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专题05：二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．下表中列出的是一个二次函致的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 4 6 4 …
A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6 D．当时，对应函数y的取值范围是
【答案】C
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y=-x2+3x+4=-(x-4)(x+1)=-（x-）2+，
A、a=-1<0，∴函数图象开口向下，故本选项不符合题意；
B、与x轴的交点为（4，0）和（-1，0），故本选项不符合题意；
C、当x=时，函数有最大值为>6，故本选项符合题意；
D、函数对称轴为直线x=，
当x=时，函数有最大值为，
当x=-1时，y=-x2+3x+4=0，
∴当时，对应函数y的取值范围是，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．抛物线的顶点为D(-1,3)，与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点都在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象、 与坐标轴的交点、对称性、顶点坐标以及与一元二次方程的关系等逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点，
∴，
∴
故①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0），（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故②正确；
∵对称轴x＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线的顶点为D(-1,3)，
∴y＝a－b＋c＝c－a＝3，
故③正确；
由②知，，即c＝a＋3，
∵对称轴x＝﹣1，
∴b＝2a，
对于来说，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴x＝﹣1，顶点为D(-1,3)，
当x＜﹣1时，y随x增大而增大，
∴当时，，
当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∴当时，，
当时，无法判断与的大小关系，
故⑤错误，
综上：①②③④正确，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确判断的前提．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），其部分图像如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．其中结论错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向以及与轴的交点情况可对①进行判断；与对称轴的位置结合开口方向，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
，
，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，所以③正确；
当时，，所以④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
5．若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式可得，然后设，根据抛物线与x轴的交点可得当x=1时，y＞0，即可求解．
【详解】解：∵，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，
∴，解得：，
设，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当x=1时，y＞0，
∴，解得：，
∴c的取值范围是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
【答案】C
【分析】由对称轴公式得直线x2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用二次函数的性质和不等式的性质可得结果．
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3，
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，
∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与不等式．解本题的关键是掌握二次函数的性质和不等式性质．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】根据对称轴为x＝1可判断①；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当时，都有y随x的增大而增大；③若当时，都有y随x的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】C
【分析】先把二次函数化为一般式，求得对称轴及方程根的判别式，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，开口向上，
，
①该函数图象与坐标轴必有2个交点，故①错误；
②当x>时，都有y随x的增大而增大，故②错误；
③若当x④该函数图象与直线y= x+6的交点不随m的取值变化而变化
由题意可得：，
解得：x=0或x=6，
∴y=6或x=0，
∴抛物线与直线的交点为(0,6)或(6,0)
∴函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，故④正确；
故选：C．
【点睛】题目主要考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与坐标轴的交点的判定、二次函数的增减性问题是解题关键．
10．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（ ）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2 B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2 D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式一一证明即可．
【详解】解：∵a＝2，
∴y1＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），
∴M1＝1，
∵y2＝x2+bx+2，
∴，
当M2＝1时，b2﹣8＝0，
∴b2＝ac＝8，
∴c＝4，
∴y3＝x2+4x+3，
∵，
∴M3＝2，故A选项正确,B错误；
当M2＝0时，b2﹣8＜0，
∴b2＝ac＜8，
∴c＜4，
∴，
∴M3＝0或1或2，故C正确；
当M2＝2时，，
∴，
∴，
∴，
∴M3＝2，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用一元二次方程的根的判别式解决问题．
二、填空题
11．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____．
【答案】10
【分析】把二次函数转化为关于的一元二次方程，抛物线与轴有且只有一个交点，说明一元二次方程，因此得到关于的方程，求出的值．
【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键．
12．若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．
【答案】-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y==0，即m=0，
此时=x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得．
【详解】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，
由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点（－1，0），则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．
其中正确的是____________（填写序号）．
【答案】②
【分析】由即可判断①；由题意得a-b+c=0，解方程组可判断②；由抛物线与x的交点可判断③；由0＜a＜c可得抛物线开口向上，＞1，从而可得抛物线与x轴两个交点在直线x=1的右侧，从而判断④．
【详解】解：∵当x=1时，a+b+c=0，
∴，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过（-1，0）时，
a-b+c=0，
∵a+b+c=0，
两式相减得，2b=0，
∴b=0，
故②正确，
当b=c时，由a+b+c=0得，
a+2c=0，
∴a=-2c，
当x=-2时，，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点（1，1）右侧，
∵对称轴x=-位置不确定，跟对称轴的位置关系不确定，
∴和的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
15．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．
【答案】①②④
【分析】对于①，观察图像与x的交点，可得出对应一元二次方程的根的情况，即可判断；对于②，根据对称轴计算即可；对于③，先确定点的对称点，再根据抛物线的性质判断；对于④，根据对称轴为，再结合时与时函数值相等，即可判断．
【详解】①由函数图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴2a＝b，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点在抛物线上，
∴．
∵，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，
∴y1＜y3＜y2．
∴③错误；
④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为，
∴当与x=-3的函数值相同，
∴④正确；
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键.
