第三单元《对圆的进一步认识》单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学九年级上册第三单元《对圆的进一步认识》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，矩形是由边长为的五个小正方形拼成，是第个小正方形的中心，将矩形绕点逆时针旋转得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是( )
A. B. C. D. ．
如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是( )
A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
如图，为的直径，为延长线上的一点，在上不与点，点重合，连结交于点，且设，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
已知直线与直线同时经过点，点是以为圆心，为半径的圆上的一个动点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为下列结论：是直角三角形；点、、不在同一条直线上；；；点是外接圆的圆心，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，是直径，，点、分别是、上的点，当周长最小时，的度数为( )
A. B.
C. D.
如图，在等腰和等腰中，，，为的中点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
已知：如图，为的直径，、为的切线，、为切点，交于点，的延长线交于点，连接、以下结论：；点为的内心；；其中正确的只有( )
A.
B.
C.
D.
如图，与的三边分别相切于点，，，连接，若，，，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是逐渐变化的；
丙：当时，周长取得最小值．
其中正确的是( )
A. 只有甲正确 B. 只有甲、丙正确
C. 只有甲、乙正确 D. 甲、乙、丙都正确
如图，是的直径，、是弧异于、上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是( )
A. B. C. D.
据资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，半径为的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是______．
如图，将两块三角板和三角板放置在矩形中，直角顶点重合，点，在边上，．
若点到的距离为，则点到的距离为__________；
若，则外接圆的半径为__________．
我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为______．
如图，与正五边形的两边、分别相切于、两点，则的度数为___________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽，水深若水面上升，则此时水面宽为多少？
如图，为等边的外接圆，半径为，点在劣弧上运动不与点，重合，连接，，．
求证：是的平分线；
四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
若点，分别在线段，上运动不含端点，经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
如图，在中，，，过点作，垂足为，且，是线段上一点，过作，垂足为．
请直接写出的长为____；
如图，若点在的角平分线上，求的长；
如图，连接，点为点关于的对称点．
连接，，当四边形中有两边互相平行时，求的长；
连接交于点，点在点的上方，若，则____．
如图，为外接圆的直径，且．
求证：与相切于点；
若，，，求的长．
如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，．
求证：是的切线；
求证：；
若，的面积为，求的面积．
如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点．
求证：是的切线；
求证：平分；
若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为________．
如图，在菱形中，对角线，交于点，，过点作于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点．
求图中阴影部分的面积；
点是上的一个动点点不与点，重合，当的值最小时，求的长度．
如图，的直径，弦，的平分线交于过点作交的延长线于点．
求证：是的切线．
求图中阴影部分的面积．
阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯托勒密约年年，是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图，若四边形内接于，则有______ ．
任务：材料中划横线部分应填写的内容为______．
如图，正五边形内接于，，求对角线的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合进行解答是解答此题的关键线段、的垂直平分线的交点为最小覆盖圆的圆心，为半径，根据勾股定理求出的长度即可．
【解答】
解：如图，取的中点，作，取的中点，作，
以为圆心，长为半径作，
则经过点、、、，为整个图形最小覆盖圆，
矩形是由边长为的五个小正方形拼成，
，，
在中，
．
2.【答案】
【解析】解：连接，，，设，，，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，，，设，，，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出即可判断；
