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专题11：正多边形和圆
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
2．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
3．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC= 30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故选：B．
【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
4．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
5．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
【答案】C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
7．下列命题正确的是（ ）
A．与是同类项，则
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为
C．、是整数，若，，则
D．的算数平方根是3
【答案】D
【分析】根据同类项的概念，二元一次方程组的解法，正多边形与圆，幂的运算，算术平方根的定义，逐项判断即可．
【详解】A、由同类项的概念得：a+2b=2，3a 4b=8，解得，，则，故此命题错误；
B、设正三角形的边长为2a，如下图所示，BD=a，∠EBD=30°，AD⊥BC，则正三角形的外接圆半径为BE=；在正方形GHPF中，由勾股定理得FH=，则正方形的外接圆半径为，则有：，故此命题错误；
C、，故此命题错误；
D、，则9的算术平方根是3，故此命题正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及同类项的概念，解二元一次方程组，正多边形与圆，幂的运算，算术平方根等代数与几何方面的知识，全面掌握这些知识是正确判断命题真假的前提．
8．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接DB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质，可证是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=5，由此即可解题．
【详解】解：连接DB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，选项B符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线，得出是等边三角形是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．如图，六边形是正六边形，点P是边的中点，，分别与交于点M，N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正六边形的边长为a．想办法求出△PMN，△PBM的面积即可．
【详解】解：设正六边形的边长为a．则S△PCD=2×a2=a2，S四边形BCDE=3×a2=a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN=S△PCD=a2，
∴S四边形MNDC=a2-a2=a2，
∴S△BMC=S△DNE=(a2-a2）=a2，
∵PM=CM，
∴S△PBM=S△BMC=a2，
∴S△PMN：S△PBM=a2：a2=2：3=，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
11．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为______．
【答案】12°
【分析】据正五边形和正六边形性质得出各内角度数，进而可得答案．
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠，∠，
∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，
故答案为：12°．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角．
12．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．
【答案】4
【分析】先根据正六边形的性质求得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF
∴∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=24÷6=4（cm），即R=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正六边形与外接圆，证得△AOB是等边三角形是解答本题的关键．
13．已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．
【答案】
【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径．
【详解】如图所示，连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OM=2
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM=60°，
∴，
∴，
∴该圆的半径为
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，由30°直角三角形求出OA是解决问题的关键．
14．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 _____．
【答案】##
【分析】求出正六边形的内角度数，再根据等腰三角形的判断和性质以及角的和差关系即可求解．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝22+4＝26，
故答案为：26．
【点睛】本题考查多边形与圆，掌握正多边形内角的计算方法以及内角和定理积推论是正确解答的关键．
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
【答案】36
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
16．跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
【答案】54
【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．
17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
【答案】4
【分析】解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
18．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为 _____．
【答案】cm
【分析】如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，然后再运用三角函数直角三角形即可．
【详解】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．
故答案为：cm．
【点睛】本题主要考查了正六边形的特点、勾股定理等知识点，作出辅助线、构造直角三角形、运用勾股定理求解成为解答本题的关键．
19．下列说法不正确的是______（只填序号）．
①的整数部分为2，小数部分为
②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为2
③“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是真命题．
④定义运算：，则方程有两个相等的实数根．
【答案】②③④
【分析】①估算无理数8-的大小即可，②利用正六边形的性质进行计算即可得出内切圆半径；③利用垂线的性质直接进行判断即可；④根据新定义的运算，将原方程变为x2+2x+2=0，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：①∵5＜＜6，
∴-6＜-＜-5，
∴2＜8-＜3，
∴8-的整数部分为2，小数部分为8--2=6-，
因此①正确；
②由“外角为60°且边长为2的正多边形”可知这个多边形为正六边形，且边长为2，如图1，
由正六边形的性质可知，∠AOB=30°，∠AOM=30°，AM=AB=1，
所以OM=，
即正六边形ABCDEF的内切圆半径为，
因此②是不正确的；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以③是不正确的；
④由定义运算：m*n=mn2-2n-1，可得方程-1*x=1，就是方程-1×x2-2x-1=1，
即x2+2x+2=0，
由于b2-4ac=22-4×1×2=－4<0，
所以方程x2+2x+1=0没有实数根，
因此④是不正确的；
综上所述，②③④不正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，正多边形与圆，垂线的性质以及一元二次方程根的判别式，掌握估算无理数的大小的方法，正多边形与圆的相关计算，垂线的性质以及一元二次方程根的判别式是正确判断的前提．
三、解答题
20．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
（1）
证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）
解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
（1）
解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）
解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）
∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
22．已知：，点在圆上.
求作：以为一顶点作圆内接正方形.
