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专题07：图形的旋转
一、单选题
1．如图，在ABC中，AB=6，将ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形中，，P是边的中点，将平行四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则旋转2022次后点P的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，点D正好落在BC上，．若，则等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
8．如图，在等边三角形ABC中，点P是内一点，，，，则的度数为（ ）
A．160° B．155° C．150° D．145°
9．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．如图，将面积为8的正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，E是的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在BC上，与CD交于点E．若，则旋转角的度数为 ___．
12．在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转90°后的点的坐标是______．
13．如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．
14．如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点D逆时针旋转60°得到，线段交边于点F，连接．若，，，则线段的长为_______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝16，D是边AB上的一个动点，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接DE，F为DE上一点，且DF＝EF，连接CF，那么CF的最小值为 _____．
16．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，，则为______度．
17．如图，在中，，，，绕点A（顺时针或逆时针）旋转得到，连接CE，过点A作于点F，连接BF，当时，______．
18．如图，边长为4的等边中，D为中点，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．
19．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
20．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝______．
三、解答题
21．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
(1)求证：BE平分∠AEC；
(2)取BC中点P，连接PH，求证：PHCG；
22．在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示：
(1)写出点A关于x轴对称的点的坐标为______，点B关于原点的对称点的坐标为______．
(2)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和、、对应，则点的坐标为______；
将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得，其中A、B、C分别和、、对应，则点的坐标为______；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为______；
(4)在y轴上找一点P，使得△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
23．如图，线段AB=6，射线AM⊥AB，点P为射线AM上一点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段CP，过点C作CD⊥AM于点D，PE平分∠BPC交BC于点E，点F是PE上一点，且BP平分∠ABF，连接CF交AB于点G．
(1)求证：△BPF≌△CPF；
(2)判断四边形ADCG的形状，说明理由；
(3)设AP=m，试判断△BFG的周长是否与m的取值有关？说明理由．
24．如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．
(1)如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE ∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(2)如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；
(3)若等腰△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．
25．如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△DEF，A与点D ，点B与点E，点C与点F是对应点．
(1)请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点P并写出其坐标；
(2)写出其旋转角α的度数；
(3)在△DEF的DF边上利用网格线画图找一点Q，连接EQ，使 =．
26．在△ABC中，∠ACB＝，∠ABC＝，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为，点A、B的对应点分别是D，E．
(1)如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角的度数是 ；
(2)如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由．
27．如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．
(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
(2)如图3，延长交直线于点P．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
28．已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．
(1)观察猜想：如图1所示，当点A、B、G三点在一条直线上时，连接BE、DG，则线段BE与DG的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)类比探究：如图2所示，将正方形AEFG在平面内绕点A逆时针旋转到图2时，则（1）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，将正方形AEFG在平面内绕点A任意旋转，若，，则BE的最大值为 ，最小值为 ．
29．如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
30．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容：
如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
(1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： ．
(2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则：
①∠DAE= 度；
②∠CDE= 度；
③线段EF的长是 ．
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专题07：图形的旋转
一、单选题
1．如图，在ABC中，AB=6，将ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道最终得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
