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专题14：用列举法求概率
一、单选题
1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的设计方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“鹮朱、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小彬各从四个吉祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，
∴小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．
3．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种，
∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
4．将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率为，
故选：B．
【点睛】此题考查了树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，2包都过期的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
8．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
9．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：
所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列表如下：
蓝球1 蓝球2 红球
红1 （红1，蓝球1） （红1，蓝球2） （红1，红球）
红2 （红2，蓝球1） （红2，蓝球2） （红2，红球）
蓝 （蓝，蓝球1） （蓝，蓝球2） （蓝，红球）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
二、填空题
11．在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字－4，－3，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为______．
【答案】##0.3
【分析】根据反比例函数的性质可知，要使得反比例函的图象经过第一、三象限的，则，根据题意画出树状图后，由树状图求得所有等可能结果，再直接利用概率公式求解即可
【详解】解：由题意知，反比例函的图象经过第一、三象限
画树状图得，
所有机会均等的结果共20种，其中a+b>0的所有可能为6种，
使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质和画树状图求概率等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数，，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩余球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率是______．
【答案】##0.4
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的结果数为8，
所以a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率=．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13．有两枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，同时投掷两枚骰子，它们点数之和大于5的概率是 ___．
【答案】
【分析】用列表法列举出所有的可能性，根据概率公式即可得出所有符合“点数之和大于5”的概率．
【详解】解：由题意得：同时投掷两枚骰子，两次点数之和所有可能的结果如下：
共36种结果，符合“点数之和大于5”的共26种，
∴点数之和不大于5的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比，熟悉概率公式是解题的关键．
14．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．
【详解】解：画树状图得：
所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．
15．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
16．从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
【答案】
【分析】利用列表法，求得所有可能的结果数及2个数互素的结果数，则由概率公式即可求得概率．
【详解】列表如下：
3 4 5 6 7 8
3 34 35 36 37 38
4 34 45 46 47 48
5 35 45 56 57 58
6 36 46 56 67 68
7 37 47 57 67 78
8 38 48 58 68 78
所有可能结果数是30种，其中这2个数互素人结果数是22种，则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，关键是知道互素的含义，会用树状图或列表法来解决．
17．盒子中有2红1绿1黄四个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为红球的概率为_________．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出取出的两个球均为红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中取出的两个球均为红球的有2种，
则取出的两个球均为红球的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是___________．
【答案】
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算．
【详解】解：在各个道路上标上相应的字母，
根据标出的字母画出树状图，如图所示：
∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路，
∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键．
19．如果同时掷两枚质地均匀的骰子，那么掷出两枚骰子的点数相同的概率是__________．
【答案】
【分析】画出树状图，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，一共有36种等可能的结果，其中掷出两枚骰子的点数相同的有6种，
∴掷出两枚骰子的点数相同的为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答的关键是熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法步骤，注意试验时是放回还是不放回试验.
20．某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
【答案】
【分析】列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】画树状图如下：
从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种，
A、B两个小区被分在第一批的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
21．2022年2月4日，24届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，北京某高校大学生积极参与志愿者活动，奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整 的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)该校参加志愿者活动的大学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，安保对应的圆心角为______度；
(3)小文和小芳是4名展示志愿者中的其中两位，奥组委决定在该校4名展示志愿者中任选2人参加北京冬季奥运会开幕式，请用列表法或树状图，求小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率．
【答案】(1)40，把条形统计图补充完整见解析
(2)10，144
(3)小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率为
【分析】（1）由运行的人数除以所占百分比得出该校参加志愿者活动的大学生共有人数，即可解决问题；
（2）由展示的人数除以参加的总人数得出m的值，再由360°乘以安保所占的比例即可；
（3）列表得出共有12种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有2种情况，再由概率公式求解即可．
(1)
该校参加志愿者活动的大学生共有：（人），
则联络的人数为：（人），
故答案为：40，
把条形统计图补充完整如下：
(2)
扇形统计图中，展示所占的百分比为：，
∴，
安保对应的圆心角为：，
故答案为：10，144；
(3)
解：根据题意列表如下：
小文 小芳 志愿3 志愿4
小文 （小芳，小文） （志愿3，小文） （志愿4，小文）
小芳 （小文，小芳） （志愿3，小芳） （志愿4，小芳）
志愿3 （小文，志愿3） （小芳，志愿3） （志愿4，志愿3）
志愿4 （小文，志愿4） （小芳，志愿4） （志愿3，志愿4）
共有12种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有2种情况，
∴小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率为：．
【点睛】本题考查的是用列表法法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表．
甲、乙两人模拟成绩统计表
① ② ③ ④ ⑤
甲成绩/分 79 86 82 a 83
乙成绩/分 88 79 90 81 72
甲、乙两人成绩折线图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______；
(2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线；
(3)经计算知，．综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；
(4)如果分别从甲、乙两人3次较高成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，直接写出抽到的两个人的成绩都大于83分的概率．
【答案】(1)85
(2)见解析
(3)选拔甲参加比赛更合适，理由见解析
(4)
【分析】（1）用总分减去已知分数可得a；
（2）画折线图；
（3）从平均数和方差进行分析；
（4）列表求概率.