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键连接，，利用半径相等和等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理得到和的数量关系，然后根据选项中角的度数，分别代入求解，得出正确结论即可．
【解答】
解：如图所示：连接，，
，
，，，
，
，
，
，
即，
，
A.若，则，，故A错误．
B.若，则，，故B错误．
C.若，则，，所以，故C正确；
D.若，则，，所以，故D错误．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．先解方程组得点坐标为，则可确定点为直线上一动点，设直线与坐标的交点为、，如图，则，，利用勾股定理计算出，过点作直线于，交于，此时线段的值最小，证∽，利用相似比计算出，则，即线段的最小值为．
【解答】
解：解方程组
得
点坐标为，
设，，
，
即点为直线上一动点，
设直线与坐标的交点为、，如图，
则，，
，
过点作直线于，交于，此时线段的值最小，
，
∽，
：：，即：：，
，
，
即线段的最小值为．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，于是得到，求得是直角三角形；故正确；
根据平角的定义得到点、、在同一条直线上，故错误；
设，则，得到，根据勾股定理得到，易得到，得到，故错误；
求得，故正确，根据平行线等分线段定理得到，求得点是外接圆的圆心，故正确．
【解答】
解：沿着折叠，点的对应点为，
，
再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
，
是直角三角形；故正确；
沿着折叠，点的对应点为，
，
再沿着折叠，使得与重合，折痕为，
，
，
点、、在同一条直线上，故错误；
，
设，则，
将矩形对折，得到折痕；
，
，
，，，
∽，
，
，
，
，
，
，故错误；
，
，
，
，故正确，
，，，
，
，
，
，
，
，
点是外接圆的圆心，故正确；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：延长到，使，延长到，使，连接，，，，，
是直径，
，
，，
，，
，，，
，，，，，，，
周长，
当点，，，在一条直线上时，周长最小为的长，
此时，
，
，
，
，
故选：．
延长到，使，延长到，使，连接，，，，，根据圆周角定理及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并得到“点，，，在一条直线上时，周长最小”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形，根据题意得出在以为直径的圆上运动是解题的关键．
连接，则，则在以为直径的圆上运动，当点运动到时，的值最小，根据勾股定理求出，由即可解答．
【解答】
解：如图：连接，过点作交延长线于点，则，
在以为直径的圆上运动，
，
，，
，，
，
当点运动到时，的值最小，
此时，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：连接，，，
与是的切线，，，
≌，
，
，
，故正确；
是的切线，
，而，
，即是的角平分线，同理可证得是的平分线，
因此为的内心，故正确；
若，则应有，应有，
弧弧，而弧与弧不一定相等，故不正确；
设、交于点，由可知，
又，
，
由切线的性质可得，点是弧的中点，，
又平行线的性质，
，
而，，等弧所对的圆周角相等，
，
∽，
，
又，
故正确．
因此正确的结论有：．
故选：．
根据切线长定理，证≌，可得，根据圆周角定理即可得出，由此可证得；
连接、；上面已证得弧弧，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得、分别平分和；根据三角形内心的定义，即可得出结论正确；
若，则，在中，，易得，即；因此弧弧，而这个条件并不一定成立．故不正确；
先证明，然后证明∽，从而可得出正确．
本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弦切角定理，内心的概念，以及对相似三角形的性质求解．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的概念，解答本题的关键是掌握求三角形内切圆半径的思路与方法；连接、、、、、，过点作于，首先根据切线长定理得出，，，以及的三边长，设，则，
在中，，，在中，，，进一步得出，即，解得，得出的长，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积，设，根据，求出，即，在中，，，，求出，最后证明，得出，根据圆周角定理可得，得出，即可解答．
【解答】
解：连接、、、、、，过点作于，如图：
则，
根据切线的性质可知：，，，
，，，
根据切线长定理可知：，，，
，，，
于，
，
设，则，
在中，，，
在中，，，
，即，解得，
，
，
，
设，
，
，
，
，
在中，，，，
，
在和中，
，
，
根据圆周角定理可得，
，
．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作，于点，，连接，
点为的内心，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，所以甲的判断正确；
≌，
四边形的面积，
点的位置固定，
四边形的面积是定值，
所以乙的判断错误；
如图，过点作于点，
，，
，
，
的周长，
当最小时，即当时，的周长取得最小值，
所以丙的判断正确．
综上所述：说法正确的是甲、丙．
故选：．
过点作，于点，，根据三角形内心可得，然后证明≌，可得；连接，根据≌，可得四边形的面积，根据点的位置固定，可得四边形的面积是定值；过点作于点，根据，，可得，，所以的周长，可得当最小时，即当时，的周长最小值，进而可得结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定，圆周角定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接设．
是直径，
，
是的内心，
，
，
，
，
，