16．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．
【答案】2
【分析】设A(x ，0)，B(x ，0)，则．由根与系数的关系把x +x ，x x 用含m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可．
【详解】设A(x ，0)，B(x ，0)，
由根与系数的关系得 x +x =-m，x x =m-2，
则
=
=
=
当m=2时，(m-2) =0
此时有最小值为，
∴AB的长的最小值为2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键．
17．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 __．
【答案】
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，将x＝0代入解析式求出抛物线与y轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6，
∴抛物线经过（0，6），
（0，6）关于对称轴的对称点为（2，6），
∴1＜m≤2时满足题意，
故答案为：1＜m≤2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系
18．抛物线上的点到x轴最短的距离是____．
【答案】3
【分析】将 化为 ，再进行判断图像与 轴是否相交，进一步计算即可．
【详解】，
，
＜，
该二次函数图像与横坐标轴不相交，
该函数图像开口向上，则顶点距横轴距离最短，
最短距离为 时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像与坐标轴的位置关系，找准两者位置关系为关键．
19．把抛物线y=x2-2x-c（c>0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c=_______．
【答案】##
【分析】根据题意对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y=x2-2x-c在直线y=2c上截得的线段长度是6个单位，然后解方程x2-2x-c=2c，方程的解的差的绝对值=6求出c即可．
【详解】解：将抛物线y=x2-2x-c（c＞0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，
而对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，
相当于抛物线y=x2-2x-c在直线y=2c上截得的线段长度是6个单位，
∴当y=2c时，x2-2x-c=2c， 则x2-2x-3c=0，
解得：
∴
∴1+3c=9，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是理解题意把对折部分在x轴上截得的线段长进行转化．
20．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
【答案】①②
【分析】①对x赋值为-1即为a-b+c，通过图像观察x=-1时的函数值对应点的位置即可判断；
②通过对称轴和函数图像与x轴的一个交点判断另一个交点的大致位置即为m的范围；
③要使存在实数x，使得，因为a<0，则方程应有两个不相等的实数根，即△>0， 由对称轴x=-2可得b=4a，列式计算后判断△即可；
④根据当x=2时y>0，当x=3时y<0， b=4a，列不等式计算求出a的解集即可．
【详解】①当x=-1时，，
通过函数图像可知，此时函数图像在x轴上方，即a-b+c>0，
故①错误；
②通过函数图像可知，对称轴为x=-2，函数图像与x轴的一个交点n的范围为2根据对称性，另一交点（m，0）与点（n，0）关于x=-2对称，
∵2-（-2）=4，3-（-2）=5，
∴-2-5即：-7③令y=
若存在实数x使函数值大于0，则方程有两个不相等的实数根，
∵
由函数图像可知，，即b=4a
∴，方程有两个相等的实数根，
即函数开口向下且与x轴只有一个交点，
∴不存在实数x，使得，故③错误；
④x=0时，y=c=
∴
由图像可知，当x=2时y>0，当x=3时y<0，
∴
由对称轴x=-2得，
∴b=4a
∴
解得
∴④错误
综上所述，结论正确的有①②，
故答案为：①②
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图像性质及通过函数图像求参数的关系是解题的关键．
三、解答题
21．已知二次函数的过点(0，4)、(-1，-2)
(1)求该二次函数解析式．
(2)若该二次函数与直线y=a交于点A、B两点，AB=6，则a= ．
(3)当时，则y的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的对称性可得点A（或点B）的横坐标为－2，求出点A（或点B）的纵坐标即可得a的值；
（3）求出二次函数图象开口向下，根据二次函数的对称轴结合二次函数的性质求解即可．
（1）
解：∵二次函数的过点(0，4)、(－1，－2)，
∴，解得：，
∴该二次函数解析式为；
（2）
∵二次函数的对称轴为，AB＝6，
∴点A（或点B）的横坐标为－2，
当x＝－2时，，
∴a＝－12，
故答案为：－12；
（3）
∵二次函数中－2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数的对称轴为，
∴在的范围内，当x＝3时，y是最小值的临界值，此时，
当x＝1时，y取最大值，最大值为，
∴当时，y的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
22．已知二次函数的解析式是．
(1)与轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)结合图象回答：当时，函数值的取值范围是______．
【答案】(1)（-1，0），（3，0）；（1，4）；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）令，求出x的值即可求出与x轴的交点坐标；把二次函数解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据（2）所画函数图象求解即可．
（1）
解：令，则，
解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；
∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为（1，-4），
故答案为：（-1，0），（3，0）；（1，4）；
（2）
解：列表如下：
-1 0 1 2 3
0 -3 -4 -3 0
函数图象如下所示：
（3）
解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围是；
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
23．在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数的性质及其应用，请按要求完成下列各题．
(1)函数中自变量的取值范围是：_________．
(2)请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图像；
(3)根据函数图像，写出此函数的三条性质；
(4)写出不等式的解集．
【答案】(1)取任意实数
(2)见解析
(3)①图像关于y轴对称；②此函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）
(4)或
【分析】（1）二次函数的自变量x的取值范围是任意实数；
（2）列表、描点、连线画出此函数的图像；
（3）结合图像可从函数的增减性及对称性等进行分析；
（4）再画出一次函数y＝﹣x+6的图像，利用数形结合进行解答即可．