(1)
解：根据题意得79+86+82+a+83=5×83，
解得a=85；
故答案为85；
(2)
解：如图，
(3)
解：选拔甲参加比赛更合适，理由如下：
∵>，且S甲2＜S乙2，
∴甲的平均成绩比乙的平均成绩高，且甲的成就比较稳定，
∴选拔甲参加比赛更合适；
(4)
解：列表为：
乙 甲 86 85 83
88 88，86 88，85 88，83
90 90，86 90，85 90，83
81 81，86 81，85 81，83
共有9可等可能的结果数，其中抽到的两个人的成绩都大于83分的结果数为6，
所以抽到的两个人的成绩都大于83分的概率=．
【点睛】本题考查了折线统计图，平均数和方差，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)不公平；这个游戏规则对甲有理；理由见解析．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为0情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）分别求得甲胜、乙胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
（1）
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，数字之和为2即乙胜的有2种情况；
∴乙胜的概率为：=；
（2）
解：不公平．对甲有利，理由如下：
∵数字之和为1的有3种情况，
∴P（甲胜）==，∴P（甲胜）>P（乙胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，对甲有利．
【点睛】本题考查的是用树状图法或表格法求概率，以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．“冬奥在北京·体验在吉林”，第六届吉林国际冰雪产业博览会于2021年12月18日正式启幕．某大学团委决定从四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加，抽签规则：将作为四名志愿者的代号分别写在四张完全相同的、不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下代号，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下代号．请你用列表法或画树状图法求出两名志愿者同时被选中的概率．
【答案】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴A，B两名志愿者被选中的概率为．
【点睛】本题考查用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．
(1)小礼诵读《论语》的概率是___；（直接写出答案）
(2)请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【答案】(1)
(2)图表见解析，
【分析】（1）用概率公式直接求解即可；
（2）用画树状图求解即可．
（1）
解：小礼诵读《论语》的概率＝；
故答案为：．
（2）
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中小礼和小智诵读两个不同材料的结果数为6，
所以小礼和小智诵读两个不同材料的概率＝＝．
【点睛】本题考查概率求法，熟练掌握用概率公式和画树状图求概率是解题的关键．
26．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】(1)200；
(2)见解析；
(3)估计参加B项活动的学生数有512名；
(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
（1）
解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）
参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
（3）
（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）
画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
27．某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗．
(1)如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是________；
(2)如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率．
【答案】(1)
(2)，画树状图见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的结果有10种，再由概率公式求解即可．
（1）
解：如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是，
故答案为：
（2）
解：树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中有A厂家疫苗的结果有10种，故P（拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗）==.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
28．下图是小明和小颖共同设计的可自由转动的转盘，转盘被等分成10份，上面写有10个有理数．转动转盘，当转盘停止转动时，
(1)求指针指向正数的概率；
(2)若指针指向绝对值小于6的数，则小明胜，指针指向其他数，则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）用正数的个数除以数据的总个数即可求得转得正数的概率；
（2）用绝对值小于6数的个数除以数据的总个数即可求得转得绝对值小于6数的概率，进而可以判断这个游戏的公平性．
（1）
解： P(指针指向正数)==，
答：指针指向正数的概率为；
（2）
解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
因为P(指针指向绝对值小于6的数)==，
P(指针指向其他数)=1-=，
所以这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题考查利用概率公式求事件概率，概率的公式：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的结果的总数目，m表示事件A包含的试验结果数，还考查了利用概率判断游戏的公平性．
29．山西由于四季分明，光照充足，冬夏温差大，昼夜气温悬殊，适合种植棉花、大豆、土豆、玉米、高粱、谷子、栗子等农作物．而适合山西地区种植的谷子品种也很多，其中“龙爪谷”、“晋谷21号”、“红粘谷”和“白米谷”等都是适合山西地区种植的高产谷子品种．某校数学兴趣小组随机调查了50穗“龙爪谷”每穗谷子的穗长（单位：cm），他们绘制了如下不完整的统计图表．
每穗龙爪谷的穗长c（cm） 频数（穗） 频率
16.0≤x＜16.2 4
16.2≤x＜16.4 0.24
16.4≤x＜16.6 14 a
16.6≤x＜16.8
16.8≤x＜17.0 8
请结合统计图表中的信息解答下列问题：
(1)统计表中，a＝ ，并将频数分布直方图补充完整．
(2)若所种植的“龙爪谷”有2000穗，请你估计谷子的穗长在16.6≤x＜16.8范围的谷子穗数．
(3)杜师傅是一位种植谷子专业户，他制作了“A．龙爪谷”、“B．晋谷21号”、“C．红粘谷”和“D．白米谷”四张除图案外完全相同的卡片，如图．他将这四张卡片背面朝上放在桌子上，然后从中随机选取两种作为今年秋季的谷子种植作物．请你用列表或画树状图的方法求杜师傅恰好抽到有一张印有“B．晋谷21号”谷子图案的概率．
【答案】(1)0.28，图形见解析
(2)480穗
(3)
【分析】（1）16.4≤x＜16.6范围内的穗数除以50可得a的值，再根据频数等于总数乘以频率求出16.2≤x≤16.4范围内的穗数，从而得到16.6≤x＜16.8范围内的穗数，即可求解；
（2）用2000乘16.6≤x＜16.8范围所对应的频率，即可求解；
（3）根据题意列出表格，可得共有12种等可能的结果，其中恰好印有一张“B．晋谷21号”图案的结果数有6种，再根据概率公式计算，即可求解．
（1）
解：a0.28；
16.2≤x≤16.4范围内的穗数为：50×0.24＝12（穗），
16.6≤x＜16.8范围内的穗数为：50﹣（4+12+14+8）＝12（穗），
补全统计图如下：
故答案为：0.28；
（2）
解：根据题意得：
2000480（穗），
答：估计谷子的穗长在16.6≤x≤16.8范围的数量约为480穗；
（3）
解：根据题意列表如下：
A B C D
A B，A C，A D，A
B A，B C，B D，B
C A，C B，C D，C
D A，D B，D C，D
