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专题10：点和圆、直线和园的位置关系
一、单选题
1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④=；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO≠OE．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF（故①正确）；
=，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA，
∵=-，
=-，
∴=（故④正确）；
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠AFB+∠EAF=90°，
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF，
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
故错误的只有一个．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．
2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则即可解答．
【详解】解：A选项，，则，满足“若，则”，不是反例；
B选项，，且，满足“若，则”，不是反例；
C选项，，且，不满足“若，则”，是反例；
D选项，，且，满足不满足“”，不是反例；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．
3．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作交⊙O于点D，连接CD．若，则∠OCD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA，根据切线性质得到∠OAB=90°，进而求得∠AOB=40°，再根据圆周角定理求得∠ADC，利用平行线性质即可求解∠OCD的度数．
【详解】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ADC∠AOB＝20°，
∵，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°．
故选：B．
【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
4．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
【答案】C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】作OH⊥AB于H，与正方形的边AD切于点F，证明四边形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根据切线长定理可得答案．
【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，与正方形的边AD切于点F，
则∠OFD＝∠OFA＝90°，∠OHA＝90°，
∵∠A＝90°，OH＝OF，
∴四边形AHOF是正方形，
∵的半径为4，且，
∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，
∴DF＝10－4＝6，
∵与相切于点，
∴DE＝DF＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，切线长定理，证明四边形AHOF是正方形，求出DF是解题的关键．
6．PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合)，∠APB=50°，则∠ACB=（ ）
A．100° B．115° C．65°或115° D．65°
【答案】C
【分析】连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，再根据四边形内角和计算出∠AOB=180°-∠APB=130°，然后分类讨论：当点C在优弧AB上，根据圆周角定理易得∠ACB=∠AOB=65°；当点C在劣弧AB上，即C′的位置，根据圆内接四边形的性质易得∠AC′B=180°-∠ACB=115°．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，
当点C在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=65°；
当点C在劣弧AB上，即C′的位置，则∠AC′B=180°-∠ACB=180°-65°=115°，
即∠ACB为65°或115°．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和分类讨论思想的运用．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，
当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
8．如图，是的内切圆，点，是切点，则下列说法不正确的是( )
A． B． C．的外心在的外面 D．四边形没有外接圆
【答案】D
【分析】根据切线的定理可判断A，作于，可证四边形为正方形，即可判断B；根据为钝角三角形即可判断C；根据四边形的对角即可判断D．
【详解】解： ，是切点，
根据切线定理可知，故选项A正确，不满足题意；
作交于，
是的内切圆，
为切点，,
为切点，
,
四边形为正方形，
，故选项B正确，不满足题意；
由题可知为钝角三角形，
的外心在的外面，故选项C正确，不满足题意；
,
,
,
四边形有外接圆,故选项D错误，满足题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，正方形的判定与性质，三角形的外心，四边形的外接圆，掌握相关定理与概念是解题的关键．
9．下列有关圆的一些结论：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④对角互补的四边形内接于圆；⑤圆的切线垂直于过切点的半径．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据圆中弦的概念可判断①，根据等弧的概念结合圆心角与弧的关系可判断②，根据垂径定理的推论可判断③，根据四点共圆的判定方法可判断④，根据切线的性质可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：直径是圆中最长的弦；说法正确，故①符合题意；
等弧是能够互相重合的弧，则等弧所对的圆心角相等；说法正确，故②符合题意；
平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；原说法不准确，故③不符合题意；
对角互补的四边形内接于圆；这是四点共圆的判定方法，说法正确，故④符合题意；
圆的切线垂直于过切点的半径，说法正确，故⑤符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是圆中的基本概念，垂径定理，弧，圆心角的关系，四点共圆的判定，切线的性质定理，掌握以上基本概念与定理是解本题的关键．
10．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝( )
A．108° B．72° C．54° D．126°
【答案】D
【分析】根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形内角和可计算出∠AOB=108°，通过圆周角定理得出∠ACB的度数，最后通过圆内接四边形的性质得出∠ADB的度数．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
二、填空题
11．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝_______度．
【答案】85
【分析】连接O，根据切线及旋转的性质得出∠A＝∠＝25°，∠AB＝∠OB，BO＝B，结合图形得出△OB为等边三角形，最后利用三角形外角的性质求解即可
【详解】解：如图，连接O，
∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△B，
