4.4数学归纳法 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册（含答案解析)
文档属性
| 名称 | 4.4数学归纳法 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册（含答案解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-07 15:49:25 | ||
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文档简介
4.4数学归纳法 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，，，，则有( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应增添的式子是( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明( )
A.
B.
C.
D.
已知数列满足，，则的值是．( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的初始值应取( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“”，从“到”左端需增乘的代数式为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
多选下列说法正确的是( )
A. 与正整数有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B. 数学归纳法的第一步的初始值一定为
C. 数学归纳法的两个步骤缺一不可
D. 用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
下列四个命题中真命题是( )
A. 已知命题：，；命题：，，则命题“”为真命题
B. 函数在定义域内有且只有一个零点
C. 已知圆：，直线：则圆上到直线的距离等于的点的个数为
D. 用数学归纳法证明的过程中，由到时，左边需增添的一个因式是
某个命题与自然数有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是( )
A. 当时，命题不成立
B. 当时，命题可能成立
C. 当时，命题不成立
D. 当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
多选设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立则下列命题总成立的是( )
A. 若成立，则成立
B. 若成立，则当时，均有成立
C. 若成立，则成立
D. 若成立，则当时，均有成立
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，不等式左边增加的项数共 项
下列命题中，真命题的序号是___．
已知函数满足，则函数
从分别标有，，，，的个完全相同的小球中不放回地随机摸球次，每次摸球个，则摸到的个球上的数字奇偶性相同的概率是
用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是
的二项展开式中，共有个有理项．
用数学归纳法证明等式，当时，记等式左边为，则 ．
利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了________项．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知是等差数列，是等比数列，设是数列的前项和．
求；
试用数学归纳法证明：．
本小题分
用数学归纳法证明：
本小题分
用数学归纳法证明：，其中．
本小题分
用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除．
本小题分
用数学归纳法证明：
本小题分
在数列中，，，且，求，，猜想的表达式，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【解答】
解：用数学归纳法证明时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于选项A，，由于，，不能推得不等式成立，故排除选项A，；
对于选项D，可令，当时，，故排除．
对于选项B，由于，
即只要证，
当时，假设成立，则，
当时，，
即时，不等式也成立．
综上可得成立．
故原不等式成立．
故选：．
由不等式的传递性可判断，不符题意；对于选项D，检验，可排除选项D；对于选项B，运用数学归纳法证明，再由不等式的传递性即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，以及数学归纳法，考查运算能力、推理能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法，裂项求和，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题．
利用数学归纳法证明，得到 ，利用裂项相消法计算得到答案．
【解答】
解：由，，
得，，
归纳可得，
证明：当时，满足，
假设当时满足，即，
当时，，满足．
故，
所以，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意的取值范围．
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，，，时，命题是否成立，由此可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，
结合本题，要验证时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，成立，
故起始值为，
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意的取值范围．根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，，，时，命题是否成立，由此可得答案．
【解答】
解：当时，
当时，
当时，
当时，
当时，．
8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查运用数学归纳法证明，属于基础题，熟悉数学归纳法证题的步骤是解题的关键，由题意，从“到”左端需增乘的代数式为可得结论．
【解答】解：当时，左端的第一项为，最后一项为，
当时，左端的第一项为，最后一项为，
左边乘，同时还要除以．
，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
与正整数有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明 时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故 A错误数学归纳法的第一步的初始值不一定为如：证明当为偶数时， 能被整除初始值为，故B错误数学归纳法的两个步骤缺一不可，且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故 C， D正确．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含逻辑量词的命题，复合命题的真假，函数零点的个数，直线与圆的位置关系，数学归纳法的证明步骤，是中档题．
根据命题、的真假来断定的真假．根据两个函数的增减性来断定函数的零点个数．由直线到圆的距离得出圆上到直线的距离等于的点的个数．根据“”到“”时，等式左边添加，可判断的真假．
【解答】
解：命题：，是真命题，恒成立，所以命题“”为真命题．故A正确．
