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专题08：中心对称
一、单选题
1．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义逐一判断可得答案
【详解】A项：赵爽弦图是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
B项：笛卡尔心形线是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
C项：科克曲线是既是中心对称图形又是轴对称图形，不合题意；
D项：斐波那契螺旋线既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不合题意．
故本题选择A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得．
【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键．
3．襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形
【答案】D
【分析】按如图所示的方法折叠后，剪去一个角后，由于是斜剪的，展开后一定不是直角，即是一个非正方形的菱形，据此判断即可．
【详解】解：将图④展开铺平后的图形大致如下：
故图④展开铺平后的图形是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．
5．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
7．下列几何图形是中心对称图形的是（ ）
A．角 B．线段 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分完全重合是解题的关键．
9．下列说法错误的是（ ）．
A．“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题 B．中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
C．用若干正六边形能镶嵌整个平面 D．解分式方程时，产生增根，则
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理可以判断A，根据中心对称的性质可以判断B，根据正多边形镶嵌的条件可以判断C，根据分式方程产生增根的情况计算即可判断D．
【详解】解：A选项，平行四边形的一个判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，正确，符合题意；
B选项，中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，正确，符合题意；
C选项，正六边形的每个内角都是，，可以镶嵌整个平面，正确，符合题意；
D选项，原分式方程化为，因为分式方程有增根，故可将代入得，错误，不符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了真命题和假命题的判断、平行四边形的判定定理、中心对称的性质、平面镶嵌、分式方程，正确掌握相关性质是解题的关键．
10．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法、正方形的判定方法、菱形的判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．
【详解】解：①一组对边平行且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如对角线垂直的等腰梯形），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；
所以正确的命题个数为2个，
故选B．
【点睛】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，轴对称与中心对称，以及真假命题的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是要熟练掌握平行四边形及特殊平行四行四边形的判定方法．
二、填空题
11．若点A(4，n)与点B(－m，6)关于原点对称，则m＋n＝________．
【答案】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2．
【答案】16
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形，
∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE，
∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…如此作下去，则的顶点的坐标是______．
【答案】
【分析】观察题图知，A的下标为偶数时，该点位于 x轴下方，当B的下标为偶数时，即为第几个三角形的右顶点，由此即可解答．
【详解】由题知：A的下标为偶数时，该点位于 x轴下方，
当B的下标为偶数时，即为第几个三角形的右顶点，
是偶数，
故位于 x轴下方，
该点是第2022个三角形的下顶点，
∴横坐标为．
纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称的性质，坐标与图形的性质，等边三角形的性质，据题找到点的坐标规律是关键．
14．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为_____．
【答案】（1，﹣2）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
15．若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．
【答案】2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．
16．如图，在矩形中，，，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，则的长为______．
【答案】
【分析】根据矩形是中心对称图形，由点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．则，根据题意作出图形，设，，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】矩形是中心对称图形，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O，
，
如图，连接，则四边形是平行四边形，
若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，
过矩形的对称中心O，
，
又四边形是平行四边形，
则，
，
设，，，
，
即，
解得．
∴BP=1.2．
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．
17．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（-1，3），则点C的坐标为____________．
【答案】（1，-3）
【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（1，﹣3）
【详解】解：∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，
∴点A与点C关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣1，3），
∴点C的坐标是（1，﹣3）.
故答案为：（1，﹣3）.
【点睛】此题考查了平行四边形在平面直角坐标系中的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握平行四边形是中心对称图形的性质．
18．如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
【答案】10
【分析】由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到,把已知和的面积分别为3和13代入计算即可得到答案．
【详解】解:由平行四边形和三角形的面积公式易得，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∴，
∴,
故答案为10．
【点睛】本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．
19．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
【答案】
【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E+EB=B≥BD，
Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，
∴线段的最小值是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．
【答案】；
【分析】连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO=CO，∠BOC=90°，
∵FO⊥AO，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，
∴∠AOC=∠FBO，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO，
在△AOC和△FOB中，
，
∴△AOC≌△FOB（ASA），
∴AO=FO，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°=14×=．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
【答案】(1)见解析，（-3，-1）
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接，三线的交点就是所求，利用中点坐标公式计算即可．
（2）根据旋转的性质，旋转方向，画图即可．
（3）根据中心对称的性质，确定点的坐标，依次连接即可．
（1）
连接，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下：
根据题意，得A（-3，2），，
故点E的坐标为（-3，）即（-3，-1）．
（2）
根据旋转的性质，画图如下：
（3）
根据题意，得，，，根据中心对称的性质，得到，，，描点后，画图如下：
【点睛】本题考查了旋转的作图，中心对称作图，计算点的坐标，熟练掌握作图的要领，准确计算点的坐标是解题的关键．
22．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
【答案】见解析
【分析】连接AP，并延长到点C，使得AP=PC；同理连接BP，并延长到点D，使得BP=PD；则四边形ABCD即为所求．
【详解】如图，
1. 连接AP，并延长到点C，使得AP=PC；
2. 连接BP，并延长到点D，使得BP=PD，
连接BC、CD、DA，
则四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和中心对称图形的基本作图，熟练掌握性质，灵活作图是解题的关键．
23．如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△，画出△；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△.
