1.5平面上的距离 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册（含答案解析）

1.5平面上的距离 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若圆：上恰有个点到直线：的距离为，：，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为 ( )
A. B. C. D.
下列结论正确的是( )
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线平行，则或
C. 直线与直线之间的距离是
D. 已知，，点在轴上，则的最小值是
直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
过点作圆的切线，且直线与平行，则与之间的距离是( )
A. B. C. D.
点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
已知点，，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是
A. B. C. D.
已知点，则直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则长度的最大值是
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列说法正确的是( )
A. ，两点间的距离为
B. 点到直线的距离为
C. 直线和直线间的距离为
D. 直线和直线间的距离为
若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离可能为( )
A. B. C. D.
已知正方形的两个顶点，在直线上，另外两个顶点，分别在直线，上，那么正方形的边长可以为( )
A. B. C. D.
已知实数满足方程，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知在中，，，点在直线上，若的面积为，则点的坐标为 ．
已知直线：与圆：交于，两点，圆在点，处的切线，相交于点，则四边形的面积为 ．
已知，，，，且满足，，则的最小值为________．
已知点到直线的距离为，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆的圆心在直线上，且过点，．
求圆的方程
已知圆上存在点，使得的面积为，求点的坐标．
本小题分
如图，在中，点在轴上，边上的高所在的直线方程为，直线与直线垂直，直线与轴相交于点，若点的坐标为．
求和所在直线的方程
求的面积．
本小题分
已知三条直线，直线和直线，且和的距离是．
求的值
能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：是第一象限的点点到的距离是点到的距离的点到的距离与点到的距离之比是若能，求出点坐标若不能，请说明理由．
本小题分
已知三条直线，，，若直线与之间的距离是．
求的值．
能否找到一点，使其同时满足下列三个条件：点是第一象限内的点点到的距离是点到的距离的点到的距离与点到的距离之比是若能，求出点的坐标若不能，请说明理由．
本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；
如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点、、与、、均不重合，且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围．
本小题分
已知的顶点，边的垂直平分线所在直线方程为．
求边所在直线方程
求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，平行线间的距离，属于中档题．
由题意求出，再求平行线间的距离．
【解答】
解：圆：上恰有个点到直线：的距离为，
则圆心到直线：的距离为，则，
因为，所以，则直线：，
则与间的距离为．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线的交点坐标、直线过定点问题、两点间距离公式等，属于中档题．
依题意，联立方程组解出交点 ，又 过定点 ，到直线的距离最大值 ，根据两点间距离公式求解即可．
【解答】
解：由 得 ，即 ，
又 ，即 过定点 ，
到直线 的距离最大值为 ，
故选 ．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率和倾斜角、两直线平行的充要条件，平行线的距离公式，对称问题，属于中档题．
求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可判断；根据两直线平行的性质列出方程求解出可判断；根据两平行直线间距离公式可判断；求得点关于轴的对称点，则，可判断．
【解答】
解：过点，的直线的斜率是，
即倾斜角的正切值为，则倾斜角不为，故A错误
若直线与直线平行，
可得，解得或，
当时，两直线重合，舍去，所以，故B错误；
直线即，
与直线之间的距离是，故C错误
点关于轴的对称点为，
连接，
则，当、、三点共线时取等号，故D正确．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的方程及点到直线距离公式，属于中档题．
由题意，为的底边长，点到直线的距离为的高，利用圆上点到直线距离的最大值与最小值即可求出．
【解答】
解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
点到直线的距离为的高，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为，
则面积为，
最大值为，
最小值为，
所以面积的取值范围为．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的切线的性质、两条平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
利用平行线间的斜率之间的关系可设：切线的方程为，把点的坐标代入得到再利用圆的切线的性质：圆心到切线的距离，即可得出，再利用两条平行线间的距离公式即可得出．
【解答】
解：过点的圆的切线与直线：平行，
可设切线的方程为，把点的坐标代入得到，
解得．
即切线方程为．
由圆：，得到圆心，半径．
圆心到切线的距离，
化简可得，解得．
的方程为：，即．
又的方程为：，即．
与间的距离．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，属于基础题．
设，由题意求出直线的方程，的长度，点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可求出
的值，即可确定出点的坐标．
【解答】
解：设，直线的斜率为，则直线的方程为，即，
点到直线的距离，，
所以，解得：或，
所以点的坐标为或．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
【分析】本题考查坐标与距离公式，涉及函数最值问题，属于中档题．
设动点依据题意列式即可求解
利用两点间距离公式可得，消去可得关于的二次函数，即可求得最大值．
【解答】
设动点，
动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为
，整理得，可知点轨迹为椭圆；
又
由二次函数的性质知，当时，
最大值为，所以最大值为，故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式，点到直线距离，二次函数性质，是基础题．
设，由已知得，即，由两点间距离公式表示出，再由二次函数性质求解即可．
【解答】
解：设，则由已知得，化简得，
则
，
所以时，．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式、点到直线距离和平行线间距离，是中档题．
【解答】
点到点的距离为，所以A正确
点到直线的距离为，所以B正确
直线和直线间的距离为 ，所以C正确
直线可以化为，
所以直线和间的距离为，所以D错误．
故选ABC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行直线间的距离，点到直线的距离，考查计算和转化能力，属于基础题．
由题意可知，点在平行直线与之间且到两条直线距离相等的直线上，求出点所在的直线方程，以及原点到该直线的距离，即点到原点的距离的最小值即可得解．
【解答】
解：由题意可知，直线即与平行，
则点在直线与之间且到两条直线距离相等的直线上，
设该条直线方程为，
则，解得，
点到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，
即，
即的中点到原点的距离的最小值为，
根据选项可知、、符合．
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式和平行线间距离，是中档题．
【解答】
在正方形中，，
设直线的方程为，
联立，得，
联立，得
由两点之间的距离公式可得，
又直线与间的距离为，
，解得或，
即或
故选AB．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，直线与圆的位置关系，是中档题．
根据题意，令，求得的范围，进行求解即可．
【解答】
解：实数，满足方程，即，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；
令，则三条直线都与圆有公共点，
所以，，
解得，，，
所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，
所以选项A正确，C错误，D错误；
原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，选项B正确．
故选CD．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查了两点间的距离公式，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，属于中档题．
根据题目所给题设条件，利用两点式先求出线段的长以及直线的方程和点到直线的距离即可求出点的坐标．
【解答】
解析设点到直线的距离为，
由题意知 ，
，，
易知直线的方程为，即．
点在直线上，
设，
，
，或，
点的坐标为或．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系，以及四边形面积的计算，属于中档题．
根据题意，由圆的标准方程得出圆心的坐标，由直线与圆的关系分析可得过圆心与的直线与直线垂直，可求出，进而求出、的值，又由，计算即可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：的圆心，
过圆心与的直线与直线垂直，则有，解可得，
则，
圆心到直线的距离，
则，
则；
故答案为：．

