-a-8）在第四象限
则-a-8＜0，解得a＞-8
解关于y的分式方程可得：y=≠1
由题意可得： ，解得：a≤-1
所以-8＜a≤-1
因为分式方程的解为非负整数解
所以符合条件的整数a的值为：-7， -5， -1
所以符合条件的整数a的值之和为（-7）+（-5）+（-1）=-13
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、二次函数的性质、不等式的应用等知识点，确定a的可能取值是解答本题的关键．
14．若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，y有最大值
C．图像经过点 D．当时，
【答案】D
【分析】观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，经过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时，，A选项正确，不符合题意．
当时y有最大值，B选项正确，不符合题意．
∵图象经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线经过点，C选项正确，不符合题意．
当或时，，选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据函数图象找出对称轴、判断开口方向和增减性是解题的关键．
15．已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
二、填空题
16．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点M、N（M在N左侧），与y轴交于点A，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，经过点M的射线MD与y轴负半轴相交于点C，与抛物线的另一个交点为D，∠BMN=∠NMD，点P是y轴负半轴上一点，且∠MDP=∠BMN，则点P的坐标是_______．
【答案】
【分析】作轴交MD于，如图，证明B点和关于x轴对称，再解方程 得M（﹣2，0），N（4，0），接着求出B点坐标，从而得到（2，﹣2），利用待定系数法求出直线MD得解析式为yx﹣1，然后通过解方程组得D（6，﹣4），最后证明 得到P点坐标．
【详解】解：作轴交MD于，如图，
∵∠BMN＝∠NMD，
∴MN垂直平分BB′，
∴B点和关于x轴对称，
当y＝0时， ，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴M（﹣2，0），N（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴B（2，2），
∴（2，﹣2），
设直线MD的解析式为y＝kx+b，
把M（﹣2，0），（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直线MD得解析式为yx﹣1，
解方程组，
∴D（6，﹣4），
∵∠BMN＝∠NMD，∠MDP＝∠BMN，
∴∠NMD＝∠MDP，
∴，
∴P点坐标为（0，﹣4）．
故答案为（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：①a＞b＞c，②一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意实数)，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正确的结论有___(填序号)．
【答案】④⑤##⑤④
【分析】①根据抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，即可判定a＞0，c＜0，再结合抛物线的对称轴可得b=2a，即可判断；②根据以得出的a＞0，c＜0，即可判断；③令m=-1即可判断；⑤根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，可得当x=1时，有，即可判断；④结合b=2a，可得，即可判断．
【详解】∵抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴，
∴即b=2a，且b＞0，
即有b＞a＞c，故①错误；
∵a＞0，c＜0，
∴可知一次函数经过一、三、四象限，
故②错误；
∵m为任意数，
∴当m=-1时，有，
故③错误；
∵根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，
∴当x=1时，有，
故⑤正确
∵b=2a，
∴，
故④正确，
故答案为：④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，一次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答本题的关键．解答此题时要注意数形结合的思想．
18．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
【答案】8
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：当点C横坐标为 3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．
19．设关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是_______．
【答案】a>0
【分析】解法一：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜-1＜x2，即（x1+1）（x2+1）＜0，x1x2+（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围；
解法二：先分析出当，，原方程只有一个实数根，不符合题意，则，再由原方程得到，令，，然后分和两种情况画出两个函数的函数图象，利用两个函数的交点进行求解即可．
【详解】解方一：∵方程有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＞0，即，
∴，
∵，
∴
∴（x1+1）（x2+1）＜0即x1x2+（x1+x2）+1＜0，
∵，，
∴，
化简可得：,
当时，不等式组无解，
当，恒成立，
综上所述，，
故答案为：；
解法二：∵有两个不相等的实数根，
∴当，，原方程只有一个实数根，不符合题意，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，，
∴的顶点坐标为（-1，0），
如图1所示，当时，由函数图象可知，此时两个交点不满足；
如图2所示，当时，由函数图象可知，此时两个交点满足，
综上所述，，
故答案为：；
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将二者结合是解题常用的方法．
20．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．
（1）当P点最高时，______．
（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则_____．
【答案】 1
【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，即可得到顶点，纵坐标化为的形式，即可得出结果；
（2）将代入得，，这时当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，由于，函数有最小值8，故只有当时，函数取得最小值8，代入即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
∵，
∴当时，取得最大值5，
∴当P点最高时，；
故答案为：1；
（2）当时，，
∵当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，
又∵，函数有最小值8，
∴当时，函数取得最小值8，
∴
∴，（不合题意，舍去）
∴当时，函数有最小值8，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键．
21．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
22．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______．
【答案】