对于函数，因为为增函数，为减函数，即与的图象只有一个交点，
所以函数在定义域内有且只有一个零点，故B正确．
圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上到直线的距离等于的点的个数为，故C错误．
由数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数学归纳法的证明的归纳假设、归纳递推，属于一般题．
由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对的任
意整数均成立，结合逆否命题与原命题同真同假的原理，即可判断．
【解答】
解：由题意可知，若对成立，则也成立，与题设矛盾所以时，命题不成立
所以的说法正确
如果命题成立则命题成立，可得时，命题成立，与题设矛盾，所以说法不正确
当时，命题可能成立也可能不成立，如果时，命题成立，则时，命题也成立，继
续推导可得对任意的时，命题都成立，所以的说法不正确，的说法正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
若成立，由题意知成立，故A正确若成立，则，即，结合，所以当时，均有成立，故D正确所以选AD
13.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判定，函数解析式求法，概率求法，数学归纳法，二项式展开式特定项，属于中档题．
换元法求解析式，注意定义域，作出判定；求出事件的概率进行判断；依据数学归纳法，由到时，不等式左边应添加的项是做出判断；利用二项式展开式通项中的指数为整数判断即可．
【解答】
解：
令，，则，，所以，，故错误；
从分别标有，，，，的个完全相同的小球中不放回地随机摸球次，每次摸球个，则摸到的个球上的数字奇偶性相同的概率是，故正确
用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是故正确；
的二项展开式通项为
当，，，时为有理项，共有四项，故错误．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法，涉及等差数列的求和公式，属于中档题．
观察从推导时原等式的左边的变化情况，作差相减即可得解．
【解答】
解：
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法证明问题的第二步，属于基础题，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．
根据数学归纳法的方法求解即可．
【解答】
解：左边的特点：分母逐渐增加，末项为；
由，末项为到，末项为，
应增加的项数为．
17.【答案】解：设的公差为，的公比为，
由，得，．
又由，，得，解得，．
所以，，．
．
当时，，结论成立．
假设当时，成立，
则当时，
，
结论也成立．
综合，由数学归纳法可知，．
【解析】本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的通项公式，数学归纳法的应用，考查计算能力．
利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求解数列的公差与公比，然后求解通项公式．
利用数学归纳法的证明步骤，转化求解即可．
18.【答案】证明当时，左边，右边，左边右边，所以等式成立．
假设当时，等式成立，即．
则当时， ，
即当时，等式也成立．
由知等式对任何都成立．
【解析】略
19.【答案】证明当时，左边，右边．
所以左边右边，等式成立．
假设当时，等式成立，即，
那么当时，
．
即当时，等式也成立，
综上，对任何，等式都成立．
【解析】略
20.【答案】证明当时， 显然能被整除．
假设当且为奇数时命题成立，
即能被整除，
当时，
．
又根据假设能被整除，
能被整除．
又能被整除，
能被整除，
当时命题成立．
由知，命题成立．
【解析】略
21.【答案】证明当时，左边 ，右边显然，所以不等式成立．
假设当时，不等式成立，
即，
则当时，
．
所以当时，不等式也成立．
综上所述，对任意的正整数，不等式都成立．
【解析】略
22.【答案】解 ，且，
， ．
猜想：
下面用数学归纳法证明猜想正确：
当，时易知猜想正确．
假设当时猜想正确，
即．
当时，
．
当时猜想也正确．
由可知，猜想对任意都正确．
【解析】略
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，，，，则有( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应增添的式子是( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明( )
A.
B.
C.
D.
已知数列满足，，则的值是．( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的初始值应取( )
A. B. C. D.
用数学归纳法证明“”，从“到”左端需增乘的代数式为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
多选下列说法正确的是( )
A. 与正整数有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B. 数学归纳法的第一步的初始值一定为
C. 数学归纳法的两个步骤缺一不可
D. 用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
下列四个命题中真命题是( )
A. 已知命题：，；命题：，，则命题“”为真命题
B. 函数在定义域内有且只有一个零点
C. 已知圆：，直线：则圆上到直线的距离等于的点的个数为
D. 用数学归纳法证明的过程中，由到时，左边需增添的一个因式是
某个命题与自然数有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是( )
A. 当时，命题不成立
B. 当时，命题可能成立
C. 当时，命题不成立
D. 当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立
多选设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立则下列命题总成立的是( )
A. 若成立，则成立
B. 若成立，则当时，均有成立
C. 若成立，则成立
D. 若成立，则当时，均有成立
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，不等式左边增加的项数共 项
下列命题中，真命题的序号是___．
已知函数满足，则函数
从分别标有，，，，的个完全相同的小球中不放回地随机摸球次，每次摸球个，则摸到的个球上的数字奇偶性相同的概率是
用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是
的二项展开式中，共有个有理项．
用数学归纳法证明等式，当时，记等式左边为，则 ．
利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了________项．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知是等差数列，是等比数列，设是数列的前项和．
求；
试用数学归纳法证明：．
本小题分
用数学归纳法证明：
本小题分
用数学归纳法证明：，其中．
本小题分
用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除．
本小题分
用数学归纳法证明：
本小题分
在数列中，，，且，求，，猜想的表达式，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【解答】
解：用数学归纳法证明时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于选项A，，由于，，不能推得不等式成立，故排除选项A，；
