正弦定理[下学期]
图片预览
文档简介
“正弦定理”教学设计（第一课时）
东山中学数学组 盛国平
1． 教学目标：
知识目标：让学生发现正弦定理，用向量方法证明正弦定理并且掌握和运用正弦定理。
能力目标：培养运用向量的能力，提高运用所学知识解决问题的能力。
情感目标：鼓励学生探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣。
二：教学重、难点：
重、难点：正弦定理的推导及其应用。
三：教学方法和手段：
启发引导，适当采用多媒体
四．教学过程：
1．创设情境，提出问题
（投影）如图：为了测量位于长江两岸A，B
两个港口之间的距离，测量人员在南岸B港口
的一侧选取了一个C点，测得BC间的距离为
1230m, 并用测角仪测得，
这样能测得AB间的距离吗？这个问题可以抽象
为什么样的数学问题？
引出本堂课所要研究的主题------三角形中的边角关系。
2．观察特例，提出猜想
在初中学生已经学习过解直角三角形的
问题，在，
如图所示，引导学生回忆在直角
三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。
学生容易得到：
所以有
进一步提问：这个关系式能不能推广到任意三角形？
3．数学实验，验证猜想
教师用几何画板软件进行演示实验：任意画一个三角形，度量出三边长度和三个角度数值，计算一组值。不断拖动三角形一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化，填入下表。
a A
b B
c C
归纳总结实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理（板书课题）。
4．启发引导，证明猜想
（1）从最直观的几何层面思考
分析 引导学生将要证的连等式分成两个等
式来证，然后过C点作高CD，把斜三角形
分成两个直角三角形，借助CD相等，
，
证得一个等式，同理可证另一个等式。
于是连等式得证。
（2）从向量分析层面思考
①提出挑战问题，激发探求欲望：从向量角度来看，一个三角形可以看作由首尾相接的三个向量构成，这三个向量之和等于什么？
学生易得：，如何将这个向量关系式转化成数量关系？
②点燃思维火花，突破思维瓶颈：引导学生发现向量的数量积和向量长度都能将向量与数量联系起来，若给等式两边同时点乘非零向量，就可以将已知的向量关系式转化为数量关系式。
③深入探索，完成证明：
如图，若为锐角三角形，取为上的单位向量时，有
由分配律得：
。
，即。
同理，过点C作与垂直的单位向量，可证得另外一个等式。
（3）从三角形面积公式层面思考
引导学生由亦可证得结论。
5．运用定理，解决实例
让学生掌握正弦定理的内容及公式特征，讨论正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题。并让学生运用正弦定理解决本节课引入的问题：
分析：在中，易得，由正弦定理可得：
， 即可求得结果。
6．练习巩固，拓展延伸
练习1：
2: 根据下列条件解三角形：
提出课后思考题：=？
7．课堂小结，布置作业
（1）正弦定理的内容
（2）正弦定理的证明方法
作业：书本习题5.9：1，2，3
附：板书设计
课题：正弦定理正弦定理：------证明（1）------ 证明（2）------证明（3）------ 例题1------练习----- 草稿板书区------
设计说明：
本堂课从一个实例提出需要研究三角形中的边角关系入手，先让学生观察初中时已学过的直角三角形中的边角关系，由此提出猜想，并进行实验验证，让学生体验数学家发现定理的过程，随后从三个角度证明了正弦定理，最后再回到实例，用所学知识解决所提问题，使学生体验到数学的实用性及成功的自豪感，提高学生学习的热情和动力。
B
j
A C
B
j
A C
东山中学数学组 盛国平
1． 教学目标：
知识目标：让学生发现正弦定理，用向量方法证明正弦定理并且掌握和运用正弦定理。
能力目标：培养运用向量的能力，提高运用所学知识解决问题的能力。
情感目标：鼓励学生探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣。
二：教学重、难点：
重、难点：正弦定理的推导及其应用。
三：教学方法和手段：
启发引导，适当采用多媒体
四．教学过程：
1．创设情境，提出问题
（投影）如图：为了测量位于长江两岸A，B
两个港口之间的距离，测量人员在南岸B港口
的一侧选取了一个C点，测得BC间的距离为
1230m, 并用测角仪测得，
这样能测得AB间的距离吗？这个问题可以抽象
为什么样的数学问题？
引出本堂课所要研究的主题------三角形中的边角关系。
2．观察特例，提出猜想
在初中学生已经学习过解直角三角形的
问题，在，
如图所示，引导学生回忆在直角
三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。
学生容易得到：
所以有
进一步提问：这个关系式能不能推广到任意三角形？
3．数学实验，验证猜想
教师用几何画板软件进行演示实验：任意画一个三角形，度量出三边长度和三个角度数值，计算一组值。不断拖动三角形一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化，填入下表。
a A
b B
c C
归纳总结实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理（板书课题）。
4．启发引导，证明猜想
（1）从最直观的几何层面思考
分析 引导学生将要证的连等式分成两个等
式来证，然后过C点作高CD，把斜三角形
分成两个直角三角形，借助CD相等，
，
证得一个等式，同理可证另一个等式。
于是连等式得证。
（2）从向量分析层面思考
①提出挑战问题，激发探求欲望：从向量角度来看，一个三角形可以看作由首尾相接的三个向量构成，这三个向量之和等于什么？
学生易得：，如何将这个向量关系式转化成数量关系？
②点燃思维火花，突破思维瓶颈：引导学生发现向量的数量积和向量长度都能将向量与数量联系起来，若给等式两边同时点乘非零向量，就可以将已知的向量关系式转化为数量关系式。
③深入探索，完成证明：
如图，若为锐角三角形，取为上的单位向量时，有
由分配律得：
。
，即。
同理，过点C作与垂直的单位向量，可证得另外一个等式。
（3）从三角形面积公式层面思考
引导学生由亦可证得结论。
5．运用定理，解决实例
让学生掌握正弦定理的内容及公式特征，讨论正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题。并让学生运用正弦定理解决本节课引入的问题：
分析：在中，易得，由正弦定理可得：
， 即可求得结果。
6．练习巩固，拓展延伸
练习1：
2: 根据下列条件解三角形：
提出课后思考题：=？
7．课堂小结，布置作业
（1）正弦定理的内容
（2）正弦定理的证明方法
作业：书本习题5.9：1，2，3
附：板书设计
课题：正弦定理正弦定理：------证明（1）------ 证明（2）------证明（3）------ 例题1------练习----- 草稿板书区------
设计说明：
本堂课从一个实例提出需要研究三角形中的边角关系入手，先让学生观察初中时已学过的直角三角形中的边角关系，由此提出猜想，并进行实验验证，让学生体验数学家发现定理的过程，随后从三个角度证明了正弦定理，最后再回到实例，用所学知识解决所提问题，使学生体验到数学的实用性及成功的自豪感，提高学生学习的热情和动力。
B
j
A C
B
j
A C