【分析】由抛物线的解析式求得、、的坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，根据轴对称的性质得出，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点和点两点，
∴当时，，解得或1，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把的坐标代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
解
得或，
∴点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的逆定理等，证得是解题的关键．
23．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
【答案】①②③
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤．
【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_______．
【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3，
故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
25．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．
【答案】＜t＜1##0.6【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故填：＜t＜1
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
26．若点，，，，都在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用小于号连接起来正确的结果是 _____．
【答案】
【分析】表示出二次函数，即可知道函数增减性，结合图象进行求解即可．
【详解】解：将，代入可得：
，解得，
∴，
其对称轴为，开口向上，
根据其增减性可知：函数在处取得最小值，
时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而增大，
再根据点到对称轴的远近可知：到对称轴的距离小于2到对称轴的距离，
∴，
综上所述：.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握函数的图象及性质，结合图象求解．
27．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
28．如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
【答案】2
【分析】由A点坐标为（0，1）结合两个函数解析式求出点C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后根据DE∥AC然后利用y2求出点E的坐标，用点E的横坐标减去点D得横坐标即可解答．
【详解】解：∵,AC//x轴
∴点A、C的纵坐标相同
∴，解得x=2，
∴点C（2，1），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，
∴y1=22=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4，
∴，解得:x=4，
∴点E的坐标为（4，4），
∴DE=4-2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出相关点的坐标成为是解答本题的关键．
29．如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③二次函数的最小值为；④若，则；⑤一元二次方程的两个根为和．其中正确结论的是______填序号．
【答案】①③⑤
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号即可对进行判断；利用图象即可判断；利用交点式写出抛物线解析式为，配成顶点式得，则可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对进行判断．
【详解】解：①：由图象可得，，，，
，所以正确；
②：当时，，所以错误；
③二次函数的图象经过点、点，
抛物线解析式为，即，
，
当时，二次函数有最小值，所以正确；
④点关于直线的对称点为，
当，则或，所以错误；
⑤，，
方程化为，
整理得，解得，，所以正确．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练地掌握二次函数的增减性和对称性，会结合图像以及运用交点式和顶点式分析二次函数的性质是解题的关键．
30．如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．
【答案】1
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，求得A、B、C的坐标，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根据S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1．
【详解】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1，
∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，
∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC
=（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1
=1；
∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，代入抛物线的解析式可得，从而可得，再利用一元二次方程根的判别式可得，据此求出的值，由此即可得；
（2）先求出，再判断出，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，将其代入抛物线的解析式即可得．
（1）
解：，
，
将代入得：，解得，
，
方程恰好有两个相等的实数根，
这个方程根的判别式，即，
解得或（不符题意，舍去），
则抛物线的解析式为．
（2）
解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，
，
，
恰好为等腰直角三角形，
只能是，
如图，过点作于点，
，
，
将点代入抛物线得：，
解得或（不符题意，舍去），
即的值为2．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
32．如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
(3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
【答案】(1)
(2)（0，4）
(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）
【分析】（1）已知抛物线上的三点用待定系数法求解析式；
（2）根据抛物线的解析式，设出点M的坐标，作一条竖线交AB于N，利用公式求△ABM的面积；
（3）求出点E坐标，利用平行四边形的性质和平移求点F的坐标，注意分类讨论．
（1）
解：将点A(2，0)，B(-2，4)，C(-4，0)分别代入得：
，
解得．
∴抛物线的表达式为y=．
（2）
如图，作MNy轴交直线AB于点N，
设点M(m，)．
设直线AB的方程为，将代入解析式得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：，
∴， ，
∴，
∵-1＜0，且-2＜0＜2，
∴当m=0时，ΔABM的面积最大，此时，所以M的坐标为（0，4）．
（3）
∵抛物线的对称轴为直线，
将代入得y=3，
∴E（-1，3），
当BC为对角线时，构成．
∵B(-2，4)，E（-1，3），
∴点E到点B向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∴点C到点F也向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∵C(-4，0)，
∴ F（-5，1）．