(3)作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△的内部（不含落在△的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5.5＜x＜8
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、，则可得到△；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点即可得到△；
（3）先利用关于x轴的对称点的坐标特征写出P点坐标，再描点得到P点，然后观察图形可判断x的取值范围．
（1）
解：如图，△为所作；
（2）
解：如图，△为所作；
（3）
解：如图，点P为所作；
x的取值范围为5.5＜x＜8．
故答案为：5.5＜x＜8．
【点睛】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24．如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）；
(2)
(3)t=或；
(4)满足条件的t的值为或．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（1）
解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）
当时，重合，此时不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
∴；
（3）
当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
解得，或，
∴t=或；
（4）
当点P在AB上时，如图甲所示，
∴×2（4-2t）×6=×t×4，
解得，．
当点P在BC上时，如图乙所示，
×2（2t-4）×4=×t×4，解得，，
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．
(1)在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．
（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得∠BAE=∠BCE= 90°，即∠BAE+∠BCE=180°，可得对角互补．
（1）
如图1，四边形ABCD即为所求；
（2）
如图2，四边形ABCE即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，多边形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出；
(2)画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)（－2，－4）
【分析】（1）先根据平移的性质得到的坐标，然后描出，最后顺次连接即可得到答案；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标特征得到，然后描出，最后顺次连接即可得到答案．
（1）
解：如图所示，即为所求；
∵将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，，，，
∴
（2）
解：如图所示，即为所求；
∵关于原点O的对称图形是，，
∴．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，画与原点对称的图形，熟知相关知识是解题的关键．
27．如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
解：如图，线段即为所求；
（3）
解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
(1)请画出关于原点O对称的图形，点A、B、C的对应点分别为；
(2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别为，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据中心对称的性质，即可得出点A、B、C的对应点分别为,顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，即可得出点A、B、C的对应点分别为，从而画出三角形．
（1）
解：如图所示，即为所求；
（2）
解：如（1）图所示，即为所求，点的坐标为（4，1）．
【点睛】本题主要考查了作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
29．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．
(1)在图①中画出关于直线l对称的图形．
(2)在图②中画出关于点O成中心对称的图形．
(3)在图③中，过点C画的垂线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质得出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质得出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可；
（3）通过构造全等三角形作图即可．
（1）
解：如图，即为所求．
（2）
如图，即为所求．
（3）
如图，CD即为所求．
证明：点E、F位置如下图，AB与DE交于点G，AB与DC交于点K，AF与DE交于点H，
由题意可知，DE＝AF＝4，∠DEC＝∠AFB＝90°，EC＝FB＝1，
∴△DEC≌△AFB（SAS），
∴∠EDC＝∠BAF，
∵∠DGK＝∠AGH，∠AHG＝90°，
∴∠DKG＝∠AHG＝90°，
∴CD⊥AB．
【点睛】本题考查作图—轴对称、中心对称、全等三角形判定和性质的应用，熟练掌握轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
(1)画出沿着y轴向下平移4个单位，所得的，并写出点的坐标；
(2)画出关于点O成中心对称的；
(3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
【答案】(1)画图见解析；（3，0）
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用割补法求出矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
（1）
解：如图，△A1B1C1即为所求，
C1点的坐标为（3，0）；
（2）
如图，△A2B2C2即为所求；
（3）
四边形BCB2C2的面积=8×8-2××1×2-2××6×7=20．
【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
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专题08：中心对称
一、单选题
1．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
3．襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形
5．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A． B． C． D．
7．下列几何图形是中心对称图形的是（ ）
A．角 B．线段 C．等腰三角形 D．直角三角形
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
9．下列说法错误的是（ ）．
A．“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题 B．中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
C．用若干正六边形能镶嵌整个平面 D．解分式方程时，产生增根，则
10．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若点A(4，n)与点B(－m，6)关于原点对称，则m＋n＝________．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…如此作下去，则的顶点的坐标是______．
14．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为_____．
15．若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．
16．如图，在矩形中，，，点E，F分别为，上的点，，且过矩形的对称中心O．若点P，Q分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，则的长为______．
17．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（-1，3），则点C的坐标为____________．
18．如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
19．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
22．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
23．如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△，画出△；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△.
(3)作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△的内部（不含落在△的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
24．如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
25．我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．
(1)在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．
26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出；
(2)画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标．
27．如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
28．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
(1)请画出关于原点O对称的图形，点A、B、C的对应点分别为；
(2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别为，并写出点的坐标．
29．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．
(1)在图①中画出关于直线l对称的图形．
(2)在图②中画出关于点O成中心对称的图形．
(3)在图③中，过点C画的垂线．
30．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
(1)画出沿着y轴向下平移4个单位，所得的，并写出点的坐标；
(2)画出关于点O成中心对称的；
(3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
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