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专题09：圆的有关性质
一、单选题
1．如图，已知H是以AB为直径的半圆上的一点，C，E分别是，的中点，分别以BH，AH为直径向外作半圆弧，，D为的中点，延长DH交于点F，连结EC，若HD：FH=1：2，则EC：FD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，设HD=x，FH=2x，证得O、C、D三点共线，O、E、F三点共线，根据∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，求出GH=FH=x，MH=HD=x，得到AH，BH，求出AB得到OE，进而求出CE，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OC、OC、BH、OF、OE、AH，AH交OE于G，OC交BH于M，
设HD=x，FH=2x，
∵C是的中点，D为的中点，
∴CD⊥BH，
∵C是的中点，
∴OC⊥BH，
∴O、C、D三点共线，
同理：O、E、F三点共线，
∵∠HMD=∠FGH=，MH=MD，GF=GH，
∴GH=FH=x，MH=HD=x，
∴AH=2GH=2x，BH=2MH=x，
∴AB=x，
∴OE=OC=x，
∴CE=OE=x，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确理解垂径定理是解题的关键．
2．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点，分别作与，于，则四边形是矩形，证明，可得，根据垂径定理可得，根据即可求解．
【详解】连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
则，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．下列语句中：
①两点确定一条直线；
②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧；
③两点之间直线最短；
④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，分别进行分析，即可得出结论．
【详解】解：①根据直线公理：过两点有且只有一条直线，故该项正确；
②根据圆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故该项正确；
③根据线段公理：两点之间，线段最短，故该项错误；
④根据多边形的定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，故三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，故该项正确．
综上可得：①、②、④正确．
故选：C
【点睛】本题考查了直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的公理和定义．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则∠BCD的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°即可解答．
【详解】解：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD＝100°，
∴∠A＝∠BOD＝50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝130°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，根据圆周角定理求得∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°是解答本题的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=40°．
【详解】解：∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于，弦BD，若，则的大小为（ ）
A．62° B．56° C．52° D．50°
【答案】B
【分析】由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为的内接四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，P为优弧ABC上一点，则∠APC＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【分析】连接OC，设DC与OA的交点为E，则OE=，求得∠OCE=30°，∠AOC=60°，根据圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接OC，设DC与OA的交点为E，
根据题意，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，
得OE=，
∴∠OCE=30°，∠AOC=60°，
∴∠APC＝=30°，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．
8．如图，中，，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【分析】由三角形内角和定理求出∠C＝110°，由圆内接四边形的性质求出∠D＝70°，则可求出答案．
【详解】解：如图，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠1+∠2＝70°，
∴∠C＝110°，
∵四边形ACBD内接于圆，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝70°，
∴∠O＝2∠D＝140°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了圆内接四边形的性质及三角形内角和定理．
9．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=70°，若P为一点，∠AOP=75°，则∠POB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=140°，然后根据角的和差求解即可．
【详解】解：∵所对的圆周角∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×70°=140°，
∵∠AOP=75°，
∴∠POB=∠AOB-∠AOP=140°-75°=65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径 B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】根据圆的相关知识进行逐一判断即可．
【详解】解：A.过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误；
B. 面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；
C. 同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；
D. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的基本知识，熟知圆的相关知识是解题的关键．
11．如图，两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD等于弧CB，，则∠CEB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到∠A=∠C=50°，由三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵弧AD=弧CB，
∴∠A=∠C=50°
∴∠CEB=∠A+∠C=100°．
故答案为D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角等知识点，掌握等弧所对的圆周角相等是解答本题的关键．
12．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=3，AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度．
【详解】解：连接CM，
∵抛物线的解析式为，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OD=3，
令y=0，则，解得：或，
∴A（-1，0），B（3，0）.
