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专题15：用频率估计概率
一、单选题
1．一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
2．口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．15
3．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
4．下列判断错误的是（ ）
A．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
B．一组数据2，5，3，5，6，8的众数和中位数都是5
C．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员的身高比较整齐
D．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
5．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
6．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
7．某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
8．一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
9．投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是
B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近
D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
10．设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______．
12．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是______．
13．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）
14．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个．
15．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．
16．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
4
17．科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：
试验的种子数n（单位：粒） 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m（单位：粒） 458 764 948 1902 2849
发芽的频率 0.916 0.955 0.948 0.9510 0.950
根据统计结果，该玉米种子发芽的概率估计值为______（结果精确到0.01）．
18．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________（结果保留）附近摆动．
19．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
20．已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为_________．
三、解答题
21．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
22．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953
(1)求表中，的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．
23．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
(1)求盒子中球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为．若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
24．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；
(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
25．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值．
26．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
(1)上表中a＝ ，b＝ ；
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近 ；
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵？
27．一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表：
抽检个数 50 100 200 300 400 500
次品个数 1 3 5 6 7 9
(1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率；
(2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？
28．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
(1)按表格数据，表中的________；________；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.1）；
(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有多少个？
29．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计袋中黑球的个数为 只；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
30．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的频数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
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专题15：用频率估计概率
一、单选题
1．一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据白球的频率得到相应的等量关系是解题的关键．
2．口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．15
【答案】C
【分析】根据白球的频率得到概率，然后利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：∵多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，
∴估计摸到白球的概率为，
设口袋里原有白球个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，分式方程．解题的关键是了解白球的频率稳定在附近即为概率约为．
3．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：=0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
4．下列判断错误的是（ ）
A．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
B．一组数据2，5，3，5，6，8的众数和中位数都是5
C．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员的身高比较整齐
D．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
【答案】C
【分析】根据抽样调查、中位数和众数以及方差的概念，利用频率估计概率的知识逐项分析判断即可．
【详解】解：A.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，此说法正确，该选项不符合题意；
B.将这组数据按从小到大重新排序，即2、3、5、5、6、8，可知众数和中位数都是5，该选项不符合题意；
C.根据题意，，则乙组队员的身高比较整齐，该选项符合题意；
D.设袋子中有红球x个，根据题意，可得，解得，即袋子中红球的个数可能是5个，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了统计调查方式、中位数和众数、利用方差判断数据稳定性、利用频率估计概率等知识，解题关键是掌握相关概念．
5．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先假设老虎图案的面积为，根据几何概率知识求解老虎图案占长方形面积的大小；再根据实验数据，用频率估计概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，
根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，
小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，
所以，解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率以及用频率估计概率的知识，解题关键是在于理解题意，能从复杂的数据中找到所需要的信息．
6．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
【答案】B
【分析】根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解．
【详解】解：红球的个数为：（个），
故选：B．
【点睛】本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近．
7．某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的次数是4979，“正面向上”的频率是0.4979，但“正面向上”的概率不一定是0.4979，故本小题推断不合理；
②当抛掷次数是1200时，“正面向上”的次数是6019，“正面向上”的频率是0.5016，但“正面向上”的概率不一定是0.5016，故本小题推断不合理；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005，故本小题推断合理；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率不一定是0.5005，故本小题推断不合理；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，a=15．
经检验，a=15是原方程的解
故选：C．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
9．投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是
B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近
D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的时间．
10．设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a、b是两个任意独立的一位正整数，得出a，b取1～9，然后求出点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案．
【详解】解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数，
∴a，b取1～9，
∴代入x=a时，y=a3-ba，
∵点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方，
∴b-y=b-a3+ba＞0，
当a=1时，b-1+b＞0，
∴b＞，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9，
当a=2时，b-8+2b＞0，
∴b＞ ，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9，
当a=3时，b-27+3b＞0，
∴b＞ ，有3个数，b=7，8，9，
当a=4时，b-64+4b＞0，
∴b＞ ，有0个数，b在此以上无解，
∴共有19个，而总的可能性为9×9=81，
∴点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的概率是；
故选D．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
二、填空题
11．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______．
【答案】
【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可．
【详解】有实数根，
，
∴，
，
又，
对称轴为：，
时，随增大而减小，
，
综上，
可取0，2，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键．
12．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是______．
【答案】##0.625
【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可．
【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次，
∴“2”出现的频率为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键．
13．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）
【答案】0.96
【分析】运用频率估计概率即可．
【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率．
故答案为：0.96
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．
14．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个．
【答案】15
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出球的总数，然后即可计算出盒子中白球的个数即可．
【详解】解：设盒子中大约有白球有x个，根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴估计盒子中大约有白球15（个），
故答案为：15．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是列出方程．
15．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．
【答案】0.5##
【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得：
；
解得：x=500，
经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为:
，
故答案为：0.5.