易知点在以为圆心、为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是，
，设，则，
．
故选：．
如图，连接设易知点在以为圆心为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是，由题意，设，则，利用弧长公式计算即可解决问题．
本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，则，代入数值计算即可．
【解答】
解：设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，由题意可得：：由题意时，，
故选B．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接并延长，交于点，连接，，
点为的重心，
为的中点，
，
，
，
，
，
点为的重心，
，
，
在上取点，使得，连接，，则，
，，
∽，
，
，
点在以为圆心，半径为的圆上运动，
当点，，三点共线时，的值最小，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接并延长，交于点，连接，，由的重心为，可知为的中点，再由垂径定理可知，从而可求得的长；在上取点，使，连接，，可判定∽，由相似三角形的性质列出比例式，求得的长，进而可得点的坐标，利用勾股定理求出的长，根据在以为圆心，为半径的圆上运动，可知的最小值为的长减去的长计算即可．
本题考查了三角形的重心，角所对的直角边等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，准确作出辅助线构造相似三角形得到点的运动轨迹是解题的关键．
14.【答案】；
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形的外接圆，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法．
过点作于，交于，连接，取的中点为，连接、，首先证明、、、在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后根据圆周角定理得出，进一步得出，是等腰直角三角形，，再证明，得出，再根据的长，的长利用勾股定理求出的长，即可求解；
过点作于，交于，根据的结论可知，，然后证明，得出，然后利用勾股定理求出的长，的长、的长，即可求解．
【解答】
解：过点作于，交于，连接，取的中点为，连接、，如图：
则四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
是的斜边上的中线，是的斜边上的中线，
，，
，
、、、在以为圆心，以的长为半径的圆上，
根据圆周角定理可得，
，
，
是等腰直角三角形，，
又，
，
，
，
，
在和中，
，
，
点到的距离为，
，
，
在中，，，，
根据勾股定理可得，即，
，，
在中，，
，
点到的距离为．
故答案为：；
过点作于，交于，如图：
则四边形和四边形都是矩形，
，，
，
，
，
由可知，，，
设，则，
在中，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，，，
根据勾股定理可得，即，
，
，
，
在中，，，，
，
，
是直角三角形，，
外接圆的直径是，
外接圆的半径为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把代人中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为．
故答案为：．
如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是多边形的内角和定理，切线的性质，正多边形和圆等有关知识．
先根据五边形的内角和求出，再由切线的性质得到，最后利用五边形的内角和相减即可求解．
【解答】
解：正五边形的内角为：，
，
，分别与相切于点，两点，
，
．
故答案为．
17.【答案】解：连接、，
由题意知：，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，过，
．
【解析】连接、，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出即可．
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．
18.【答案】证明：是等边三角形，
，
，，
，
是的平分线；
四边形的面积是线段的长的函数，
理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转，得到，
，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
点，点，点三点共线，
，，
是等边三角形，
四边形的面积，
；
如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，
点，点关于直线对称，
，
同理，
的周长，
当点，点，点，点四点共线时，的周长有最小值，
则连接，交于，交于，连接，，，，
的周长最小值为，
点，点关于直线对称，
，，
点，点关于直线对称，
，，
，，
，，，
，，
，，
，
当有最大值时，有最大值，即有最大值，
为的弦，
为直径时，有最大值，
的最大值为．
【解析】由等边三角形的性质可得，圆周角定理可得，可得结论；
将绕点逆时针旋转，得到，可证是等边三角形，可得四边形的面积，即可求解；
作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，，可得的周长，则当点，点，点，点四点共线时，的周长有最小值，即最小值为，由轴对称的性质可求，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，则当为直径时，有最大值为．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
19.【答案】解：．
如图中，作于．
，，，
，
，，
由得：，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