∴∠A＝∠＝25°，∠AB＝∠OB，BO＝B，
∵OB＝O，
∴△OB为等边三角形，
∴∠OB＝60°，
∴∠AB＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为：85．
【点睛】题目主要考查切线及旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为__________cm．
【答案】13
【分析】根据外心的性质可知OD垂直平分BC，可知△BOD为直角三角形，BD＝BC＝12，OD＝5，由勾股定理可求半径OB．
【详解】解：如图所示，
∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，得出BD的长是解题关键．
13．如图，线段，以O为圆心，的长为半径作，B是平面上一点，且，过点B作直线l垂直于，交于C，D两点．若取最大值时，则的长为_________．
【答案】8
【分析】根据条件分析点B的运动轨迹为以A为圆心，以AB长度为半径的圆，作出B的运动轨迹，过点B作直线l⊥AB，交于C，D两点，此时CD为圆的弦，要使取最大值，即CD为直径时，此时在根据勾股定理计算OB即可．
【详解】解：如图所示，是点B的运动轨迹，
过点B作直线l⊥AB，交于C，D两点，此时CD为圆的弦，要使取最大值，即CD为直径时，
∵CD⊥AB，
∴△AOB是直角三角形，
∴，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查圆的弦最大情况，根据题意，将图形画出，进而将线段长问题转化成为圆的弦最值问题，结合勾股定理计算即可．
14．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________．
【答案】每一个内角都大于或等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°
故答案为：每一个内角都大于或等于45°．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在______．
【答案】外
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵，，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
16．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是_________．
【答案】
【分析】连接，先根据点与圆的位置关系可得当点为与的交点时，取得最小值，再根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得的长，由此即可得．
【详解】解：的半径为1，
，
如图，连接，
则当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
直线的表达式为，的坐标为，
的最小值为，
则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时，点的位置是解题关键．
17．如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为 _____．
【答案】
【详解】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7(cm)．
故答案为：7cm．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．
18．如图，BC为⊙的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙于点C，延长OD交l于点F，若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长度为
【答案】
【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD==2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2．
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴，AE=DE=2，
∵∠ABC=22.5°，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴OD==2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵OC=OD=2，
∴CF=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为___．
【答案】70°
【分析】根据切线的性质得，根据和三角形内角和定理得，又OB=OD可得，最后根据三角形的外角的性质即可解答．
【详解】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OB=OD，
∴，
∴．
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理和三角形的外角性质等知识点，掌握切线的性质是解答本题的关键．
20．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为______．
【答案】
【分析】连接，交于点，连接，，根据，，，四点共圆，可得，再根据，可得当点在线段上时，，即线段的最大值为．
【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，
，，
，，，四点共圆，
正方形的边长为，
，
为的中点，是的中点，
，
，
当点在线段上时，，
即线段的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．
三、解答题
21．如图，点A，B分别在∠DPE两边上，且，点C在∠DPE平分线上．
(1)连接AC，BC，求证：；
(2)连接AB交PC于点O，若，，求PO的长；
(3)若，且点O是的外心，请直接写出四边形PACB的形状．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)正方形，理由见解析
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论；
（3）先证明在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°， 可得四边形为矩形，再证明 根据正方形的判定定理即可得到结论．
（1）
证明：∵点C在∠DPE平分线上，
∴ ，
又∵PA=PB，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS）；
（2）
解：∵
∴∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O；
∵PA=6，
∴AO=3，
（3）
解：如图，
∵点O是△PAB的外心，
∴OA=OB=OP，而OP=OC，
在以O为圆心，OP为半径的圆上，
为圆的直径，
∴∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，
∴四边形为矩形，
平分
∴四边形为正方形．
【点睛】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
22．如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)∠BOC=90°-∠A，见解析
【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC和∠DCF的度数，再根据切线长定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，证明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，先求出∠A的 度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF=120°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）同（1）方法二求解即可．
