3.1椭圆 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册（含答案解析）

3.1椭圆 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：与椭圆相交于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆：的面积为，直线过椭圆的两个顶点，且椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点直线与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，，且，则的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
方程，下面命题正确的是( )
A. 若方程表示椭圆，则
B. 若椭圆长轴在轴上，两焦点距离为，则
C. 若椭圆的离心率，则
D. 以为焦点的椭圆与直线有两个不同的公共点
过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则( )
A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程
C. 过焦点且长度为的弦有条 D. 过焦点且长度为的弦只有一条
设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则( )
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下面结论正确的有( )
A. 椭圆的方程为 B.
C. D. 或
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ．
已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于，两点，若直线过点，则的值为 ．
过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为__________．
已知，是椭圆的左、右焦点，为原点，，分别是此椭圆的右顶点和上顶点，是椭圆上一点，，轴，，则此椭圆的方程是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知，是椭圆：的左、右焦点，圆：与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过轴正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，，若，求直线的方程．
本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，且的周长等于．
求椭圆的方程
以为圆心，为半径作圆，当圆与直线有公共点时，求面积的最大值．
本小题分
已知中心在原点的椭圆的左焦点，右顶点．
求椭圆的标准方程；
斜率为的直线与椭圆交于，两点，求弦长的最大值及此时的直线方程．
本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的方程；
动直线交椭圆于不同的两点，，且为坐标原点讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由．
本小题分
以为焦点的椭圆过点．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求的值．
本小题分
已知点是椭圆上的一点，，为椭圆的两焦点，若，试求：
椭圆的方程；
的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，可得，解得根据点到直线的距离不小于，可得，解得范围，根据离心率即可得出．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，
，解得．
点到直线的距离不小于，
，解得，
又，．
．
离心率．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质和中点弦问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用点差法，结合的中点坐标，以及直线的斜率为，即可求出，，从而可得椭圆的离心率．
【解答】
解：设，，
则 ， ，
的中点坐标为，
，，
直线的方程是，
，
两式相减可得：，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，是中档题．
设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可得，再利用中点公式可得解．
【解答】
解：由题意知．
显然直线的斜率存在，设，
不妨设直线的方程为．
代入到椭圆方程中，消去，
整理得，
在椭圆内，则恒成立，
，
因为的中点坐标为，
则．
，
即．
所以，即，
又，
解得，．
故椭圆的标准方程为．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．
利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系和的条件，建立、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．
【解答】
解：椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为．
联立直线与椭圆方程，
消后，化简可得．
因为直线交椭圆于，，设，，
由根与系数的关系可得，，
且，可得，
代入可得：，，
即，
化简可得，
所以．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程和性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，属于中档题．
由题意得到，进而可得，利用点到直线的距离公式求出椭圆的中心到直线的距离为，两者结合求出，即可求解．
【解答】
解：由题意得到，进而可得，
设直线经过，，则直线的方程为，即，
故椭圆的中心到直线的距离为，所以，
结合可得：，，
故椭圆的方程为．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质和中点弦问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用点差法，结合的中点坐标，以及直线的斜率为，即可求出，，从而可得椭圆的离心率．
【解答】
解：设，，
则 ， ，
的中点坐标为，
，，
直线的方程是，
，
两式相减可得：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系和直线的斜率，属于中档题．
根据椭圆的面积公式得到，再联立方程组解出和点的坐标，进而通过，的斜率之积为，求出，也就可以求出长轴长．
【解答】
解：因为椭圆的面积为，
所以，即．
因为点为椭圆的上顶点，所以，
由得：或
即，，
从而，解得，
所以长轴长是．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线和椭圆的位置关系，属于基础题．
首先利用已知条件得到关于，，的方程组，求得椭圆方程，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和已知条件建立方程组即可求出斜率．
【解答】
解：依题意，，解得
所以椭圆方程为：；
设，
依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：
联立，消去得，
所以，，
又，所以 ，
解得，，即．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
利用椭圆的标准方程，对进行判断，再利用椭圆的标准方程，结合椭圆的性质，对进行判断，再利用椭圆的标准方程，结合椭圆的离心率计算，对进行判断，再利用直线与椭圆的位置关系，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于、因为方程：表示椭圆，
所以，且，
解得，因此不正确；
对于、因为椭圆长轴在轴上，
所以，解得．
又因为椭圆的两焦点距离为，
所以，
解得，因此B正确；
对于、因为当椭圆的长轴在轴上时，由知：，
椭圆的离心率，
所以由椭圆的离心率，
得，解得．
当椭圆的长轴在轴上时，
则，解得，
椭圆的离心率，
所以由椭圆的离心率，
得，解得，
因此不正确；
对于、当椭圆是以为焦点的椭圆时，
由知：，且，解得，
因此椭圆的方程为．
因为由得，
而，
所以椭圆与直线有两个不同的公共点，因此D正确．
故选BD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于中档题．
由题意计算得椭圆的方程为，从而判断AB正确；设过焦点且长度为的弦所在直线的方程为，直线与椭圆交于，，联立直线与椭圆方程，利用直线与圆锥曲线相交的弦长得，再利用计算得，从而判断；再利用椭圆的长轴长判断．
【解答】
解：因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，
所以，解得
因此椭圆的方程为，故A不正确，B正确；
因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为，设直线的方程为，直线与椭圆交于，，
则．
联立直线与椭圆方程得，消去得 ，，
则，，
因此，
所以由，解得，即，
即直线的方程为，因此C正确；
因为椭圆的长轴长为，而，
所以过焦点且长度为的弦不存在，因此不正确．
故本题选BC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，则，
所以为定值，A正确；
的周长为，
因为为定值，易知的范围是，
所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，
可解得，又易知，
所以，
所以，
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，
所以，D正确．
故选ACD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆的位置关系，属于基础题．
由已知条件得出关于，的关系式，再将点代入椭圆方程求解即可判定利用直线斜率公式直接判定利用直线与椭圆方程联立，由判别式求得的取值范围，判定，．
【解答】
解：，
，
椭圆方程可以化为：，
在椭圆上，
，
椭圆的方程为，即，故 A正确；
，故B正确；
直线平行于且在轴上的截距为，
直线的方程为：，即，
代入，并整理得：
，
，
解得，故C正确，D错误．
故选ABC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线位置关系的综合问题，考查韦达定理的运用，属于中档题．
根据将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，再根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程．
【解答】
解：设椭圆的标准方程为，
联立
消元得，
设两个交点分别为，，
则弦中点横坐标为，
则结合韦达定理得即
因为焦点，所以有
由得，
所以椭圆方程为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查了圆锥曲线中的对称性问题和直线与椭圆的位置关系，属于基础题．
利用椭圆的标准方程，结合椭圆的几何性质可得到右顶点和右焦点的坐标，再根据圆和椭圆均关于轴对称，得到，两点关于轴对称，故BC垂直轴，从而得到直线的方程，直线和椭圆联立，求出其中一个交点即可得到．
【解答】
解：依题意，椭圆的右顶点的坐标为，右焦点坐标为，
以为圆心的圆关于轴对称，椭圆也关于轴对称，
故圆与椭圆的交点，两点必然关于轴对称，
因为直线过点，故BC过焦点且与轴垂直，
故直线的方程为，
由
不妨设点在轴上方，则点坐标为，
圆半径，
故答案是．

