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专题12：弧长和扇形面积
一、单选题
1．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．60° D．100°
2．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
3．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2．扇形EAC（阴影部分）的面积为（ ）
A．2π B．4π C．π D．π
7．在中，已知．如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
9．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15 B．30 C．45 D．30π
10．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
11．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
13．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
14．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，一个边长为9米的三角形封闭围墙，顶点处用一根12米的绳索栓着一条小狗，则小狗活动范围的最大面积是_________．
17．如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．
18．已知菱形，分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，．若，，则图中阴影部分的面积为________．
19．如图，在矩形中，，，以为边在其右侧作等边，再以点为圆心，线段为半径画弧，则图中阴影部分的面积是__________．
20．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
21．一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是______．
23．如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
24．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
25．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
26．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）
27．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
28．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
29．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿！按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_____．
30．如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是△ACD的内切圆，连接AE，BE．
（1）∠AEB的度数为______；
（2）若，，则的长为______．
三、解答题
31．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．
(1)求∠COA的度数．
(2)求出CE的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
32．如图，AB是的弦，C是外一点，，CO交AB于点P，交于点D，且CP＝CB．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
33．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
34．如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
35．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
36．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．
37．如图，中，，，过点，，的弧的半径为，点在上．，切线交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数．
38．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
39．如图，直线PA与相切于点A，弦于点C，OP与相交于点D．，．
(1)求弦AB的长；
(2)求阴影部分的周长．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
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专题12：弧长和扇形面积
一、单选题
1．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．60° D．100°
【答案】B
【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握各自的公式是解本题的关键．
2．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
3．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2．扇形EAC（阴影部分）的面积为（ ）
A．2π B．4π C．π D．π
【答案】A
【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，AB＝BC，
∴∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，BHAB2＝1，
在Rt△ABH中，AH，
∴AC＝2，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴S扇形CAE2π，
∴扇形EAC（阴影部分）的面积为2π，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
7．在中，已知．如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解直角三角形得到然后根据扇形的面积公式解答．
【详解】解：
图中阴影部分面积
故选：C ．
【点睛】本题考查图形旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
【答案】A
【分析】求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】解：如图：
由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱的表面积：，
∴组合体的表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
9．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15 B．30 C．45 D．30π
【答案】A
【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出的长度，的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．
10．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S=πrl，直接代入数据求出即可．
【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，
根据勾股定理得到母线长l==13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
11．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
12．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
【详解】连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
14．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接BD，分别求出△ABD、△BCD以及弓形BD的面积，再计算阴影的面积即可．
【详解】解：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
作DH⊥AD于H，则AH=1，
∴DH=．
∴S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝2 2（）．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，明确S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC是解题的关键．
二、填空题
16．如图，一个边长为9米的三角形封闭围墙，顶点处用一根12米的绳索栓着一条小狗，则小狗活动范围的最大面积是_________．
【答案】126π平方米
【分析】由题意可知小狗活动范围的最大面积是一个圆心角为的扇形的面积与两个圆心角为的扇形的和．
【详解】解：由题意可知，小狗活动范围的最大面积是一个圆心角为，半径为12m的扇形的面积与两个圆心角为120°，半径为3m的的扇形的和，
平方米，
故答案为：126π平方米
【点睛】本题考查了求扇形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
17．如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．
【答案】
【分析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴，
∴△OBC的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= ．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
18．已知菱形，分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，．若，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】设交于，根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，求出，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可．
【详解】解：设交于，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，，
，
由勾股定理得：，即，
分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
19．如图，在矩形中，，，以为边在其右侧作等边，再以点为圆心，线段为半径画弧，则图中阴影部分的面积是__________．
【答案】
【分析】过点E作EF⊥BC垂足为F，如图，在Rt△DAB中，根据勾股定理可得AD的长，根据矩形和等边三角形性质可得AD=BC=BE=CE，根据勾股定理可计算出EF的长，根据代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点E作EF⊥BC垂足为F，如图，
在Rt△DAB中，
∴AD=BC=BE=CE=2，
∵EF⊥BC，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
20．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
【答案】
【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．
【详解】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
21．一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度．
【答案】180
【分析】先计算出展开的扇形的弧长，再计算出以母线为半径的圆的周长，再根据圆心角公式即可得到答案．
【详解】解：∵母线长为cm，底面半径为cm，
∴展开的扇形的弧长为，以母线为半径的圆的周长为，
∴侧面展开图扇形的圆心角=，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的性质，解题的关键是熟练掌握圆锥的相关知识．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是______．