（1）
解：方法一： 由题意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，
由切线长定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，
∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；
方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，
∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，
又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，
∴∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=120°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）
解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
23．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
（1）
证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）
证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）
解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．
(1)如图②求∠ACB的度数；
(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．
【答案】(1)60°
(2)45°
【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC =15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．
（1）
解：连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
由圆周角定理得，∠ACB=∠AOB=60°；
（2）
解：连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
由（1）知∠ACB=60°，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴∠BAE=∠BCE=30°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．如图，中，，AC和BC分别与相切于E，F两点，AB经过上的点M，且．
(1)求证：AB是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OA，OE，OM，证明△AMO≌△AEO即可证明；
（2）连接OF，证明四边形OFCE是正方形，在Rt△ABC中利用勾股定理解得AB，进而得到的半径．
（1）
证明：连接OA，OE，OM．
AC切⊙O于点E，OE是⊙O的半径
∴OE⊥AC
∴∠AEO=90°
在△AMO和△AEO中
∴△AMO≌△AEO(SSS)
∴∠AMO=∠AEO=90°
∴OM⊥AB
∵OM是⊙O的半径
∴AB是⊙O的切线．
（2）
解：连接OF．设⊙O的半径为r．
∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴∠OFC=90°，
又因为∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CF=CE=OE=r，
∵AB、BC、AC都与⊙O相切，
∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r，
在Rt△ABC中，，
∵BM+AM=AB，
∴6－r+8－r=10 ，
∴ r=2
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，圆的切线的证明，勾股定理，掌握定理与性质是解题的关键．
26．（1）如图，已知P是的角平分线上任一点，且，求证：．
（2）如图，三所学校分别记作A，B，C，，体育场记作O，它是的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）路线O→B→A→C→O的距离最短，理由见解析
【分析】（1）在AB上取一点E，使AE=AC，连接PE，可证得△AEP≌△ACP，从而得到PE=PC，AE=AC，再根据三角形的三边关系，即可求证；
（2）先判断出所跑的路线有三条，得出此三种路线所跑的路程，再判断出△OAB'≌△OAB，可得OB'=OB，从而得到CO＜B'C+B'O，再比较三条路线中，最短的那条路线，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，在AB上取一点E，使AE=AC，连接PE，
∵AP为∠BAC的平分线，
∴∠EAP=∠CAP，
在△AEP和△ACP中，
∴△AEP≌△ACP（SAS），
∴PE=PC，AE=AC，
∴BE=AB-AE=AB-AC，
在△PBE中，BE>PB-PE，
∴PB-PC
（2）路线O→B→A→C→O的距离最短，理由如下：
根据题意得：所跑的路线有三条
第一条路线为：O→A→B→C→O（或O→C→B→A→O），
所走的路程为OA+AB+BC+CO；
第二条路线为：O→A→C→B→O（或O→B→C→A→O），
所走的路程为OA+AC+CB+OB；
第三条路线为：O→B→A→C→O（或O→C→A→B→O），
所走的路程为OB+AB+AC+CO，
如图，在AC上取一点B '，使AB'=AB，
∵O是的内心，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠OAB'=∠OAB，
在△OAB'和△OAB中，
∴△OAB'≌△OAB，
∴OB'=OB，
∴CO＜B'C+BO，
第一条路线的路程减去第二条的路线的路程为：
（OA+AB+BC+CO）-（OA+AC+CB+OB）
=AB+CO-AC-BO
=AB+CO-AB'-B'C-B'O
=CO-（B'C+B'O）<0，
∴第一条路线的路程比第二条路线的路程短；
如图，在BC上去一点A'，使CA'=CA，
∵O是的内心，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠A'CO=∠ACO，
在△OA'C和△OAC中，
，
∴△A'CO≌△ACO ，
∴OA=O A'，
∴BO＜A'B+O A'，
第一条路线的路程减去第三条的路线的路程为：
（OA+AB+BC+CO）-（OB+AB+AC+CO）
=OA +BC–AC -OB
= OA+ A'B+A'C -AC– OB
= OA'+ A'B– OB>0，
∴第三条路线的路程比第一条路线的路程短，
所以路线O→B→A→C→O所跑的距离最短．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC， ，以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
(1)试猜想和的数量关系，并说明理由．
(2)若，求AF的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，证明AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得出∠BAD＝∠DAE，即可得出答案；
（2）连接OD，先证明，根据切线性质，得出OD⊥DF，得出DF⊥AC，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理得出．
（1）
解：，理由如下：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴．
（2）
解：连接OD，如图所示：
∵AD⊥BC，AB＝AC＝5，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC，
在Rt△ACD中，
，
∵S△ACDAD CDAC DF，
∴，