过点作，垂足为点H，
∴，
∴，
又∵，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出，得到△为等腰直角三角形，点在y轴上，利用勾股定理求出O即可．
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴，，
∴，
∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，
∵，
∴=2，
∴（0，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=，故A正确，D错误；
∴PQ=BP=4，
∵，，
∴，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=×3×4=6，故C正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理．
4．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】求出 ， 为等边三角形，然后根据四边形的面积为 的面积和，等于，所以③错误，A、C、D项都含有③，排除．
故本题选择B项．
【详解】由题意知，，，
为等边三角形，,②正确，
又 ,，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形的旋转、等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，注意灵活运用旋转的性质．
5．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得出，，则是等边三角形，，得出，设，则，，求出，可求出答案．
【详解】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
，
与的面积之比为．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．如图，平行四边形中，，P是边的中点，将平行四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则旋转2022次后点P的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作轴于点D．由平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出P点坐标．再结合题意可知旋转2022次后点P的对应点坐标与图中的坐标相同，求出的坐标即可．
【详解】如图，过点A作轴于点D．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴P(3，)．
由图可知点P每8次一个循环，
∵2022÷8=252……6
∴旋转2022次后点P的对应点坐标与图中的坐标相同，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．理解旋转2022次后点P的对应点坐标与图中的坐标相同是解题关键．
7．如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，点D正好落在BC上，．若，则等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
【答案】B
【分析】设∠E=∠C=x°，则∠BAD=∠CAE=x°，∠ABD=∠ADB=x°+15°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】因为△ABC绕点A旋转得到△ADE，，，
所以AB=AD，∠E=∠C=x°，∠BAD=∠CAE=x°，∠ABD=∠ADB=x°+15°，
所以x+x+15+x+15=180,
解得x=50，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
8．如图，在等边三角形ABC中，点P是内一点，，，，则的度数为（ ）
A．160° B．155° C．150° D．145°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可证△PAE是等边三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解．
【详解】解：如图，将△ACP绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE，连接PE，
∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°，
∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，
∴△PAE是等边三角形，
∴PE=AE=3，∠AEP=60°，
∵=25，+=9+16=25，
∴=+，
∴∠PEB=90°，
∴∠AEB=150°=∠APC，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．
9．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】由角的数量关系可求∠AEB=67.5°=∠EAF，可得AB=BE，故①正确；计算出∠EBG=22.5°，得出∠EBG=∠FBG，故②正确；过点G作GM⊥BE于点M，由角平分线的性质可得GF=GM，根据直角三角形的斜边大于直角边得出GE＞GM=GF，从而根据三角形的面积公式得出结论，得到③错误；连接AG，根据等腰直角三角形的性质可知AG=，推导得出AG=EG=，从而EF=EG+FG=+1，再由BE=BF+AF，判断出④正确．
【详解】解：由旋转的性质可得：EF=FB，∠EFB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AB，
∴∠ABC=∠C=∠EFB=90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF=BF，
∴矩形EFBC是正方形，
∴∠BEF=∠EBF=45°，
∵∠DAE=∠AEF=22.5°，
∴∠AEB=∠FEB+∠AEF=67.5°=90°-22.5°=∠EAF，
∴AB=BE，故①正确；
∵∠EBF=45°，∠FBG=∠AEF=∠DAE=22.5°，
∴∠EBG=45°-22.5°=22.5°，
∴∠EBG=∠FBG，
∴BG平分∠EBF，故②正确；
过点G作GM⊥BE于点M，如图1，
∵BG平分∠EBF，
∴GF=GM，
在Rt△GME中，GE＞GM=GF，
∴S△BFG≠S△BFE，
∵S△BFE＝S四边形EFBC，
∴S△BFG≠S四边形的EFBC，故③错误；
连接AG，如图1，
∵∠AFG=90°，DE=AF=FG=1，
∴∠GAF=45°，AG=，
∴∠EAG=67.5°-45°=22.5°，
∴∠AEG=∠GAE，
∴EG=AG=，
∴EF=EG+FG=+1，
又∵EF=BF，AB=BE，
∴BE=BF+AF=+1+1=+2，故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，正方形的判定与性质及角平分线的性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．
10．如图，将面积为8的正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，E是的中点，O是对角线BD的中点，则在旋转过程中OE的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA，如图，根据正方形的性质得到AB=2，OA=2，再根据旋转的性质得到AB′=AB=2，则AE=，然后利用三角形三边的关系得到OE≤OA+AE（当且仅当E、A、O共线时取等号），从而得到OE的最大值．
【详解】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD是面积为8的正方形，
∴AB==2，
∵O是对角线BD的中点，
∴OA=2，
∵正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转得到正方形AB'C'D'，