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0），
∴MC=2，OM=1，
在Rt△COM中，
∴，
即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长．
故选：D
【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键．
13．如图，已知：是的直径，的半径为1，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角是90°，结合勾股定理解出AD的长，再利用圆周角定理，得到，最后由正弦定义解答．
【详解】解：连接AD，
是的直径，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是90°、正弦定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．如图，已知AB为⊙O的弦，，垂足为C，若，，则弦心距OC的长为（ ）．
A．12 B．10 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据圆的性质（垂径定理）得出半弦，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：∵AB为⊙O的弦，，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查圆内求半径的问题以及圆的性质定理的理解与掌握能力，涉及弦长、半径等的计算问题．合理利用半弦长、半径、弦心距之间的关系（构成直角三角形，满足半弦长的平方+弦心距的平方=半径的平方）是解本题的关键．
15．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝( )
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
【答案】D
【分析】在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠ADC+∠B＝180°，由MNBC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四点共圆，可得∠MND+∠MAD＝180°再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND．
【详解】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF
∴∠NFD＝∠NDF，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵MNBC，
∴∠AMN＝∠B，
∴∠AMN+∠ADN＝180°，
∴A，D，N，M四点共圆，
∴∠MND+∠MAD＝180°，
∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，
∴∠DFN＝∠DAE，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，
∵∠MND+∠MAD＝180°，
∴∠MAF+∠DAF+∠MND＝180°
∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND
＝180°﹣∠DEN﹣∠MND
＝∠EDN＝∠ADE
＝∠AFM，
∴MA＝MF，
∴MN＝MF+NF＝MA+ND．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解．
二、填空题
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
【答案】
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴
∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
17．如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________．
【答案】
【分析】连接BE，首先证明GF＝GE＝GD，求出GE，然后根据OB＝OE＝OC＝BC可得点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，求出∠BEC＝90°，进而可求BE、CE、CG的长，再利用面积法求出点F到直线AC的距离，进而可求的面积．
【详解】解：连接BE，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∵点O是BC边的中点，
∴BO＝CO＝BC＝2，
∵把绕边的中点O旋转后得，直角顶点E恰好落在边上，
∴BO＝EO＝2，∠DFE＝∠ACB，∠CBA＝∠FED，AC＝DF，
∴CO＝EO，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠DFE＝∠OEC，
∴GF＝GE，
∵∠D＋∠DFE＝∠DEG＋∠GEF＝90°，
∴∠D＝∠DEG，
∴GE＝GD，
∴GE＝DF＝AC＝，
∵OB＝OE＝OC＝BC，
∴点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，
∴∠BEC＝90°，
∴BE＝，
∴CE＝，
∴CG＝CE GE＝，
∵GF＝GE＝GD，
∴S△GFE＝S△GDE＝S△DEF＝，
设点F到直线AC的距离为h，则，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及圆周角定理等知识，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．如图，已知、在以为直径的上，若，则的度数是_________．
【答案】##60度
【分析】由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，又由，即可求得的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
【详解】为的直径，
，
，
，
．
故答案为：60°．
【点睛】此题考查了圆周角定理及推论，直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角等于直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余．
19．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
【答案】8
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝______．
【答案】##45度
【分析】根据方格特点可知，利用同一个圆中同弧或等弧所对的圆周角相等可知，，进而得出．
【详解】解：如图，
连接AD，BC，设CD与AB交于点E，
由网格特点知，．
∵AB＝CD，
∴．
根据同弧所对的圆周角相等，可知．
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”是解题的关键．
21．已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于_____．
【答案】45°或135°
【分析】直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得△ABC为等腰直角三角形
即可解得．
【详解】解：如图
连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得
∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
【点睛】此题考查了求圆周角，解题的关键是构造直角三角形．
22．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C是弦AB上一动点，OC长为整数，则OC的长为______．
【答案】1或2
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH=AB=，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，再求出OC的取值范围，最后可得答案．
【详解】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH=AB=×=，
在Rt△BOH中，OB=2，BH=，
∴OH=，
∵点C是弦AB上一动点，
∴
∵OC长为整数，
∴OC=1或2，
故答案为：1或2
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
23．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm．
【答案】15
【分析】过作于，交于，连接，设半径为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于，交于，连接，
，
，
设半径为，则，，，
根据勾股定理得，，
解得：或3（舍，
答：这个球的半径为．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
24．如图，已知是的直径，且，弦于点，，则______．
【答案】##2厘米
【分析】连接，在中利用根据勾股定理求解．
【详解】解：连接．
弦直径于点，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
25．如图，四边形内接于，点M在的延长线上，，则______．
【答案】70°##70度
【分析】根据圆周角定理得到∠B＝70°，再根据圆内接四边形性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
26．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．
【答案】
