正弦定理[下学期]

(共18张PPT)
高一 数学
课题： 正弦定理
授课人：肖俊妮
怎样解直角三角形？
已知两边；
已知一边及一锐角.
sinA＝ ，sinB＝ ，
a
c
b
c
＝ ＝ .
a
sinA
b
sinB
c
sinC
A
B
C
a
b
c
怎样解斜三角形？
5.9 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理
在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝
正弦定理
？
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝2R.
=2R
b
sinB
B`
A
B
C
b
O
A
B
C
b
O
B`
A
B
C
b
O
例 1：在 ABC中，已知c＝10，A＝45°，
C＝30°，求b.
解：
∵ ＝ ，
b
sinB
c
sinC
B=180°– (A＋C)＝105°，
A
B
C
c
b
b ＝ ≈19.
c sinB
sinC
∴
例 2：在 ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c.
解：
∵ sinB＝ ≈0.8999
b sinA
a
∴ B1＝64°，B2＝116°
40°
A
B
C
b
B1
B2
······
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
C
b
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝ ＝ ，
b sinA
a
1
2
B＝30°或150°，
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
60°
20
20√3
A
B
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3
sinB＝ ＝1 ，
b sinA
a
B＝90°.
B
60°
A
C
20
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝ ＝ ，
b sinA
a
2√3
3
2√3
3
∵ > 1，
∴ 无解.
60°
20
A
C
思考： 当b＝20，A＝60°，a＝？时，
有1解、2解、无解.
例 3：已知向量a与a＋b夹角为60°，
且 a ＝8，b ＝7，求a与b的夹角及a·b.
解：
在 OAC中，
b
sin60°
a
sin∠OCA
∵ ＝
∴ sin∠OCA＝ ≈0.9897,
8 sin60°
7
∴ ∠OCA＝81.8°或98.2°,
∴ ∠OAC＝38.2°或21.8°,
过O作OB∥AC，
∠AOB＝141.8°或158.2°,
∴ a·b＝ a b cos∠AOB＝－44.0或－52.
60°
a
a+b
O
A
C1
C2
B1
B2
√2
30°
练习
ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，
则a＝____，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝____，
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ ，则
B＝_____________.
2√6
3
75°或15°
小结
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
1. 正弦定理
是解斜三角形的工具之一.
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝2R
今日作业
（1）P131 练习
1、2；
（2）习题5.9
第1、2、3题.
选作题
如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受重力为10N，OA、OB都是细杆，只能受延杆方向的力，试求杆OA、OB所受的力.
A
B
O
70°
50°
例 3：已知向量a与a＋b夹角为60°，
且 a ＝8，b ＝7，求a与b的夹角及a·b.
思考：是否可以先求a·(a＋b)，再求a·b 及a与b
的夹角