如图中，当时，设交于．
，关于对称，
垂直平分线段，
，，
，，
，
，，
，
，
．
如图中，当时，
，
，
由对称的性质可知：，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
．
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形综合，涉及到相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线的性质，含角的直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
在中，利用勾股定理求出，再证明∽，利用相似三角形的性质求出即可．
如图中，作于证明，推出，，设，则，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．
分两种情形：当时，设交于利用三角形的中位线定理证明，进而得出，即可解决问题当时，证明，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题．
设交于先证明，设，根据含角的直角三角形性质得出，，分别求出，即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，．
见答案；
见答案；
如图中，设交于．
，
，，
，
设，
，，
，，，四点到的中点的距离相等，
，，，四点在以为直径的圆上，
，
设，
，
，
，
，
，
，
设，
则根据含角的直角三角形性质得：在中，，在中，，
，，
．
20.【答案】解：连接并延长交于点，连接，
则为直径，，
，
，
，
，
，
，
，
与相切于点．
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
在中，设，
，
，
解得：，
，
在中，，
的长为．

【解析】连接半径并延长构造过切点的直径及与相等的圆周角，两角与分别与公共角互余，即可证出相切；
连接，利用圆心角定理及三线合一定理证出，，分别在，和中通过勾股定理即可求出结果．
本题考查了切线的判定定理，垂径定理，圆心角定理及勾股定理等；注意本题还有多种其它解答方法．
21.【答案】证明：为的直径，点在上，
，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
证明：连接，过点作交于，
平分，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
、、三点共线，
；
解：，
，
，
设，则，
，
由知，，
，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
．
【解析】利用同弧所对的圆周角相等，可得，可得，即可证明；
连接，过点作交于，证明是等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一可得、、三点共线，即可证明；
由题意可得，设，则，，求出，再由，可证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】证明：如图，连接、．
是的切线，是切点，
，
．
，，，
，
，
，
又经过半径的外端点，
是的切线；
如图，设与交于点．
，
，
又，
，
．
在中，，
．
在中，．
．
，
是的外角，
，
又，，
．
平分；
．
【解析】
【分析】
本题为圆的综合题主要考查了切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、内切圆知识等也考查了勾股定理和三角形的外角性质熟练掌握圆的知识是解答的关键．
连接、，证明得到即可证明；
设与交于点，证得再证明，进而得到即可证明；
利用垂径定理和勾股定理求出的长，并明确的内切圆圆心和半径，根据与线段的交点与点的距离最大解答即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，
，，
，，
在中，，
，
、是的切线，
平分，又平分，
点为的内切圆的圆心，
，
此内切圆的半径为，
由图可知：与线段的交点与点的距离最大，最大值为．
故答案为．
23.【答案】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，，
作点关于的对称点，连接交于，连接，连接，此时的值最小．
，
，
，
，
，
．
【解析】解直角三角形求出，，根据，求解即可．
作点关于的对称点，连接交于，连接，连接，此时的值最小，解直角三角形求出，即可．
本题考查扇形的面积公式，菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：如图，连接，
是直径，
，
平分，
，
，即，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，，
，
过点作于点，则四边形是正方形，
，
，
，
又
∽，
，即，
，
，
，，
．
【解析】本题考查的是平行线的性质，圆周角定理，切线的判定，角平分线，正方形的判定与性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质有关知识．
由，即，根据可得，即可得证；
先利用勾股定理求出，然后再证明∽得出，求出，最后再利用扇形的面积，梯形的面积，最后求出阴影部分面积
25.【答案】解： ；
如图，连接、．
五边形是正五边形，
≌≌，
设．
在圆内接四边形中，由托勒密定理可得：，
即，
解得：，舍去．
对角线的长为．
【解析】
解：根据托勒密定理可得：，
故答案为：；
见答案；
【分析】
根据题意即可得到结论．
连接、，根据正多边形的性质可得出≌≌，根据全等三角形的性质可设，在圆内接四边形中，利用托勒密定理可得关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了命题、正多边形的性质、全等三角形的性质以及解一元二次方程，利用托勒密定理找出关于的一元二次方程是解决问题的关键．
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