对于选项D，可令，当时，，故排除．
对于选项B，由于，
即只要证，
当时，假设成立，则，
当时，，
即时，不等式也成立．
综上可得成立．
故原不等式成立．
故选：．
由不等式的传递性可判断，不符题意；对于选项D，检验，可排除选项D；对于选项B，运用数学归纳法证明，再由不等式的传递性即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，以及数学归纳法，考查运算能力、推理能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法，裂项求和，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题．
利用数学归纳法证明，得到 ，利用裂项相消法计算得到答案．
【解答】
解：由，，
得，，
归纳可得，
证明：当时，满足，
假设当时满足，即，
当时，，满足．
故，
所以，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意的取值范围．
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，，，时，命题是否成立，由此可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，
结合本题，要验证时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，成立，
故起始值为，
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意的取值范围．根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，，，时，命题是否成立，由此可得答案．
【解答】
解：当时，
当时，
当时，
当时，
当时，．
8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查运用数学归纳法证明，属于基础题，熟悉数学归纳法证题的步骤是解题的关键，由题意，从“到”左端需增乘的代数式为可得结论．
【解答】解：当时，左端的第一项为，最后一项为，
当时，左端的第一项为，最后一项为，
左边乘，同时还要除以．
，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
与正整数有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明 时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故 A错误数学归纳法的第一步的初始值不一定为如：证明当为偶数时， 能被整除初始值为，故B错误数学归纳法的两个步骤缺一不可，且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故 C， D正确．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含逻辑量词的命题，复合命题的真假，函数零点的个数，直线与圆的位置关系，数学归纳法的证明步骤，是中档题．
根据命题、的真假来断定的真假．根据两个函数的增减性来断定函数的零点个数．由直线到圆的距离得出圆上到直线的距离等于的点的个数．根据“”到“”时，等式左边添加，可判断的真假．
【解答】
解：命题：，是真命题，恒成立，所以命题“”为真命题．故A正确．
对于函数，因为为增函数，为减函数，即与的图象只有一个交点，
所以函数在定义域内有且只有一个零点，故B正确．
圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上到直线的距离等于的点的个数为，故C错误．
由数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数学归纳法的证明的归纳假设、归纳递推，属于一般题．
由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对的任
意整数均成立，结合逆否命题与原命题同真同假的原理，即可判断．
【解答】
解：由题意可知，若对成立，则也成立，与题设矛盾所以时，命题不成立
所以的说法正确
如果命题成立则命题成立，可得时，命题成立，与题设矛盾，所以说法不正确
当时，命题可能成立也可能不成立，如果时，命题成立，则时，命题也成立，继
续推导可得对任意的时，命题都成立，所以的说法不正确，的说法正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
若成立，由题意知成立，故A正确若成立，则，即，结合，所以当时，均有成立，故D正确所以选AD
13.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判定，函数解析式求法，概率求法，数学归纳法，二项式展开式特定项，属于中档题．
换元法求解析式，注意定义域，作出判定；求出事件的概率进行判断；依据数学归纳法，由到时，不等式左边应添加的项是做出判断；利用二项式展开式通项中的指数为整数判断即可．
【解答】
解：
令，，则，，所以，，故错误；
从分别标有，，，，的个完全相同的小球中不放回地随机摸球次，每次摸球个，则摸到的个球上的数字奇偶性相同的概率是，故正确
用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是故正确；
的二项展开式通项为
当，，，时为有理项，共有四项，故错误．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法，涉及等差数列的求和公式，属于中档题．
观察从推导时原等式的左边的变化情况，作差相减即可得解．
【解答】
解：
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学归纳法证明问题的第二步，属于基础题，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．
根据数学归纳法的方法求解即可．
【解答】
解：左边的特点：分母逐渐增加，末项为；
由，末项为到，末项为，
应增加的项数为．
17.【答案】解：设的公差为，的公比为，
由，得，．
又由，，得，解得，．
所以，，．
．
当时，，结论成立．
假设当时，成立，
则当时，
，
结论也成立．
综合，由数学归纳法可知，．
【解析】本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的通项公式，数学归纳法的应用，考查计算能力．
利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求解数列的公差与公比，然后求解通项公式．
利用数学归纳法的证明步骤，转化求解即可．
18.【答案】证明当时，左边，右边，左边右边，所以等式成立．
假设当时，等式成立，即．
则当时， ，
即当时，等式也成立．
由知等式对任何都成立．
【解析】略
19.【答案】证明当时，左边，右边．
所以左边右边，等式成立．
假设当时，等式成立，即，
那么当时，
．
即当时，等式也成立，
综上，对任何，等式都成立．
【解析】略
20.【答案】证明当时， 显然能被整除．
假设当且为奇数时命题成立，
即能被整除，
当时，
．
又根据假设能被整除，
能被整除．
又能被整除，
能被整除，
当时命题成立．
由知，命题成立．
【解析】略
21.【答案】证明当时，左边 ，右边显然，所以不等式成立．
假设当时，不等式成立，
即，
则当时，
．
所以当时，不等式也成立．
综上所述，对任意的正整数，不等式都成立．
【解析】略
22.【答案】解 ，且，
， ．
猜想：
下面用数学归纳法证明猜想正确：
当，时易知猜想正确．
假设当时猜想正确，
即．
当时，
．
当时猜想也正确．
由可知，猜想对任意都正确．
【解析】略