高中数学人教A版（2019）必修第一册 4.4.1对数函数的概念教案（表格式）

课程基本信息
课题 对数函数的概念
教科书 书名：普通高中教科书数学必修第一册 A版 出版社：人民教育出版社
教学目标
教学目标： 1.从实际问题情境中，抽象出对数函数的概念，认识与指数函数间的关系； 2.在对数函数概念形成过程中进一步体会函数的本质，感受知识间内在联系； 3.借助信息技术和计算工具感受对数函数的变化，发展数学运算和数学抽象的素养. 教学重点：对数函数概念的形成. 教学难点：对指数函数与对数函数内在联系的把握.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
温故知新 同学们好，我是北京市第十一中学的鲁国方，很高兴与大家一起学习这节课的内容.首先，请问大家一个问题：你知道考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的吗？ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 通过指数函数的学习，我们知道，当生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么这就是我们学过的指数函数. 我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，它揭示了死亡生物体内碳14的含量随时间的变化而衰减的规律.当我们知道生物的死亡时间，通过指数函数，我们就能知道生物体内碳14的含量. 但是，更有价值的是，考古学家想推测出土文物或古遗址年代，往往是，先测算出生物体内碳14的含量，然后计算出它死亡了多长时间. 你知道，他们是怎么做到的吗？
新知形成 对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对蕴含的规律作 进一步的研究． 问题1：死亡生物体内碳14含量为是死亡时间的函数 即 那么，死亡时间是碳14的含量的函数吗？ 追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义.那么依据定义应该怎样进行判断呢？ 　　函数的定义：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 　　所以要判断死亡时间是否是碳14的含量的函数，就要确定，对于任意一个，是否都有唯一确定的与其对应． 追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？ 如图，观察的图象，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有几个交点？这说明对任意一个，都有几个与其对应？ 能否将看成是的函数？ 按照追问1确定的办法，用软件进行演示，直观呈现对任意一个，都有唯一确定的与其对应． 追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？ 根据指数与对数的关系， 由得到 根据函数的定义， 对于每一个给定的值都有唯一的的值与之对应，把看作自变量，就是的函数. 但习惯上仍用表示自变量，表示它的函数，即， 而中的底数为一个给定的常数，我们用来表示，即.即由指数函数可得，而也构成函数，再改换字母表示，不影响函数的本质，形成一个新的函数这就是本节课要学习的对数函数.
新知特征 一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量，定义域是 关注：1.对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意特征; 2.在对数函数的底数且; 3.对数函数的定义域为，即自变量
学以致用 例1 给出下列函数： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 其中所有对数函数的序号是( B ) (A) ①②⑤ (B) ④⑤⑥ (C) ①②④⑤⑥ (D) ③④ 追问：判断函数是否为对数函数的依据是什么？ 对数函数是形式定义，判断一个函数是否是对数函数，要以下关注三点: 对数符号前面的系数为1； 对数的底数是不等于1的正常数； 对数的真数仅有自变量. 例2 求下列函数的定义域： （1） （2）且 追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？ 这些函数虽然不是对数函数，但它们与对数函数紧密相关，求这些函数的定义域时，要注意对数函数的概念.定义域是使函数自变量的取值集合.我们从对数函数的定义出发，对数函数且的定义域是，那么（1）中的和（2）中的的取值范围就是，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域． 解：由对数函数的概念可知： 因为即所以函数的定义域是 因为即所以函数的定义域是 例3 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为 该地的物价经过几年后会翻一番？ 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 解：（1）由题意可知，经过年后物价为 物价x12345678910年数y0
，即 由对数与指数间的关系，可得 物价翻一番，即，代入函数可得， 由计算工具可得 （2）根据函数利用计算工具，可得下表： 物价x12345678910年数y0142328333740434547
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增长1所需要的的年数在逐渐缩小. 练习：已知集合，集合，若 下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是 ; 若下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是 . ① ② ③ ④ 解：观察集合A和集合B的数据，从集合到集合的函数的自变量，变量，猜测其对应关系为以2为底的指数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选①；而从集合到集合的函数的自变量，变量，猜测其对应关系为以2为底的对数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选③． 　　小结：对数函数、指数函数、一次函数、二次函数是我们学习的基本初等函数，它们增长是有差异的，不同类型的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律．
归纳总结 回顾本课时学习内容，并回答下面问题： 　　（1）概述本节课得到对数函数概念的基本过程． 　　（2）对数函数的现实背景是什么？ 　　（1）先通过研究生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系，利用图象上与的对应关系，理解也是的函数，再利用指数与对数的运算关系，依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，由特殊到一般，得到对数函数的概念． 　　（2）对数函数与指数函数是密不可分的．对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律．
布置作业 教科书 第131页练习第2题 2. 课后练习