同理，当BE为对角线时，构成，可得F（1，7）；
当BF为对角线时，构成，可得F（-3，-1）．
综上所述点F得坐标为（-5，1）或（1，7）或（-3，-1） ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角坐标系中三角形面积求法，与已知平行四边形三个顶点求第四个点坐标的方法，记住面积公式和会分类讨论是解题的关键．
33．如图，二次函数的图象分别与x轴、y轴相交于A（﹣1，0）、B、C（0，﹣3）三点，其对称轴与x轴、线段BC分别交于点E、点F，连接CE．
(1)求这个二次函数的解析式并写出其顶点的坐标；
(2)写出点的坐标；
(3)当随x的增大而减小时，的取值范围是________．
(4)直接写出的面积．
【答案】(1)，的坐标
(2)点 B 的坐标（3，0）
(3)x＜1
(4)△CEF 的面积是 1
【分析】（1）根据待定系数法以及配方法即可解决．
（2）令y＝0解方程即可．
（3）根据二次函数增减性回答即可．
（4）先求出直线BC的解析式，再求出的F坐标即可求出△CEF的面积．
（1）
解：由二次函数经过A（﹣1，0），C（0，﹣3），得
，
解得，
所以抛物线为：，
∵＝，
∴顶点D（1，﹣4）．
（2）
令y＝0则，解得x＝3或x＝﹣1，
∴点B（3，0）．
（3）
对于二次函数＝，
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，
故答案为：x＜1．
（4）
设直线BC为y＝kx+b，
∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得．
∴直线BC为y＝x﹣3，
∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y＝1－3＝﹣2，
∴F（1，﹣2），E（1，0），
∴EF＝0－（﹣2）＝2，
∴S△EFC2×1＝1．
即△CEF 的面积是 1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，用配方法求顶点坐标，利用图象确定函数值的增减性等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
34．已知抛物线的顶点（0，1）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE AF与4的大小关系．
(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)AE·AF＞4；
(3)N（1，）．
【分析】（1）根据抛物线的顶点为（0，1）可求得b＝0，c＝1，即可得到解析式；
（2）首先求出点A坐标为（ 1，0），然后联立直线和抛物线解析式得到方程，利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据AE＝，AF＝，计算出AE·AF的值即可得出答案；
（3）设抛物线上任意一点H（x，y），则HD＝，，求出HD＝，可得H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，所以当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小，即可求得N点坐标．
（1）
解：将点（0，1）代入，得c＝1，
∵点（0，1）是顶点，
∴，
∴b＝0，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）
当y＝kx＋k＝k（x＋1）＝0（k≠0）时，
解得：x＝－1，
∴A（ 1，0），
联立，得：，
整理得：，
∴，，
∵AE＝，AF＝，
∴AE·AF
＝
＝
＝
＝，
∴AE·AF＞4；
（3）
存在点N，使得NM＋ND取得最小值，
设抛物线上任意一点H（x，y），
∴HD＝，H点到x轴的距离为y，
∵，
∴HD＝，
∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，
∴N点到D的距离与N点到x轴的距离相等，
∴当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小，
∴点N的横坐标为1，
当x＝1时，，
∴N（1，）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象及性质，待定系数法的应用，一次函数与二次函数的交点问题，根与系数的关系，两点间距离公式等知识，灵活运用根与系数的关系，求出N点到D的距离与N点到x轴的距离相等是解答（2）（3）的关键．
35．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
(3)的长约为米
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
（1）
解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）
∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）
在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
36．如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
【答案】(1)
(2)(0＜m＜3)，当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为
【分析】(1)应用待定系数法将A(-1，0)，B(3，0)代入中，可得，解方程组即可得出答案；
(2)过点P作PFy轴，交BC于点F，如图，当x=0时代入二次函数解析式=6，即可算出点C的坐标．设直线BC的解析式为y=kx+c，把B(3,0)，C(0,6)代入y=kx+c中，求出k，b的值即可算出直线BC的解析式，根据点P在抛物线上可设的坐标为(m，)，则点F在直线BC上可设坐标为(m，-2m+6)，即可算出PF=-(-2m+6)，再由==，当m=时，△PBC的面积取得最大值点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m的取值范围．
（1）
解：将A(-1,0)，B(3,0)代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：过点P作PFy轴，交BC于点F，如图所示，
由(1)知：当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6)；
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把B(3，0)，C(0，6)代入y=kx+c中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．
设点P的坐标为(m,)，
则点F的坐标为(m,-2m+6)，
∴PF=-(-2m+6)=，
∵
∴S=
=
=，
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
故(0＜m＜3)，
∵-3<0，
∴当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
37．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)最小值为-2，最大值为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3），由，根据的长度随的增大而减小，得到，求解即可．
（1）
解：将，点代入得：
，解得，
∴．
（2）
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∴当时，取最小值为-2，
∵，
∴当时，取最大值．
（3）
解：，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
∴满足题意，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握用待系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．
38．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位长度，点的对应点为，连接，，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先求出点B，点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式，可得点的坐标；
