北师大版九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.5 一元二次方程根与系数的关系
授课人：fb
第二章 一元二次方程
温故知新
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x=
+
-
2a
-b
ax2+bx+c=0 (a≠0)
当b2-4ac≥0时,
对于一元二次方程
x1=
2a
-b+
x2=
2a
-b-
温故知新
方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
2.一元二次方程根的判别式△=
b2 -4ac＞0时,
b2 -4ac =0时,
b2 -4ac ＜0时,
b2 - 4ac
方程有两个不相等的实数根.
方程无实数根.
方程有两个相等的实数根.
温故知新
(1)x2-2x+1=0;
(3)x2-7x-18=0.
x1=9
x2=-2
x1=
x2=1
(2)x2-3x+2=0;
x1=1
x2=2
a =
b =
c =
a =
b =
c =
a =
b =
c =
x1+x2=
x1
x2=
·
x1+x2=
x1
x2=
·
x1+x2=
x1
x2=
·
1
-2
1
1
-3
2
1
-7
-18
2
1
3
2
7
-18
情境引入
(4) 3x2 -4x-4=0
(5) 2x2 +7x+5=0
x1=2
a =
b =
c =
x1+x2=
x1
x2=
·
3
-4
-4
x1=-1
a =
b =
c =
x1+x2=
x1
x2=
·
2
7
5
x2=
2
3
-
x2=
5
2
-
4
3
4
3
-
5
2
7
2
-
情境引入
猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1、x2，
x1+x2=
x1.x2=
-
a
b
c
a
那么x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系是.
新知探究
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
x1+x2=
b
a
-
2a
-b+
2a
-b-
x1+x2=
+
=
-b+
-b-
2a
2a
=
-2b
=-
a
b
新知探究
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
x1·x2=
c
a
2a
-b+
2a
-b-
·
x1·x2=
4a
-b+
( )
-b-
( )
=
4a
-b
( )
b -
( )
=
-
4a
=
=
4a
b -
(b -4ac )
=
4a
b -
b +4ac
4a
4ac
=
c
a
=
新知探究
一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)
文字说明：
有两个实数根x1、x2，
x1+x2=
x1.x2=
-
a
b
c
a
一次项系数除以二次项
系数的相反数;
常数项除以二次项系数。
两根之积等于
两根之和等于
(Δ≥0)
那么
(韦达定理)
新知探究
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 +7x +6=0
解：
x1 x2 =
x1 + x2 =
设方程的两个实数根是 x1, x2,
则：
-7 ,
6
∴方程有两个不相等的实数根.
＞0
=25
–4×1×6
=72
Δ=b2-4ac
a=1 ,b=7 ,c=6.
新知探究
（2）2x2 -3x -2 = 0.
解：
x1 x2 =
-1
x1 + x2 = ,
设方程的两个实数根是 x1, x2,
∴方程有两个不相等的实数根.
=(-3)2
＞0
=25
–4×2×(-2)
a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ=b2-4ac
则：
3
2
新知探究
例2：方程x2 (m 1)x 2m 1 0求m满足什么条件时, ①方程的两根互为相反数？ ②方程的两根互为倒数？ ③方程的一根为零？
解: (m 1)2
m2 6m 5
∴m 1时,方程的两根互为相反数.
∴两根之和m 1 0,
①∵两根互为相反数
4(2m 1)
∴m 1,
且 =12 0
②∵两根互为倒数,
③∵方程一根为0,
x2 (m 1)x 2m 1 0
∴m 1时,方程的两根互为倒数.
m 1,
∴两根之积2m 1 1,
m2 6m 5,
且 0,
∴两根之积2m 1 0，
1
2
m= ，
∴ 时,方程有一根为零.
1
2
m=
且 0,
m2 6m 5,
探究提升
（1）若两根互为相反数,则b___;
（2）若两根互为倒数,则a___c;
（3）若一根为0,则c____;
（4）若一根为1,则a b c____;
（5）若一根为 1,则a b c____;
（6）若a、c异号,方程___________实数根.
若ax2 bx c 0 (a 0 0)
0

0
0
0
一定有两个
练一练
1.若x1， x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+ x2的值是( )
-10 B. 10
C. -16 D. 16
A
练一练
2. 已知x1， x2是关于x的方程x2+ax -2b=0的两实数根，且x1+ x2=-2， x1· x2=1，则ba的值是（ ）
A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -1
A
x1+ x2=
-a
=-2
x1.x2=
-2b
=1
练一练
3. 若方程x2-4x-1=0的两根分别是x1，x2，则x12+ x22的值为（ ）
6 B. -6
C. 18 D. -18
C
x1+ x2 =
4
-1
x12+ x22 =
x12+ x22
x1.x2=
-2
2x1.x2=
+2x1.x2
-2x1.x2
=(x1+ x2)
-2x1.x2
课堂小结
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个实数根x1、x2，
x1+x2=
x1.x2=
-
a
b
c
a
一次项系数除以二次项
系数的相反数;
常数项除以二次项系数。
两根之积等于
两根之和等于
那么
一元二次方程根与系数的关系：
即：
作业
P51
1,2,3,