∴AB′=AB=2，
∵E是AB'的中点，
∴AE=，
∵OE≤OA+AE（当且仅当E、A、O共线时取等号），
∴OE的最大值为OA+AE，即OE的最大值为2+．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
二、填空题
11．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在BC上，与CD交于点E．若，则旋转角的度数为 ___．
【答案】20°##20度
【分析】由旋转的性质可得，AB=A，是旋转角，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求∠B=80°，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵将 ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，
∴∠=∠C=100°，，∠BA是旋转角，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=80°，
∵AB=A，
∴∠B=∠AB=80°，
∴∠BA=20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转90°后的点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：如图所示：AB即为线段BC绕点B顺时针旋转90°后得到线段，
则AB＝BC，
过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于D，则∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
而∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBD＝∠BAD，
在△CBE与△BAD中，
，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴BD＝CE，AD＝BE，
∵C（﹣2，3），B（0，2），
∴CE＝2，OB＝2，OE＝3，
∴AD＝BE=3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4．
则点A的坐标为：（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标．
13．如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．
【答案】60
【分析】根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB=6，根据D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，得到△ACE≌△ABD，推出∠CAE=∠BAD，推出∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
【详解】∵等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB=6，且D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，旋转，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的边角性质，旋转图形全等性．
14．如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点D逆时针旋转60°得到，线段交边于点F，连接．若，，，则线段的长为_______．
【答案】
【分析】连接AE，过E作EG⊥AB于G，由旋转的性质得出DE=DA，∠ADE=60°，证出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AE=AD，证出∠GBE=45°，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】解：连接AE，过E作EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠BAD=∠C，
∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，
∴DE=DA，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，
∴AE=BC，
∵∠C+∠BEF=165°，
∴∠DAB+∠BEF=165°，
∴∠ABE=360°-（∠ADE+∠BEF+∠DAB）=135°，
∴∠GBE=45°，
∴BG=GE=BE=，
∴AG=AB+BG=4+=5，
∴BC=AE=．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝16，D是边AB上的一个动点，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接DE，F为DE上一点，且DF＝EF，连接CF，那么CF的最小值为 _____．
【答案】12
【分析】以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，过D作DK⊥BC于K，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出AC＝8，，结合题意得出F（8－x，x），利用勾股定理得出CF的长度，即可确定最值．
【详解】解：以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，过D作DK⊥BC于K，如图：
∵Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝16，
∴AC＝AB＝8，，
∵线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，即∠DBE＝60°，BD＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
设DK＝x（0≤x≤8），则BD＝2x＝BE，BK＝x，
∴CK＝BC－BK＝8－x，E（8，2x），
∴D（8－x，x），
∵DF＝EF，
∴F是DE的中点，
∴F（8－x，x），
∴，
∴当x＝4时，CF取最小值，最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是建立直角坐标系，用含x的代数式表示F的坐标．
16．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，，则为______度．
【答案】71
【分析】根据旋转的性质可得，然后判断出△是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得= 45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．
【详解】解：Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，
AC = A'C，
△是等腰直角三角形，
= 45°，
，
由旋转的性质得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
17．如图，在中，，，，绕点A（顺时针或逆时针）旋转得到，连接CE，过点A作于点F，连接BF，当时，______．
【答案】2或4
【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，
∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=2，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=4，
∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，
∴∠EAC=120°，AE=AC，
∴∠ACE=30°，
∴∠BCE=90°，
又∵AF⊥CE，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BF=4，