15.【答案】
【解析】【解析】
本题主要考查的是两点间距离公式以及平行线间距离公式，难度一般，属于基础题．
首先设出两点坐标为，，两直线，直线，
根据两点间距离公式以及两平行线间距离公式计算即可．
【解答】
解：
设点，，直线，直线，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以，
显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线系方程及其应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，属于中档题．
利用直线方程得直线恒过点，再利用点到直线的距离得当直线与直线垂直时，最大，直线过点时，最小，最后利用两点间的距离公式，计算得结论．
【解答】
解：由直线，则，
而由解得
因此直线恒过点，
所以当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，．
又因为，，故，因此最大值达不到．
当时，直线过点，此时点到直线的距离最小，，
因此的取值范围是
故答案为

17.【答案】解：由题意知所在直线的斜率为，
，的中点为，
所以线段的垂直平分线为，即，
联立得圆心，
半径，
所以圆方程为．
由题意得所在直线方程为，即，
可得，
因为三角形的面积为，
所以点到直线的距离为，
设点所在直线方程为，
所以，
所以或，
当时，联立无解
当时，联立
得
所以或
【解析】本题考查圆的方程，点到直线距离公式，两点间距离公式，直线方程，属于中档题．
线段的垂直平分线为，联立，得圆心，则半径，可得圆的方程．
首先计算所在直线方程为，，又因为三角形的面积为，可知点到直线的距离为，设点所在直线方程为，根据平行线之间的距离可得到，则或，分别联立圆的方程和点所在直线方程，计算出点的坐标．
18.【答案】由，得顶点直线的斜率，
因为，所以直线的斜率为，所在直线的方程为．
因为上的高所在直线的方程为，
所以直线的斜率为，所在直线的方程为．
由，得顶点的坐标为．
方法一 ，
点到直线的距离，
所以的面积为．
方法二 ，
，
因为，所以的面积为．

【解析】本题考查两点间距离公式，点到直线距离，两直线平行斜率的关系，是中档题．
19.【答案】解的方程即为，
和的距离，
．
，．
设点，若点满足条件
，则点在与和平行的直线上，
且，
即或．
或．
若点满足条件，由点到直线的距离公式，得，
或．
点在集一象限，不符合题意．
联立方程
解得，，应舍去．
联立
解得，．
即为同时满足三个条件的点．

【解析】把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得的
值
设点的坐标为，，，由点到直线距离公式，依据条件建立方程组
求得和的值，即可得到满足条件的点的坐标从而得出结论．
本题主要考查两平行线间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：，则直线与之间的距离，又，所以．
假设存在点同时满足题中的三个条件．
由条件，得，
则有或
由条件，得，
化简得或
由条件，得，
联立，得，．
所以存在同时满足题中的三个条件．

【解析】本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、点到直线的距离公式，
由与的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
设，由点到直线距离公式，我们可得到一个关于，的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．
21.【答案】解：由已知得，
又，
直线的方程；
设直线的斜率分别为，
由题意知，，，
且，得，负值舍去．
直线的方程为，直线的方程为，
联立得；
设，其中，
故．
由于当且仅当时，等号成立，
故．
【解析】本题考查了直线方程的点斜式和交点坐标，点到直线的距离公式，利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
由可得直线的斜率，进而可得直线的方程．
设直线的斜率分别为，可得，求解的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标．
设设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变性后利用基本不等式即可求解．
22.【答案】解：边的垂直平分线所在直线的斜率为，
直线的斜率为，
又点，
直线的方程为，即；
设点关于直线的对称点，
则，即
解得，即，
所以，点到直线的距离为，
所以的面积为．
【解析】本题考查直线方程的求解，点关于直线的对称，两点间距离，点到直线的距离，三角形的面积，属于中档题．
由直线垂直关系得直线的斜率，由点斜式得直线方程；
求出点关于直线的对称点的坐标，由两点间距离求得的长，由点到直线的距离得点到直线距离得高，求三角形面积．