【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，证明△ABC≌△ADE，从而得到四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，然后证明出△ACE是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC的长度．
【详解】
如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∴∠CAD+∠DAE＝90°
又∵∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．
27．如图，ABCD是的内接四边形，，点E在AD的延长线上，，则________．
【答案】52°##52度
【分析】根据圆内接四边形的性质先求∠ABC的度数，从而得到∠AOC的度数，再根据AD=DC即可求出答案．
【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE=52°，
∴∠AOC=2×52°=104°，
∵AD=CD，
∴∠AOD=∠COD=104°÷2=52°．
故答案为：52°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
28．如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______．
【答案】
【分析】根据勾股定理计算出斜边的长度即可得到的值．
【详解】解：∵长度1和3为直角边的长作直角三角形的斜边长为，
∴圆O的半径为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆和直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据直角边的长度求出斜边的长度．
29．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
【答案】##
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，
过圆心O，，
设的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
三、解答题
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．
【答案】
【分析】】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB=90°，CH=DH=CD=2，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得出AC=2CH=4，AC=BC=4，AB=2BC，即可求出AB的长，进而可求解OA．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB=90°，CH=DH=CD=2，∠AHC=90°，
∵∠A=30°，
∴AC=2CH=4，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AC=BC=4，AB=2BC，
∴BC=，AB=，
∴OA=，
即⊙O的半径长是．
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
31．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
关于圆的引理
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
……
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题目要求利用尺规作图即可；
（2）根据全等三角形的性质及判定，得出，，进而得出，然后根据圆内接四边形的性质得出答案即可．
（1）
解：补全图形如解图所示：
（2）
解：如图，
∵，
∴PA＝PQ，
∵PN⊥AB于点N，
∴∠PNA＝∠PND＝90°，
又∵AN＝ND，PN＝PN，
∴△APN≌△DPN（SAS），
∴∠PAD＝∠PDA，PA＝PD．
∴PD＝PQ，
∴∠PQD＝∠PDQ，
∵四边形APQB是圆内接四边形，
∴∠PAD+∠PQB＝180°，
∴∠PDA+∠PQB＝180°，
又∵∠PDA+∠PDB＝180°，
∴∠PQB＝∠PDB，
∵∠PQD＝∠PDQ，
∴BQD＝∠BDQ，
∴BQ＝BD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系以及圆内接四边形的性质是解本题的关键．
32．如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排载出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由．
【答案】不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆，理由见解析
【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为225，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．
【详解】解：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，
根据题意得，
解得（负值舍弃），
∴，
∴，， 4分
∵圆的面积为75，设圆的半径为rcm，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方形的长．
33．牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【答案】(1)
(2)，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况
【分析】（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解；
（2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
（1）
解：，，
，
设半径为，则
在中，
解得
答：半径的长约为
（2）
如图，在优弧上任取一点，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）．
【答案】见详解
【分析】（1）由于，则等弧所对的圆周角相等，所以连接即可．
（2）延长交于，根据垂径定理可知，为的中点，连接即可．
（3）连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，根据垂径定理得：，，连接AF，CG，则AF、CG的交点I即为所求．
【详解】（1），
如图所示，连接，
根据等弧所对的圆周角相等，
．
（2）如图所示，延长交于，
根据垂径定理，可得
连接，
根据等弧所对的圆周角相等，
．
（3）如图所示，连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，
D是BC的中点，根据平行线段分线段成比例可得，
E为AB的中点；
则根据垂径定理得：，；
连接AF，CG，根据等弧所对的圆周角相等，
，，
则AF、CG分别为、的角平分线，
则AF、CG的交点I即为所求．
【点睛】本题考查垂径定理，等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练应用垂径定理．
35．如图，内接于，若，求的度数．
【答案】
【分析】由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOC，由等边三角形的性质可求∠OBC的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的有关知识，等边三角形的判定与性质，熟练运用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍是本题的关键．
36．如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
(1)求直径的长；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)6
【分析】（1）设辅助线，利用直径、角平分线的性质得出的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知，得出的度数，根据圆周角的性质结合得出，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出的值，进而利用直角三角形面积公式求出，由阴影部分面积可知即为所求．
（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，，，．．，，，即．．．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，．，弦弦，劣弧劣弧．．为的直径，，，．，．．．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．
37．按要求作图
(1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线；
(2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形即为所求．
（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
四边形ACDE为平行四边形，，，是的角平分线；
（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形即为所求；点C是的中点，,，，，，在与中，，，，，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
38．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，进而得到BC．