15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的性质与几何意义的运用，考查了分析和运用能力，属于中档题．
先易知直线的斜率为，根据由，得到直线的方程为，再与椭圆方程联立求出点横坐标，再结合轴，且，求出，，的值即可求解．
【解答】
解：由题意，易知直线的斜率为，设，
又，故的斜率为，直线的方程为，
将直线：与椭圆方程联立，解得，
因为轴，所以，
从而，即．
又，
故，解得，
从而，
，
所以所求的椭圆方程为．
故答案为．

17.【答案】解：依题意，得，
所以，
所以椭圆的方程为，
将点代入，解得，则，
所以椭圆的标准方程为；
由题意知直线的斜率存在，设斜率为，，
则直线方程为，
设，，直线与圆相切，则，即，
联立直线与椭圆方程，消元得，
，
则，，，
因为，所以，
即，，
所以，解得，
即，，
所求直线方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．
根据题意，求得，将点代入椭圆方程，即可求得和，求得椭圆方程；
设直线的方程，根据直线与圆的关系，求得，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得的值，即可求得答案．
18.【答案】解：椭圆，左、右焦点分别为，，
因为为椭圆上任意一点，且的周长等于，
所以，
又，
所以，，所以，
故椭圆的方程为．
由知，设点的坐标为，，
则．
由于直线的方程为，圆与直线有公共点，
所以到直线的距离小于或等于圆的半径．
因为，
所以，
即
又，所以，
解得．
又，则，所以．
因为的面积为，
故当时，的面积取得最大值．

【解析】本题考查了椭圆的定义、性质及方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
根据题意得出，，求出，，进而得出，即可得椭圆的方程；
由题意，设点的坐标为，得，由于圆与直线：有公共点，可得到的距离小于或等于圆的半径，由，得出结合，求出的范围，进而求得，的面积为，从而可得答案．
19.【答案】解：由题意可知：，，．
焦点在轴上，
椭圆的方程为：．
设直线的方程为，
由，可得，
与椭圆交于、两点，
，即．
设，，
则，．
弦长，
，
，
当，即的直线方程为时，弦长的最大值为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系．
由题意可知：，，又即可得出椭圆的方程．
设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，，即设，，利用根与系数的关系可得：弦长，由于，即可得出．
20.【答案】 解：根据题意可知，
所以，
整理，得，
又点在椭圆上，
所以有，
由联立，计算得出，，
故所求的椭圆方程为．
为定值，理由如下：
设，，由， 可知，
联立方程组，消去，化简得，
由， 得，
由根与系数的关系，得，
由，
因为，得，
整理，得．
将代入上式，得：，
化简整理，得，
即．
故为定值．

【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法及椭圆中的定值问题，属于中档题．
由得，又点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可；
联立直线与椭圆方程，得，设，，运用韦达定理，由，得，化简整理即可．
21.【答案】解：根据题意可知，则，
将点代入椭圆的方程可得，
联立方程得
故椭圆方程为
由题可知直线为，
设，
联立，消去得，
所以，
由弦长公式得，
由椭圆定义得：，
故．
【解析】本题考查椭圆的概念和几何性质，直线与椭圆的位置关系，涉及到弦长公式和根与系数的关系，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．
由题知，再将点代入方程，联立求解，即可得出椭圆的方程；
联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式，求出的弦长，再根据椭圆的定义即可求出．
22.【答案】解： 令，，，
，
即，解得，椭圆的方程为 ．
点在椭圆上，，解得，或，
又，舍去，
故所求椭圆方程为 ．
点纵坐标的值即为边上的高，
．
【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．
设出焦点的坐标，利用垂直关系求出值，椭圆的方程化为，把点的坐标代入，可解得的值，从而得到所求椭圆方程．
点纵坐标的值即为边上的高，由 求得的面积．