【答案】见解析
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B、D，连接AB、BC、CD、AD即可．
【详解】解：连结AO并延长交⊙O于C，然后过O作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，连接AB、BC、CD、AD，
如图，四边形ABCD即为所求作四边形．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在正八边形中通过连接其顶点，构造出成轴对称的两个阴影图形，如图例，
(1)图例中______度．
(2)在图1，图2，图3中用连接顶点的方式，分别构造成轴对称的两个阴影图形．其中一图阴影中含有等腰直角三角形，并在图中标注必要度数．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，连接确定正八边形的圆心，根据正八边形的特点以及圆周角定理求得，，根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据（1）的结论可知，每条边所对的圆周角等于，据此找到等腰直角三角形，并根据轴对称的性质，画出轴对称图形．
(1)
如图，连接确定正八边形的圆心，连接，
多边形是正八边形，
，
，
，
，
故答案为：．
(2)
如图所示，
【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握正多边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
24．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
(1)若a＝6，求b的值；
(2)若b＝30，求a的值．
【答案】(1)36
(2)5
【分析】（1）根据正多边形的周长为60，边长为6，求得边数为，于是得到；
（2）根据多边形的外角和等于360°，求得边数为，根据正多边形的周长为60，边长为a，于是得到结论．
(1)
解：∵正多边形的周长为60，边长为6，
∴边数为，
∵一个外角为b°，
∴；
(2)
∵一个外角为b°，b＝30，
∴，
∵正多边形的周长为60，边长为a，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角，利用多边形的外角和得出多边形的边数是解题关键．
25．如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图1中，G是AF的中点，过G点作图形的对称轴；
(2)在图2中，G、H分别是AF、CD的中点，画出顶点在六边形的边的中点上的矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，CF就有点O，作直线OG即为；
（2）利用△BEF的中线交于一点，作出EF的中点M，同法作出BC的中点N，连接GM，MH，HN，NG，四边形GMHN即为所求．
（1）
如图1中，直线OG即为所求；
（2）
如图2中，矩形GMHN即为所求．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，正多边形与圆，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．如图，在的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法，保留作图痕迹．）
(1)在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH即可；
（2）在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF即可．
(1)
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求：
(2)
解：如图，正六边形ABCDEF即为所求：
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画图．
27．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
【答案】
【分析】连接OB，OG⊥CB于G，证明△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△OBC求得答案．
【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半径R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴，
在Rt△COG中，（cm），
∴（cm2）．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边形的相关知识．
28．如图，有一个亭子．它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积．
【答案】24m；24
【分析】根据正六边形的性质，确定其边长等于外接圆的半径，周长即诶6R；把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可．
【详解】如图，连接OB，OC，
∵地基是半径为4m的正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=4，
∴地基的周长为：4×6=24（m）；
过点O作OG⊥CB，垂足为G，
∵地基是半径为4m的正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=4，∠OBC=60°，∠BOG=30°，
∴BG=2，OG==2，
∴地基的面积为：6×=24．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，熟练掌握中心角计算，灵活运用勾股定理是解题的关键．
29．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；
（2）连接，根据圆周角与弦的关系可得，设，在四边形中，根据托勒密定理有，，建立方程即可求得的长
【详解】（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接，
五边形是正五边形，则,
设，
即
解得（舍去）
【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．
30．已知⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，把正方形ABCD放在⊙O中，使顶点A，D落在⊙O上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：
如图2，将正方形ABCD在⊙O中绕点A顺时针旋转，使点B落到⊙O上，
完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到⊙O上，完成第二次旋转；……
（1）正方形ABCD每次旋转的度数为______°；
（2）将正方形ABCD连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度；在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度
【详解】⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，
是正三角形
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，
即正方形每一次旋转的角度为30°,
如图，点的运动路径如图中部分，
正方形的边长为1，
正方形的对角线长为，
的半径为1
最短距离为
故答案为：，
【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键．
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专题11：正多边形和圆
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
2．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
3．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
7．下列命题正确的是（ ）
A．与是同类项，则
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为
C．、是整数，若，，则
D．的算数平方根是3
8．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7 B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，六边形是正六边形，点P是边的中点，，分别与交于点M，N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为______．
12．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．
13．已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．
14．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 _____．
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
16．跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
18．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为 _____．
19．下列说法不正确的是______（只填序号）．
①的整数部分为2，小数部分为
②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为2
③“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是真命题．
④定义运算：，则方程有两个相等的实数根．
三、解答题
20．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
21．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
22．已知：，点在圆上.
求作：以为一顶点作圆内接正方形.
23．如图，在正八边形中通过连接其顶点，构造出成轴对称的两个阴影图形，如图例，
(1)图例中______度．
(2)在图1，图2，图3中用连接顶点的方式，分别构造成轴对称的两个阴影图形．其中一图阴影中含有等腰直角三角形，并在图中标注必要度数．
24．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
(1)若a＝6，求b的值；
(2)若b＝30，求a的值．
25．如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图1中，G是AF的中点，过G点作图形的对称轴；
(2)在图2中，G、H分别是AF、CD的中点，画出顶点在六边形的边的中点上的矩形．
26．如图，在的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法，保留作图痕迹．）
(1)在图①中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．
27．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
28．如图，有一个亭子．它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积．
29．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
30．已知⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，把正方形ABCD放在⊙O中，使顶点A，D落在⊙O上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：
如图2，将正方形ABCD在⊙O中绕点A顺时针旋转，使点B落到⊙O上，
完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到⊙O上，完成第二次旋转；……
（1）正方形ABCD每次旋转的度数为______°；
（2）将正方形ABCD连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
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