（1）
解：二次函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：x取任意实数．
（2）
列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
描点、连线：
（3）
答案不唯一，如：①图像关于y轴对称；
②此函数有最小值0；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．
（4）
如上图，再画出一次函数y＝﹣x+6的图像，
可以看出两个图像的交点坐标为（﹣3，9）和（2，4），
∴不等式﹣x+6＜x2的解集为：x＜﹣3或x＞2．
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的图像和性质问题，利用描点法画二次函数的图像是解答此题的关键．
24．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
【答案】(1)b＝1，c＝﹣2
(2)b的值为﹣6或
(3)4
【分析】（1）抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），代入解析式即可求解；
（2）将c＝b+2代入抛物线解析式，可得对称轴为x＝b，分三种情况讨论①当b＜0时，②当0≤b≤2时，③当b＞2时，根据抛物线C的最小值是﹣4，列出方程组即可求解；
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，即抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，结合图象列出不等式组，解不等式组即可求解．
（1）
解：∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）
∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）
当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，数形结合是解题的关键．
25．如图，抛物线与一次函数相交于，两点，与x轴另一交点为B．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将A、C坐标代入求出m、n，再利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）先求出点B坐标，进而求得AB，再利用三角形的面积公式求解即可．
（1）解：把代入得：，解得：，把代入得：，解得：，∴，，把，代入得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：令，则，解得：，，∴，∴，∴．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求抛物线函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、一次函数图像上点的坐标特征、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答关键．
26．已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，一次函数y=kx+b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若m=3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
(2)k=-4
【分析】（1）由待定系数法求函数解析式；
（2）由m=3求出点C坐标，将点C坐标代入一次函数解析式求得y=kx-3k，联立抛物线与直线方程，根据Δ=0求解．
（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，∴，解得．∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵抛物线上的点C（m，n），∴n=-m2+2m+3，当m=3时，n=0，∴C（3，0），∴一次函数y=kx+b的图象l经过抛物线上的点C（m，n），∴3k+b=0，∴b=-3k，∴一次函数的解析式为y=kx-3k，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴方程kx-3k=-x2+2x+3有两个相等的实数根，∴（k-2）2+4（3k+3）=0，解得k=-4．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．
27．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．
【答案】(1)与x轴两交点间的距离为6
(2)
【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关系，求得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，根据x2﹣x1＝8，求得的值，即可求解．
（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，∴m（x2+4x﹣5）＝0，∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，∴x2+4x﹣5＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1，∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；
（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：∴2＝mx2+4mx﹣5m，∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，∵x2﹣x1＝8，∴（x1﹣x2）2＝64，∴36+＝64，∴m＝，∴．
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
28．定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
（1）解：，，，，雅礼弦长；
（2），，，，，，，当时，最小值为，当时，最大值小于，；
（3）由题意，令，，，则，同理，，，要不论为何值，恒成立，即：恒成立，由题意得：，，解得：， ，为正整数，且，则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
29．抛物线与直线交于A，B两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)A（，4）；B（3，9）
(2)
(3)或
【分析】(1)令x2=x+6,求出x的值，然后将x的值代入抛物线解析式求解．
(2)把x=0代入直线解析式求出点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC=求解．
(3)把变形得，由图像可知不等式的解集就是抛物线在直线上方时对应的x的取值范围．
(1)
令x2=x+6
解得x1= -2，x2=3
把x= -2代入y=x2中得y=4，
把x=3代入y=x2中得y=9
∴A(-2，4)，B(3，9)
(2)
把x=0代入y=x+6中得y=6
∴点C坐标为（0，6）
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=
=15
(3)
由得
∵点A横坐标为-2，点B横坐标为3，
由图像知x<-2，或x>3时抛物线在直线上方．
∴不等式的解集为x<-2或x>3．
∴不等式的解集为x<-2或x>3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法．