在Rt△ADF中，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线性质定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，中位线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
28．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．
【答案】，
【分析】根据切线性质得出OB⊥AB，根据平行四边形的性质，得出，，证明△OCB为等腰直角三角形，得出∠C＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠OBC＝45°最后根据圆周角定理即可得出∠E．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴，，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E∠AOB＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理，等腰直角三角形性质、平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
29．已知：如图，为的直径，，交于，于．
(1)请判断与的位置关系，并证明．
(2)连接，若的半径为2.5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接AD、OD，根据直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，证明OD是△ABC的中位线，继而可得DE⊥OD，即可得证；
（2）由Rt△ADC中根据勾股定理求出DC，根据等面积法可以求出DE．
（1）
DE与相切，
证明：连接AD、OD，
∵AB为O的直径，
∴∠BDA= 90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD = DC，
又∵OB= OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴ODAC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是的切线．
（2）
解：∵的半径为2.5，
则AB=AC=5，
在中，AD=3，AC=5，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，掌握以上知识是解题的关键．
30．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论；
（2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；
（3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积．
（1）
解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；
（2）
解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）
解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键．
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专题10：点和圆、直线和园的位置关系
一、单选题
1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作交⊙O于点D，连接CD．若，则∠OCD为（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
5．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C． D．
6．PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合)，∠APB=50°，则∠ACB=（ ）
A．100° B．115° C．65°或115° D．65°
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
8．如图，是的内切圆，点，是切点，则下列说法不正确的是( )
A． B． C．的外心在的外面 D．四边形没有外接圆
9．下列有关圆的一些结论：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④对角互补的四边形内接于圆；⑤圆的切线垂直于过切点的半径．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝( )
A．108° B．72° C．54° D．126°
二、填空题
11．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝_______度．
12．在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为__________cm．
13．如图，线段，以O为圆心，的长为半径作，B是平面上一点，且，过点B作直线l垂直于，交于C，D两点．若取最大值时，则的长为_________．
14．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________．
15．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在______．
16．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是_________．
17．如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为 _____．
18．如图，BC为⊙的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙于点C，延长OD交l于点F，若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长度为
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为___．
20．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为______．
三、解答题
21．如图，点A，B分别在∠DPE两边上，且，点C在∠DPE平分线上．
(1)连接AC，BC，求证：；
(2)连接AB交PC于点O，若，，求PO的长；
(3)若，且点O是的外心，请直接写出四边形PACB的形状．
22．如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
23．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
24．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．
(1)如图②求∠ACB的度数；
(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．
25．如图，中，，AC和BC分别与相切于E，F两点，AB经过上的点M，且．
(1)求证：AB是的切线；
(2)若，求的半径．
26．（1）如图，已知P是的角平分线上任一点，且，求证：．
（2）如图，三所学校分别记作A，B，C，，体育场记作O，它是的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC， ，以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
(1)试猜想和的数量关系，并说明理由．
(2)若，求AF的长．
28．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．
29．已知：如图，为的直径，，交于，于．
(1)请判断与的位置关系，并证明．
(2)连接，若的半径为2.5，，求的长．
30．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
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