如图，当△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，延长AF，CB交于点H，
∵△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，
∴∠EAC=120°，AE=AC，
∴∠ACF=30°，
∵AF⊥CE，AC=AE，
∴∠CAF=60°=∠ACB，
∴△ACB是等边三角形，
∴AC=AH=4，
∵∠ACF=∠BCF=30°，
又∴AF=FH，
∵∠ABH=90°，
∴BF=AH=2，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
18．如图，边长为4的等边中，D为中点，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．
【答案】1
【分析】连接MD，根据等边三角形的性质和旋转的性质可得：∠HBN＝∠DBM，HB＝BD，MB＝NB，然后利用SAS即可证明△MBD≌△NBH，进而可得HN＝MD，然后根据垂线段最短可得MD⊥CH时，MD最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【详解】解：如图，连接MD，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠DBM．
∵CH是等边△ABC的高所在的直线，
∴，
∴HB＝BD．
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
∴△MBD≌△NBH(SAS)，
∴MD＝NH，
根据垂线段最短可知：当MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，，
∴，
∴HN＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短和30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构建全等三角形、把求HN最短问题转化为求MD最短是解题的关键．
19．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．根据、都是等边三角形，可得，最后根据当、、、四点共线时，由，可得垂直平分，进而求得的最小值．
【详解】解：如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．
，
由旋转可得，，
，，，，
、都是等边三角形，
，
，
当时，，
当、、、四点共线时，
由，可得垂直平分，
，，
此时．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
20．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝______．
【答案】30或60或150
【分析】分EB=BC或EB=BC或EB=EC，三种情形，分别画出图形，利用正方形、等边三角形和等腰三角形的性质，以及旋转的性质解答，即可得出答案．
【详解】解：如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=150°，
即α=150；
如图，当EB=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得：AE=AD=AB=BC=EB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAE=30°，
即α=30；
如图，当EB=EC时，连接DE，
∴E在线段BC的垂直平分线上，
∴ED=AE，
由旋转的性质得AE=AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
即α=60，
当CE=BC=AD时，此种情况不存在，
综上，α的值为：30或60或150．
故答案为：30或60或150．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会运用分类的思想．
三、解答题
21．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
(1)求证：BE平分∠AEC；
(2)取BC中点P，连接PH，求证：PHCG；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质知BC＝CE，再由等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB，根据矩形的性质得∠AEB＝∠CBE，再等量转化可得结论；
（2）过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得出AB＝BQ，由全等三角形的判定得△BHQ≌△GHC（AAS）即可得到结论．
（1）
∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB＝CE，
∴∠EBC＝∠BEC，
又∵ADBC，
∴∠EBC＝∠BEA，
∴∠BEA＝∠BEC，
∴BE平分∠AEC；
（2）
如图1，过点B作CE的垂线BQ，
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，
∴AB＝BQ，
∴CG＝BQ，
∵∠BQH＝∠GCH＝90°，BQ＝AB＝CG，∠BHQ＝∠GHC，
∴△BHQ≌△GHC（AAS），
∴BH＝GH，
即点H是BG中点，
又∵点P是BC中点，
∴PHCG；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转以及全等，合理的画出辅助线是解决本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示：
(1)写出点A关于x轴对称的点的坐标为______，点B关于原点的对称点的坐标为______．
(2)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和、、对应，则点的坐标为______；
将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得，其中A、B、C分别和、、对应，则点的坐标为______；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为______；
(4)在y轴上找一点P，使得△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)（-2，-1）；（3，2）
(2)（2，4）；（2，1）
(3)（-1，0）
(4)P（0，1）或（0，-5）
【分析】（1）根据轴对称和中心对称的性质即可求解．
（2）将点A按照△ABC的平移方式进行平移，求出平移后的坐标即可；画出旋转后的三角形，即可求出坐标；
（3）BC的中垂线与x轴的交点即为所求；
（4）设P（0，m），根据与的面积相等，列出方程即可求解．
（1）
解：∵，
∴点A关于x轴对称的点的坐标为；
∵，
∴点B关于原点的对称点的坐标为；
（2）
解：将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，
则点的横坐标为，纵坐标为，
即；
将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得，如图：
则；
（3）
解：如图，点P即为所求，坐标为；
（4）
解：设P（0，m），
∵与的面积相等，
∴，
解得m=1或-5，
∴P（0，1）或（0，-5）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的平移、旋转、轴对称、中心对称，掌握其变化性质是解题的关键．
23．如图，线段AB=6，射线AM⊥AB，点P为射线AM上一点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段CP，过点C作CD⊥AM于点D，PE平分∠BPC交BC于点E，点F是PE上一点，且BP平分∠ABF，连接CF交AB于点G．
(1)求证：△BPF≌△CPF；
(2)判断四边形ADCG的形状，说明理由；
(3)设AP=m，试判断△BFG的周长是否与m的取值有关？说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，理由见解析