（2）求得平移后的解析式为，可得平移后的抛物线的顶点为D（2，1 m），进一步求得抛物线对称轴与直线AB的交点，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可．
（1）
解：在直线y＝x 3中，
令x＝0，则y＝ 3；
令y＝0，则x＝3，
∴点B（3，0），点A（0， 3），
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴C（2，1）；
（2）
将抛物线向下平移m个单位长度得到，
∴平移后的抛物线的顶点为D（2，1 m），
把x＝2代入y＝x 3得y＝ 1，
∴直线AB与抛物线对称轴的交点为（2， 1），
∵＝2，
∴|1 m＋1|×3＝2，
∴m＝或，
即m的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积等知识，求得抛物线的解析式是解题的关键．
39．如图，，，，四点在抛物线上，且ABCDx轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．
【答案】，OF=1
【分析】由题意可设点D（5，c），B（10，c-3），然后可列二元一次方程组求得a，进而求得点D坐标即可解答．
【详解】解：由题意可设点D（5，c），B（10，c-3），
则： 解得：
∴D(5,-1)
∵CDx轴
∴OF=1
∴，OF=1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行于x轴的直线的坐标特点等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键．
40．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）
解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
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专题04：二次函数的图像和性质
一、单选题
1．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．>> B．>= C．>> D．=>
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
9．已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x －1 0 2 3 4
y 5 0 －4 －3 0
以下结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是 （ ）A．①② B．②③④ C．①③ D．①②④
13．若关于y的分式方程有非负整数解，且关于x的二次函数y＝x2﹣6x﹣a+1顶点在第四象限，则符合条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣16 B．﹣13 C．﹣21 D．﹣12
14．若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，y有最大值
C．图像经过点 D．当时，
15．已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
二、填空题
16．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点M、N（M在N左侧），与y轴交于点A，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，经过点M的射线MD与y轴负半轴相交于点C，与抛物线的另一个交点为D，∠BMN=∠NMD，点P是y轴负半轴上一点，且∠MDP=∠BMN，则点P的坐标是_______．
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：①a＞b＞c，②一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意实数)，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正确的结论有___(填序号)．
18．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
19．设关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是_______．
20．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．
（1）当P点最高时，______．
（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则_____．
21．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
22．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为______．
23．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
24．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_______．
25．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．
26．若点，，，，都在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用小于号连接起来正确的结果是 _____．
27．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____．
28．如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．
29．如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③二次函数的最小值为；④若，则；⑤一元二次方程的两个根为和．其中正确结论的是______填序号．
30．如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．
三、解答题
31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．
32．如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
(3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
33．如图，二次函数的图象分别与x轴、y轴相交于A（﹣1，0）、B、C（0，﹣3）三点，其对称轴与x轴、线段BC分别交于点E、点F，连接CE．
(1)求这个二次函数的解析式并写出其顶点的坐标；
(2)写出点的坐标；
(3)当随x的增大而减小时，的取值范围是________．
(4)直接写出的面积．
34．已知抛物线的顶点（0，1）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE AF与4的大小关系．
(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
35．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
36．如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
37．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
38．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位长度，点的对应点为，连接，，若，求的值．
39．如图，，，，四点在抛物线上，且ABCDx轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．
40．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
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