上海市复旦附高2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）

上海市复旦附高2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题
一 填空题
1.设角的终边经过点，那么__________.
2.若，则在方向上的数量投影是__________.
3.函数的值域是__________.
4.函数在区间上最小值为__________.
5.在三角形中，，则__________.
6.已知均为非零问量，且垂直，垂直，则与的夹角__________.
7.在锐角中，.三角形的面积等于，则的长为__________.
8.实数满足，则__________.
9.已知，且，则乘积的最大值为__________.
10.已知向量与的夹角为在时取得最小值，当时，的取值范围为__________.
11.在中，，则的最大值为__________.
12.设函数，其中是一个正整数.若对任意实数，均存，则的最小值为__________.
二 选择题
13.若非零不共线向量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
14.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，.则（ ）
A. B.2 C. D.
15.为锐角三角形，到三边的距离分別为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
16.已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
三 解答题
17.已知向量，单位向量与向量的夹角为
（1）求向量；
（2）若|向量与坐标轴不平行，与问量垂直，令，请将表示为的函数，并求的最大值.
18.在三角形中，它的内角的对边分别为.已知.
（1）求的值：
（2）在边上取点，使得，求值.
19.如图，块直角梯形区域，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角始终为45°，设，，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S.
（1）求S关于的函数关系式：
（2）求S的取值范围.
20.如图，A B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.
21.用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
（1）若，求的长；
（2）在中，角是钝角，求证：：
（3）给定的三个正实数，其中，问：满足怎样的关系时，以 为边长，为外接圆半径的不存在 存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
上海市复旦附高2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学答案
一 填空题
1.【解析】因为角的终边经过点，所以到原点的距离为5.
由三角比的定义得，所以.
2.【解析】在方向上的数量投影为.
3.【解析】法一：
，
因为，所以函数的值域是.
法二：
，因为，
所以函数的值域是.
4.【解析】.
令，所以，所以，
则，
所以当时，.
5.【解析】由正弦定理得，所以或，
所以或.
6.【解析】因为与垂白，所以，
又与垂直.所以，
整理得，所以，
所以与的夹角为.
7.【解析】在锐角中，，三角形面积等于，
所以，即，
因为为锐角，所以，
由余弦定理得，解得.
8.【解析】由得，
由得，
故只能，此时，则.
9.【解析】由，
得
当且仅当，
即时取等号，所以4的最大值为.
10.【解析】题意得，
所以
由二次函数得当上式取最小值时，，
由题意得，解得，
故的取值范围为.
11.【解析】因为，
，所以，
即，所以
当且仅当即时取等号
所以，所以的最大值为.
12.【解析】
，
若对任意实数，均有，
即任意一个长为1的开区间可以取到的值域，
从而，即，又是一个正整数，
所以正整数的最小值为8.
二 选择题
13.【解析】设向菓的夾角为，则，因为
所以，即，
则正负不确定，故错误：
故选.
14.【解析】连接与相交于，
在上取一点，化得，则，
设，则，
所以，
所以.选.
15.【解析】由同弧所对圆周角是圆心角的一半得，
过点作于，由等腰三角形三线合一得，
所以，同理，又，
所以，故选.
16.【解析】，其中，
因为在处取得最大值，所以，
即，
所以，
因为
，所以，
①②得，所以，
即，解得或，
若，则，
，所以，所以，
，
这与矛盾，故应舍去，
中①得，因为，所以在第一象限，
取，由，即，
所以，所以，使最小，则，
即，若不等式恒成立，则，故选.
三 解答题
17.【解析】（1）设，因为向量是单位向量，所以.
因为向量与向量夹角为，所以，所以，
解得或，所以或.
（2）因为向量与坐标轴不平行，所以向量，
向量与向量垂直，所以，
所以.
所以，因为，所以，
所以当时，取最大值.
18.【解析】（1）因为，
由余弦定理得，
由正弦定理得，所以，
所以：
（2）因为，所以，
在三角形中，易得为锐角，由（1）得，
所以在三角形中，
，
因为，所以，
所以.
19.【解析】（1）当时，如图，过点D作，垂足为G，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
所以，
所以，
当时，如图所示，，
所以，
所以.
当时，.
所以
（2）当时，，
令，所以，
由对勾函数的性质得在取到最小值，
在或2取到最大值3，所以.
此时的取值范围为；
当时，，
设，
所以有大于1的实根，
当时，不符合题意：
当时，不等式组无实数解；
当时，所以.
所以此时的取值范围为.
当时，
综上，的取值范围为.
20.【解析】（1）；
（2）当时，
①.
设.由题意得.
所以
因为，所以，
所以；
（2）设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
即.
当时，，当时，，
利用单调性定义可证明函数在和都是递减的，
所以函数值域是.
21.【解析】（1）因为，
由正弦定理得，解得，
又，得，得，
所以，
所以.
（2）由余弦定理得，
因为为钝角，所以，所以，
由正弦定理得，所以，
所以.
（3）①当或时，不存在：
②当且时，，存在一个，：
③当且都是锐角，时，
存在且只有一个，；
④当，存在两个，.