(3)无关，m=12
【分析】（1）由旋转得PB=PC，∠BPC=90°，而∠BPF=∠CPF，PF=PF，即可证明△BPF≌△CPF；
（2）由∠ABP+∠APB=90°，∠DPC+∠APB=90°得∠ABP=∠DPC，因为∠FBP=∠FCP，且∠FBP=∠ABP，所以∠FCP=∠DPC，则CGAD，由AG⊥AM，CD⊥AM得CDAG，所以四边形ADCG是平行四边形，因为∠A=90°，所以四边形ADCG是矩形；
（3）先证明△ABP≌△DPC，得AB=DP=6，PA=CD=AG，即可证明BF+FG+BG=AD+BG=DP+PA+BG=DP+AB=6+6=12，可证明△BFG的周长与m的取值无关．
（1）
证明：如图，由旋转得PB=PC，∠BPC=90°，
∵PE平分∠BPC，
∴∠BPF=∠CPF，
∵PF=PF，
∴△BPF≌△CPF（SAS）．
（2）
解：四边形ADCG是矩形，
理由：如图，∵AM⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵∠DPC+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∵∠FBP=∠FCP，且∠FBP=∠ABP，
∴∠FCP=∠DPC，
∴CGAD，
∵AG⊥AM，CD⊥AM，
∴CDAG，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∴四边形ADCG是矩形．
（3）
△BFG的周长与m的取值无关，
理由：如图，∵∠A=∠PDC=90°，∠ABP=∠DPC，BP=PC，
∴△ABP≌△DPC（AAS），
∴AB=DP=6，PA=CD，
∵CD=AG，
∴PA=AG，
∵BF=CF，且CG=AD，
∴BF+FG=CF+FG=CG=AD，
∴BF+FG+BG=AD+BG=DP+PA+BG，
∵PA+BG=AG+BG=AB，
∴BF+FG+BG=DP+AB=6+6=12，
∴△BFG的周长等于12，
∴△BFG的周长与m的取值无关．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、旋转的性质、矩形的判定与性质等知识与方法，证明△BPF≌△CPF及△ABP≌△DPC是解题的关键．
24．如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．
(1)如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE ∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(2)如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；
(3)若等腰△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．
【答案】(1)=，=
(2)见解析
(3)15°或75°
【分析】（1）由三角形的内角和和等腰三角形的性质可求∠CBE=∠CEB=22.5°=∠BFA，可求解；
（2）过F作FHAB交直线BE于H，由“AAS”可证△AGB≌△FGH，可得AG=GF；
（3）分两种情况讨论，利用四边形的内角和定理可求旋转后的∠BCE的度数，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AB=BC=CE=FE，∠ECF=∠EFC=45°，∠ABC=90°，
∵AB=CE=EF=BC，
∴∠CBE=∠CEB=22.5°，
∴∠ABE=67.5°，∠FEM=∠EBF+∠BFE=67.5°，
∴∠ABE=∠FEM，
连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AC=AB，CF=CE，∠ACB=45°，
∴AC=CF，
∴∠CAF=∠AFC=22.5°，
∴∠BAG=∠ABG=67.5°，∠AFC=∠GBF=22.5°，
∴AG=BG=GF，
故答案为：=，=；
（2）
证明：过F作FHAB交直线BE于H，
∴∠ABG=∠FHE，
∵AB=BC，AB=CE，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，∠FEM+∠CEB=180°-90°=90°，
∴∠ABG=∠FEH，
∵∠ABG=∠FHE，
∴∠FHE=∠FEH，
∴EF=FH，
∴FH=AB，
又∠AGB=∠FGH，
∴△AGB≌△FGH（AAS），
∴AG=GF；
（3）
解：如图3，当直线EF与直线AB的交于点A上方，
∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE=360°，
∴∠BCE=150°，
∴α=150°-135°=15°；
如图4，当直线EF与直线AB交于点A下方，
∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE=360°，
∴∠BCE=150°，
∴∠DCE=360°-150°-90°=120°，
∴α=120°-45°=75°；
综上所述：α的值为15°或75°．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四边形的内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25．如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△DEF，A与点D ，点B与点E，点C与点F是对应点．
(1)请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点P并写出其坐标；
(2)写出其旋转角α的度数；
(3)在△DEF的DF边上利用网格线画图找一点Q，连接EQ，使 =．
【答案】(1)见解析，旋转中心点P的坐标为（-1，2）；
(2)α=90°；
(3)见解析
【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点P，即为旋转中心；
（2）根据旋转角的定义判断即可；
（3）由旋转的性质知，取格点W，连接EW交DF于点Q，利用平行四边形的性质得到点Q是DF的中点，则点Q即为所求．
（1）
解：如图，旋转中心为点P，点P的坐标为（-1，2）；
；
（2）
解：旋转角为∠APD=90°，即α=90°；
（3）
解：如图，点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
26．在△ABC中，∠ACB＝，∠ABC＝，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为，点A、B的对应点分别是D，E．
(1)如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角的度数是 ；
(2)如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)垂直，理由见解析
【分析】（1）由题意结合旋转的性质可证明为等边三角形，即得出旋转角的度数是．
（2）由旋转可知CB=CE，结合等腰对等角即得出，从而可求出，结合三角形内角和定理即可求出，即直线CE与AB的位置关系为垂直．
（1）
∵∠ACB＝，∠ABC＝，
∴∠BAC＝．
由旋转的性质可知AC=CD，
∴为等边三角形，
∴，即旋转角的度数是．
故答案为：；
（2）
垂直，理由如下：
如图，延长EC交AB于点F．
由旋转可知CB=CE，
∵，
∴．
∴，即，
∴，即，
∴直线CE与AB的位置关系为垂直．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
27．如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．
(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
(2)如图3，延长交直线于点P．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．理由见解析
(2)①见解析；②存在，的最大值为
【解析】（1）
如图2中，结论：．
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴（SAS）．