（1）
解：如图，AE为所作；
（2）
连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5 3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝，
∴BC＝2CF＝．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，灵活运用各性质进行求解．
39．如图，点A、P、B、C是上的四个点，且．
(1)证明：是正三角形．
(2)若正的半径是6，求正的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠BAC=60°，利用等边三角形的判定即可证的结论；
（2）连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，证明∠BOC=120°，利用等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质求解即可．
（1）
解：∵，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB，
∴△ABC是正三角形；
（2）
解：连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBE=30°，BE=CE，
∴在Rt△OBE中，OE= OB=3，BE= = ，
∴BC= ，
即正△ABC的边长为．
【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
40．内接于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径长为
【分析】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；
（2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论；
（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论．
(1)
如图1，连接OA、OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
如图2，连接并延长交于，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
由（1）知，，
∴，
(3)
如图3，连接，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴
在和中，根据勾股定理得，，
即：，解得或（舍），
∴，
连接OC交AB于,
∴
在中，根据勾股定理得，，
设，在中，，
∴
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全等三角形是解本题的关键．
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专题09：圆的有关性质
一、单选题
1．如图，已知H是以AB为直径的半圆上的一点，C，E分别是，的中点，分别以BH，AH为直径向外作半圆弧，，D为的中点，延长DH交于点F，连结EC，若HD：FH=1：2，则EC：FD的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
3．下列语句中：
①两点确定一条直线；
②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧；
③两点之间直线最短；
④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则∠BCD的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
6．如图，四边形ABCD内接于，弦BD，若，则的大小为（ ）
A．62° B．56° C．52° D．50°
7．如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，P为优弧ABC上一点，则∠APC＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
8．如图，中，，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
9．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=70°，若P为一点，∠AOP=75°，则∠POB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．80°
10．下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径 B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
11．如图，两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD等于弧CB，，则∠CEB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
12．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
13．如图，已知：是的直径，的半径为1，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知AB为⊙O的弦，，垂足为C，若，，则弦心距OC的长为（ ）．
A．12 B．10 C．6 D．8
15．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝( )
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
二、填空题
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
17．如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________．
18．如图，已知、在以为直径的上，若，则的度数是_________．
19．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
20．如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝______．
21．已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于_____．
22．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C是弦AB上一动点，OC长为整数，则OC的长为______．
23．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm．
24．如图，已知是的直径，且，弦于点，，则______．
25．如图，四边形内接于，点M在的延长线上，，则______．
26．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．
27．如图，ABCD是的内接四边形，，点E在AD的延长线上，，则________．
28．如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______．
29．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
三、解答题
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．
31．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务．
关于圆的引理
在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD．
任务：
(1)尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）．
(2)善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：连接PA，PD，PQ，QD．
……
32．如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排载出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由．
33．牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
34．（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）．
35．如图，内接于，若，求的度数．
36．如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
(1)求直径的长；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
37．按要求作图
(1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线；
(2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形．
38．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．
39．如图，点A、P、B、C是上的四个点，且．
(1)证明：是正三角形．
(2)若正的半径是6，求正的边长．
40．内接于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
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