山西省晋中市榆次区2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）

晋中市榆次区2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围:人教A版必修第一册,必修第二册。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集, 集合, 则
A. B. C. D.
2. 复数满足( 为虚数单位), 则的虚部为
A. B. C. D.
3. 图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图,下列说法一定正 确的是
A. 甲户的家庭全年各项支出比乙户的家庭全年各项支出高
B. 乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大
C. 甲户的食品支出比乙户的食品支出高
D. 甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小
4. 打靶3 次,事件表示“击中发”,其中.那么表示
A. 全部击中 B. 至少击中 1 发
C. 至少击中 2 发 D. 以上均不正确
5. 已知是两条不同的直线, 是三个不同的平面, 则下列命题中正确的是
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若是异面直线,且,则
6. 若, 且, 则的值为
A. B. C. D.
7. 已知条件, 条件(其中 ), 若是的必要而不充分条件, 则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知为复数, 且, 则的取值范围是
A. B. C. D.
9. 已知直三棱柱为正三角形的外心, 则异面直线与所成角的正弦值为
A. 0 B. 1 C. D.
10. 函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为, 且点 是函数图象的对称中心, 则函数在上的单调增区间为
A. B. C. D.
11. 如图, 是等边三角形, 在线段上, 且为线段上一点, 若与 的面积相等, 则
A. B.
C. D.
12. 设函数的定义域为为奇函数,为偶函数,当 时,. 若, 且, 则
A. B. C. D.
二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。
13. 数据1,2,3,4,5,6,7,8,9的80%分位数为_____.
14. 已知, 则_____.
15. 已知,且, 则的取值范围是_____.
16. 在三棱锥中, , 则三棱锥的外接球的半径为_____.
三、解答题: 本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)
已知平面向量的夹角为, 且.
(1) 求的值;
(2) 求的值.
18. (本小题满分 12 分)
在中, 角所对的边分别为
(1)求角的大小；
(2) 若外接圆的面积为, 求的面积.
19.(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统,简称系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和.
(1)求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率;
(2)求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
20. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥中,平面, 底面是矩形, , 作, 交于点, 点分别为线段的中点.
(1)证明: 平面；
(2)求点到平面的距离.
21. (本小题满分 12 分)
某新能源汽车制造公司, 为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车, 约定从今年元月开始, 凡购买一辆该品牌汽车, 在行驶三年后, 公司将给予适当金额的补贴. 某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者, 就补贴金额的心理预期值进行了抽样调查, 得其样本频率分布直方图如图所示.
(1)求实数的值;
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表) 和中位数; (精确到 0.01）
(3) 现在要从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人,再从这 6人中随机抽取2人进行调査, 求抽到 2 人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数是定义在上的奇函数.
(1) 求实数的值;
(2) 求不等式的解集，
(3) 若关于的不等式恒成立, 求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B B A D C C B A D B
13. 8 14. 15. 16.
17. 解: (1) 因为平面向量 的夹角为 , 且 ,
所以 .
所以.
(2)
18. 解: (1) 因为 ,
由正弦定理, 得 ,
整理得
由余弦定理,得
因为 , 所以
(2) 设 外接圆的半径为, 则 , 所以
由正弦定理, 得,
所以 .
因为 ,
所以是等边三角形
所以的面积为 .
19. 解: (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件, 那么
(2)设“系统 B在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件,则 3 次检测中有 1 次发生故障或 0 次发生故障,
所求概率
20. (1)证明:因为 , 所以 ,
又因为,
所以 , 又 , 所以, 所以.
又因为, 所以,
所以点为线段的中点, 又因为为的中点,
所以 ,
又因为 平面 平面 , 所以 ,
所以 , 又 平面,
所以 平面
(2) 解: 设点到平面的距离为,
由 (1) 可知 且 ,
又由 平面, 易证 平面,.
所以
所以 .
又 , 所以 .
所以 , 所以 ,
所以
所以 ,
所以, 即到平面的距离为.
21. 解: (1) 由题意知, ,
解得 .
(2) 平均数的估计值为万元.
因为, 则中位数在区间(3,4)内.
设中位数为, 则,
得 , 所以中位数的估计值为 3.33 万元.
（3）从补贴金额的心理预期值在[3,5)的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取 6 人, 则补贴金额的心理预期值在[3,4)间的有 4 人, 记为 , 补贴金额的心理预期值在[4,5)间的有 2 人, 记为, 则基本事件有, 其中补贴金额的心理预期值都在[3,4)间有, 共 6 种情况, 所以抽到2人中补贴金额的心理预期都在 [3,4)间的概率
22. 解: (1) 因为 是定义在上的奇函数, 所以 ,
即 , 即
因为，所以，所以（经检验符合题意）
(2) 由 (1) 得 ,
因为 与 在上均为增函数, 所以在上为增函数,
又, 所以,
所以, 即 ,
所以, 所以不等式的解集是
(3) 因为关于的不等式 恒成立, 即 恒成立,
所以恒成立, 所以 ,
因为,
所以当 , 即 时,取得最小值
所以, 即实数的取值范围是