（2）
①证明：如图3中，设交于O．
∵，
∴，
∵，
∴在与中
，
∴．
②存在
∵，是定值，
∴当最小时，的值最大，
∴当时，的值最小，此时的值最大，此时点F与P重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
28．已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．
(1)观察猜想：如图1所示，当点A、B、G三点在一条直线上时，连接BE、DG，则线段BE与DG的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)类比探究：如图2所示，将正方形AEFG在平面内绕点A逆时针旋转到图2时，则（1）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，将正方形AEFG在平面内绕点A任意旋转，若，，则BE的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】(1)BE=DG，BE⊥DG；
(2)结论仍然成立，理由见解析过程；
(3)7，3
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△DAG，可得BE=DG，∠ABE=∠ADG，由余角的性质可证BE⊥DG；
（2）由“SAS”可证△ABE≌△DAG，可得BE=DG，∠ABE=∠ADG，由余角的性质可证BE⊥DG；
（3）当点E在线段AB上时，BE有最小值=AB-AE，当点E在线段BA的延长线上时，BE有最大值=AB+AE．
（1）
解：如图1，延长BE交DG于H，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG，∠ABE=∠ADG，
∵∠ADG+∠DGA=90°，
∴∠ABE+∠DGA=90°，
∴∠GHB=90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE=DG，BE⊥DG；
（2）
解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：设BE交AD于O，DG于N，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；∠ABE=∠ADG，
∵∠ABE+∠AOB=90°，
∴∠ADG+∠AOB=∠ADG+∠DON=90°，
∴∠DNO=90°，
∴BE⊥DG；
（3）
∵将正方形AEFG在平面内绕点A任意旋转，
∴当点E在线段AB上时，BE有最小值=AB-AE=5-2=3，
当点E在线段BA的延长线上时，BE有最大值=AB+AE=5+2=7，
故答案为：7，3．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
29．如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)45°，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可；
（2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证；
（3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解．
（1）
证明：如图，
∵平行四边形ABCD中，ADBC，
∴AFBE，
∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴ABEF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
（2）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，ADBC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（3）
当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形．
理由如下：
由（2）知：AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴DF＝BE，DFBE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
如图：
∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，
∴AO＝AB，
∵AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°
∵AC绕点O顺时针旋转45度，
∴∠AOF＝45°，
∴∠BOF＝90°，
∴EF⊥BD．
∴四边形BEDF是菱形．
【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键．
30．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容：
如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
(1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： ．
(2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则：
①∠DAE= 度；
②∠CDE= 度；
③线段EF的长是 ．
【答案】(1)画图见解析，；
(2)，理由见解析；
(3)①80，②40，③6．
【分析】（1）根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）由旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）①利用轴对称的性质求出∠DAF，然后根据旋转的性质得出答案；
②根据旋转的性质和等腰三角形的性质求出∠ADB和∠ADE，进而可得∠CDE的度数；
③利用旋转的性质和轴对称的性质求出DE和DF即可解决问题．
（1）
解：如图，△ABD即为所求，CE＝DB，CE⊥DB，
证明：设CE、AC分别与BD交于点F、G，
∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，
∴△ADB≌△ACE，
∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠ACE＝∠ADB，
在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠CAD＝90°，
∴CE⊥DB，
故答案为：CE＝DB，CE⊥DB；
（2）
CE＝DB，CE⊥DB；
理由：∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，
∴△ADB≌△ACE，
∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠C＝∠D，
在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠CAD＝90°，
∴CE⊥DB，
故答案为：CE＝DB，CE⊥DB；
（3）
①∵△ADF与△ADB关于AD对称，
∴∠DAF＝∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝80°，
由旋转的性质可知，∠DAE＝∠BAC＝80°，
故答案为：80；
②由旋转的性质可知，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∵∠BAD＝40°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180° 40°）＝70°，
∴∠ADE＝70°，
∴∠CDE＝180° ∠ADE ∠ADB＝40°，
故答案为：40；
③由旋转的性质可知，BC＝DE＝9，
∵△ADF与△ADB关于AD对称，
∵BD＝DF＝3，
∴EF＝DE DF＝9 3＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题．
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