【答案】9
【分析】分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM，则可得，，又，分别表示出△AFD和△AHD的面积，即可求得答案．
【详解】解：如图，分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM，
∵D是BC中点，
∴DN∥AC，且， DM∥AB，且，
∵∠BAC＝90°，
∴DN⊥AB ，DM⊥AC，
在正方形ABEF和正方形ACGH中，AF=AB，AH=AC，
∴ ，
，
又∵在Rt△ABC中，
∴．
故答案为9
【点睛】本题考查阴影部分面积的求法，准确作出辅助线，列出面积计算公式进行转化是解题的关键．
23．如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】
【分析】把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
24．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
【答案】
【分析】证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
25．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
【答案】
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，
则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，
∴S弓形AO=S弓形PO，
在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S阴影=S扇形BOP==π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
26．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）
【答案】
【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可得，然后利用正方形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：如图，连接，
分别与相切于点，
，
又，
四边形是正方形，
，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、扇形的面积、正方形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
【答案】
【分析】由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，因此．结合AB是的直径，可得所对的圆心角的度数．再利用弧长公式计算的长即可．
【详解】∵、、、所在的圆是等圆
又∵、、所对的圆周角都是
∴==
又∵=
∴===
又∵ +++=
∴=
∴
又∵AB是的直径
∴所对的圆心角为
∴的长=
故答案为
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长的计算，翻折变换．求所对的圆心角的度数是解题的关键．
28．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
在中，，，，
∴AB=2BC=4，，
∴， ，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．
29．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿！按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_____．
【答案】
【分析】点O所经过的路线分为了三部分，分别是：（1）以点B为圆心，BO长为半径，圆心角为90°的弧；（2）长度等于的线段；（3）以点A为圆心，AO长为半径，圆心角为90°的弧．
【详解】
如图，点O所经过的路线为：，，，
=；
==；
=；
∴点O所经过的路线长=++=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点的运动轨迹，熟练地掌握弧长的运算公式以及运用特殊的几何图形来描述点的运动轨迹是解题的关键．弧长=（为圆心角的度数，r为半径）．
30．如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是△ACD的内切圆，连接AE，BE．
（1）∠AEB的度数为______；
（2）若，，则的长为______．
【答案】 135°
【分析】（1）如图，连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；
（2）先利用已知求得∠CAB的度数，然后在直角三角形ACD中求得AC的长，最后利用弧长公即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180° (∠ACD＋∠CAD)＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
（2）∵，∠AEB＝135°，
∴ ，
∴，
∵，，
∴中，，
解得，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
31．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．
(1)求∠COA的度数．
(2)求出CE的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)60°
(2)2
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，，即可求得∠COA=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，由∠AOC=60°，求得∠A=30°，即可得到OE=OA=OC，即可求得CE=OC =2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
（1）
解：∵OCBD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB＋∠OBC＝60°；
（2）
解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OCBD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OEOA，
∴CEOC2；
（3）
解：连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
32．如图，AB是的弦，C是外一点，，CO交AB于点P，交于点D，且CP＝CB．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBC是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝2，根据勾股定理得到OB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
（1）
解：直线BC与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
∵，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOP中，
∵∠OAB +∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）
∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2，
∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4，
∴AO＝BO，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝30°，
∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP，
∴OP＝PB＝2，
∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴BC＝PB＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD2×2π．
【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
（1）
证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）
过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
34．如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
（1）
证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
（2）
解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
35．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
【答案】扇形的弧长为：；扇形的面积为：
【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可．
【详解】解：由题意得，扇形的弧长为：．
扇形的面积为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式．
36．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．
【答案】纸扇上贴纸部分的面积为
【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴纸扇上贴纸部分的面积：
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为．
37．如图，中，，，过点，，的弧的半径为，点在上．，切线交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理求出，然后由弧长公式可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质求出，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由切线的性质求出，则可得出答案．
（1）解：如图，连接，∵，∴，∵过点，，的弧的半径为，∴，∴的长为，∴的长为．
（2）如图，连接，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵是的切线，∴，∴，∴．∴的度数为．
【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，直角三角形两锐角互余．理解和掌握切线的性质是解题的关键．
38．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）
证明：连接OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径
∴EC是⊙O的切线．
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2
过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°
∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
39．如图，直线PA与相切于点A，弦于点C，OP与相交于点D．，．
(1)求弦AB的长；
(2)求阴影部分的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据切线的性质得到，之后在中利用勾股定理即可求出答案；
（2）利用勾股定理求得长度，之后求、、弧长即可．
（1）解：∵PA与相切于点A，∴，∵，∴，∵，∴，∵弦于点C，∴，∴， ∴，在中 ∴，∴；
（2）解：在中，，， ，，∴阴影部分的周长．
【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，勾股定理，弧长的公式，灵活地运用公式以及定理是解题的关键．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，∵D为AB的中点，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠DCO=90°-60°=30°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴BD=AC=，∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，解得：OD=1（负数舍去），所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
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