【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率．
16．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
4
【答案】6，9182
【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可．
【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填，
∴第二个数字为9，第四个数字为8，
∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．
∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法，
∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182．
故答案为：6，9182
【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字．
17．科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：
试验的种子数n（单位：粒） 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m（单位：粒） 458 764 948 1902 2849
发芽的频率 0.916 0.955 0.948 0.9510 0.950
根据统计结果，该玉米种子发芽的概率估计值为______（结果精确到0.01）．
【答案】0.95
【分析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜籽发芽的概率．
【详解】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，从表格中数据确定出这种油菜籽发芽的概率是解题的关键．
18．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________（结果保留）附近摆动．
【答案】##0.25π##
【分析】当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
【详解】解：如图，正方形ABCD的内切圆圆心为O，点E和点F为两个切点，
∵正方形ABCD的内切圆圆心为O，
∴ OE⊥BC，OF⊥AD
∵ADBC
∴OF⊥BC
∴点E、O、F在同一条直线上
∵∠A＝∠B＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形
∴EF＝AB＝30cm
∴OE＝OF＝15cm
∴（cm2）
∴
由题意可知当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的内切圆、正方形的性质、圆的面积、正方形的面积等知识，判断出大米落在圆内的频率会在附近摆动是解题的关键．
19．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
【答案】 0.7 14
【分析】根据频率之和为1，以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，列出方程求解，即可．
【详解】解：摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是，
设有红球x个，
根据题意得：，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解．
故答案是：0.7，14．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
20．已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为_________．
【答案】0.6或
【分析】判断出无理数的个数，根据概率的意义求解即可．
【详解】解：在数据，，，，0中，无理数有3个，
∴无理数出现的频率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查无理数、算术平方根以及概率的意义，理解无理数、算术平方根和概率的意义是正确解答的前提．
三、解答题
21．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【答案】(1)0.6
(2)0.6,0.4
(3)黑球有24只，白球有36只
【分析】（1）根据次数很大时，频率会趋于稳定可得答案；
（2）利用次数很大时，频率估计概率可得答案；
（3）黑球个数=球的总数×得到黑球的概率．
（1）
解：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）
根据频率估计概率可得，摸到白球的概率P（摸到白球）=0.6，
摸到黑球的概率P（摸到黑球）=1-0.6=0.4，
故答案为：0.6，0.4；
（3）
60×0.4＝24， 60-24＝36．
∴黑球有24只，白球有36只．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复实验下频率稳定值即概率是解题的关键．
22．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953
(1)求表中，的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】(1)；；
(2)这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
(3)需要准备8000粒种子进行发芽培育．
【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可求解；
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树幼苗棵树概率可得出结论．
（1）
解：；；
（2）
解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）
解：若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备（粒种子进行发芽培育．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握：频率所求情况数与总情况数之比．
23．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
(1)求盒子中球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为．若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15
(2)
(3)能，白球需要减少3个
【分析】（1）利用白球5个即可求出总数；
（2）求出黑球个数后，直接利用概率公式得出答案；
（3）利用概率公式计算得出符合题意的方法．
（1）
解：盒子中球的个数为：（个），
答：盒子中球的个数为15个；
（2）
黑球个数为：；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为： ；
（3）
能，方案如下：
从盒子中拿走3个白球，也就是白球需要减少3个．
任意摸出一个球共出现12种等可能的结果，其中摸到红球的有4种．
．
∴白球需要减少3个．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
24．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；
(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)0.95
【分析】（1）用频数除以对应的乒乓球数即可得；
（2）用横轴表示乒乓球数，纵轴表示频率，再结合表格描点，连线即可得；
（3）由折线统计图最后趋于0.95可得答案．
（1）
解：补全表格如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率 （精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（2）
解：折线图如下：
（3）
解：从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．
25．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值．
【答案】(1)
(2)估计原口袋中共有40个球
(3)估计的值为60
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得，解之即可得出答案；
（3）根据题意得，解之即可得出答案．
（1）
解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，
∴估计摸到黑球的概率是．
故答案为：．
（2）
设原口袋中有m个球，根据题意得：
，
解得：m＝40，
经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意，
答：袋中原有40个球．
（3）
解：根据题意得：，
解得：n＝60，
经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴n＝60．
答：估计的值为60．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
26．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
(1)上表中a＝ ，b＝ ；
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近 ；
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵？
【答案】(1)0.70；0.70
(2)0.70
(3)0.70，在相同条件下，当实验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值
(4)6300
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n，即可得到发芽的频率；
（2）根据估计得出频率即可；
（3）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7；
（4）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
（1）
解：a==0.70，b==0.70；
故答案为：0.70；0.70；
（2）
当n很大时，频率将会接近0.70；
故答案为：0.70；
（3）
这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
理由：在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值；
（4）
10000×0.70×90%=6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
27．一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表：
抽检个数 50 100 200 300 400 500
次品个数 1 3 5 6 7 9
(1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率；
(2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？
【答案】(1)0.02
(2)16
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；
（2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可．
（1）
抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550，
次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31，
这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02；
（2）
根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02，
则800×0.02＝16（个）．
答：准备16个兑换的节能灯．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
28．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
(1)按表格数据，表中的________；________；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.1）；
(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有多少个？
【答案】(1)123，0.404
(2)0.4
(3)15个
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数，即可求解；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数．
（1）
解：， ，
故答案为：123，0.404．
（2）
解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4．
故答案为：0.4．
（3）
解：由题意得，摸到白球的概率为0.4，
因此球的总个数为：（个），
红球个数为：25 10=15（个）．
即这一个不透明的口袋中红球有15个．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解利用频率来估计概率的意义是解题的关键．
29．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计袋中黑球的个数为 只；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
【答案】(1)20
(2)10
【分析】（1）根据大量重复试验中事件发生的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率，根据概率的计算公式即可得出答案；
（2）设向袋子中放入x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
（1）
观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定在常数0.5附近，因此摸到黑球的概率为0.5，估计袋中黑球的个数为只，
故答案为：20；
（2）
设放入黑球x个，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的根且符合题意，
∴小明后来放进了10个黑球．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
30．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的频数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
【答案】(1)0.6
(2)0.6
(3)见解析，216°
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
（1）
解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）
解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）
解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360°×0.6=216°，
如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．
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