共有12种等可能的结果，其中恰好印有一张“B．晋谷21号”图案的结果数有6种，
∴杜师傅恰好抽到一张印有“B．晋谷21号”谷子图案的概率为．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，频数直方图，用样本估计总体，熟练掌握列表法可以不重复不透漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
30．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
(1)
解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
(2)
树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
(3)
①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
∵，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
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专题14：用列举法求概率
一、单选题
1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．
2．第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的设计方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“鹮朱、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小彬各从四个吉祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
8．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字－4，－3，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为______．
12．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数，，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩余球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率是______．
13．有两枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，同时投掷两枚骰子，它们点数之和大于5的概率是 ___．
14．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
15．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
16．从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
17．盒子中有2红1绿1黄四个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为红球的概率为_________．
18．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是___________．
19．如果同时掷两枚质地均匀的骰子，那么掷出两枚骰子的点数相同的概率是__________．
20．某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
三、解答题
21．2022年2月4日，24届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，北京某高校大学生积极参与志愿者活动，奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整 的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)该校参加志愿者活动的大学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，安保对应的圆心角为______度；
(3)小文和小芳是4名展示志愿者中的其中两位，奥组委决定在该校4名展示志愿者中任选2人参加北京冬季奥运会开幕式，请用列表法或树状图，求小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率．
22．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出，．绘制成如下尚不完整的统计图表．
甲、乙两人模拟成绩统计表
① ② ③ ④ ⑤
甲成绩/分 79 86 82 a 83
乙成绩/分 88 79 90 81 72
甲、乙两人成绩折线图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______；
(2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线；
(3)经计算知，．综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；
(4)如果分别从甲、乙两人3次较高成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，直接写出抽到的两个人的成绩都大于83分的概率．
23．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．
24．“冬奥在北京·体验在吉林”，第六届吉林国际冰雪产业博览会于2021年12月18日正式启幕．某大学团委决定从四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加，抽签规则：将作为四名志愿者的代号分别写在四张完全相同的、不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下代号，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下代号．请你用列表法或画树状图法求出两名志愿者同时被选中的概率．
25．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．
(1)小礼诵读《论语》的概率是___；（直接写出答案）
(2)请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
26．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
27．某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗．
(1)如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是________；
(2)如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率．
28．下图是小明和小颖共同设计的可自由转动的转盘，转盘被等分成10份，上面写有10个有理数．转动转盘，当转盘停止转动时，
(1)求指针指向正数的概率；
(2)若指针指向绝对值小于6的数，则小明胜，指针指向其他数，则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
29．山西由于四季分明，光照充足，冬夏温差大，昼夜气温悬殊，适合种植棉花、大豆、土豆、玉米、高粱、谷子、栗子等农作物．而适合山西地区种植的谷子品种也很多，其中“龙爪谷”、“晋谷21号”、“红粘谷”和“白米谷”等都是适合山西地区种植的高产谷子品种．某校数学兴趣小组随机调查了50穗“龙爪谷”每穗谷子的穗长（单位：cm），他们绘制了如下不完整的统计图表．
每穗龙爪谷的穗长c（cm） 频数（穗） 频率
16.0≤x＜16.2 4
16.2≤x＜16.4 0.24
16.4≤x＜16.6 14 a
16.6≤x＜16.8
16.8≤x＜17.0 8
请结合统计图表中的信息解答下列问题：
(1)统计表中，a＝ ，并将频数分布直方图补充完整．
(2)若所种植的“龙爪谷”有2000穗，请你估计谷子的穗长在16.6≤x＜16.8范围的谷子穗数．
(3)杜师傅是一位种植谷子专业户，他制作了“A．龙爪谷”、“B．晋谷21号”、“C．红粘谷”和“D．白米谷”四张除图案外完全相同的卡片，如图．他将这四张卡片背面朝上放在桌子上，然后从中随机选取两种作为今年秋季的谷子种植作物．请你用列表或画树状图的方法求杜师傅恰好抽到有一张印有“B．晋谷21号”谷子图案的概率．
30．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
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