30．已知抛物线，a、b、c为实数．
(1)当且时
①若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；
②若中，恒有，求c的取值范围；
(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于；直线与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【分析】（1）把且代入得，根据①中对称轴求出c即可求解；根据②中，恒有，列不等式组求解即可．
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，联立抛物线与直线消去y得，，设直线与抛物线交于点、，由一元二次方程根与系数的关系，得，，；设直线MQ的解析式为，将，代入，求出m，n，将点N的横坐标代入即可求得N的纵坐标，问题得解．
(1)
解∶ 把且代入得，
①∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
②∵在中，恒有，
∴，
∴；
(2)
解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于，
∴设抛物线解析式为，将代入，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
如图，设直线与抛物线交于点、，
∴，整理得：，
∴，，
∴，
设直线MQ的解析式为，将，代入，
得：，解得：，
∴直线MQ为，
当时，
故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程及不等式的关系，一元二次方程根据与系数的关系，利用二次函数与一元二次方程的关系是解本题的关键．
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专题05：二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．下表中列出的是一个二次函致的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 4 6 4 …
A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6 D．当时，对应函数y的取值范围是
2．抛物线的顶点为D(-1,3)，与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点都在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），其部分图像如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．其中结论错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
5．若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
9．二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当时，都有y随x的增大而增大；③若当时，都有y随x的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
10．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（ ）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2 B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2 D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
二、填空题
11．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____．
12．若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．
13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点（－1，0），则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．
其中正确的是____________（填写序号）．
15．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．
16．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．
17．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 __．
18．抛物线上的点到x轴最短的距离是____．
19．把抛物线y=x2-2x-c（c>0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c=_______．
20．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
三、解答题
21．已知二次函数的过点(0，4)、(-1，-2)
(1)求该二次函数解析式．
(2)若该二次函数与直线y=a交于点A、B两点，AB=6，则a= ．
(3)当时，则y的取值范围是 ．
22．已知二次函数的解析式是．
(1)与轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)结合图象回答：当时，函数值的取值范围是______．
23．在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数的性质及其应用，请按要求完成下列各题．
(1)函数中自变量的取值范围是：_________．
(2)请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图像；
(3)根据函数图像，写出此函数的三条性质；
(4)写出不等式的解集．
24．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
25．如图，抛物线与一次函数相交于，两点，与x轴另一交点为B．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求的面积．
26．已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，一次函数y=kx+b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若m=3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值．
27．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．
28．定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
29．抛物线与直线交于A，B两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
30．已知抛物线，a、b、c为实数．
(1)当且时
①若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；
②若中，恒有，求c的取值范围；
(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于；直线与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．
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